頂点図

ジオメトリでは、 頂点図形は 、大まかに言って、多面体または多面体の角が切り取られたときに露出する図形です。

定義

多面体の角または頂点を取ります。接続された各エッジに沿ってポイントをマークします。接続された面に線を引き、面の周りの隣接するポイントを結合します。完了すると、これらの線は頂点の周りに完全な回路、つまりポリゴンを形成します。このポリゴンは頂点図形です。

状況に応じて、より正確な形式の定義は非常に大きく異なります。たとえば、コクセター（たとえば1948、1954）は、現在の議論の領域に都合が良いと彼の定義を変えています。以下の頂点図形の定義のほとんどは、無限のタイリングにも、拡張により、ポリトープセルや他の高次元のポリトープによる空間充填テッセレーションにも同様に適用されます。

平らなスライスとして

多面体の角を通るスライスを作成し、頂点に接続されているすべてのエッジを切断します。切断面は頂点の図形です。これはおそらく最も一般的なアプローチであり、最も簡単に理解できます。さまざまな作成者がさまざまな場所でスライスを作成します。 Wenninger（2003）は、Coxeter（1948）と同様に、頂点から単位距離だけ各エッジをカットします。均一な多面体の場合、ドーマンルーク構造は、接続された各エッジをその中間点で切断します。他の作成者は、各エッジのもう一方の端の頂点をカットします。

不規則な多面体の場合、頂点から等距離にある特定の頂点に入射するすべてのエッジを切断すると、平面にない図形が生成される場合があります。任意の凸多面体に有効なより一般的なアプローチは、与えられた頂点を他のすべての頂点から分離する平面に沿ってカットすることですが、それ以外は任意です。この構造は、接続された一連の頂点（以下を参照）に似た頂点図形の組み合わせ構造を決定しますが、正確な形状は決定しません。任意の次元の凸ポリトープに一般化できます。ただし、非凸多面体の場合、頂点に入射するすべての面を切断する平面が頂点の近くに存在しない場合があります。

球面ポリゴンとして

Cromwell（1999）は、頂点に中心を置く球と多面体を交差させることで頂点図形を形成します。頂点は、頂点に入射するエッジとフェースのみと交差するほど小さいです。これは、頂点を中心とした球形のカットまたはスクープを作成することで視覚化できます。したがって、切断面または頂点の図形は、この球にマークされた球形の多角形です。この方法の利点の1つは、頂点の図形の形状が（球体のスケールまで）固定されていることです。一方、平面と交差する方法は、平面の角度に応じて異なる形状を生成できます。さらに、この方法は非凸多面体に対しても機能します。

接続された頂点のセットとして

多くの組み合わせおよび計算アプローチ（たとえば、Skilling、1975）は、頂点図形を、指定された頂点に隣接する（エッジを介して接続された）すべての頂点の順序付けられた（または部分的に順序付けられた）点のセットとして扱います。

抽象的定義

抽象ポリトープの理論では、特定の頂点Vの頂点図形は、頂点に入射するすべての要素を含みます。エッジ、面など。より正式には、（ n -1）セクションFn / Vです 。ここで、 Fnは最大の面です。

この要素のセットは、他の場所では頂点スターとして知られています。幾何学的な頂点の図形と頂点の星は、同じ抽象的なセクションの異なる実現として理解されるかもしれません。

一般的なプロパティ

nポリトープの頂点図形は、（ n -1）ポリトープです。たとえば、多面体の頂点図形は多角形の図形であり、4ポリトープの頂点図形は多面体です。

頂点図形は、1つの頂点図形がポリトープ全体を定義できるため、ユニフォームおよび他の等角（頂点推移的）ポリトープにとって特に重要です。

規則的な面を持つ多面体の場合、頂点の周りの面を順番にリストすることにより、頂点の形状を頂点構成表記で表すことができます。たとえば、3.4.4.4は1つの三角形と3つの正方形を持つ頂点であり、一様な菱形八面体を定義します。

ポリトープが等角の場合、頂点図形はn空間の超平面表面に存在します。一般に、頂点図形は平面である必要はありません。

非凸多面体の場合、頂点図形も非凸である場合があります。たとえば、均一なポリトープは、面または頂点の図形に星形のポリゴンを持つことができます。

構造

隣接する頂点から

これらの隣接する頂点の接続性を考慮することにより、ポリトープの各頂点に対して頂点図形を構築できます。

• 頂点図形の各頂点は、元のポリトープの頂点と一致します。
• 頂点図形の各エッジは、元の面の2つの代替頂点を接続する元のポリトープの面上または面内に存在します。
• 頂点図形の各面は、元のnポリトープのセル上または内部に存在します（ n > 3の場合）。
• ...など、高次のポリトープの高次の要素に。

ドーマンルーク建設

均一な多面体の場合、「Dorman Luke」構造を使用して、元の多面体の頂点図形から二重多面体の面を見つけることができます。

通常のポリトープ

多面体が規則的である場合、それはシュレーフリ記号で表すことができ、セルと頂点図形の両方をこの表記法から簡単に抽出できます。

一般に、Schläfliシンボル{ a 、 b 、 c 、...、 y 、 z }を持つ通常のポリトープは、セルが{ a 、 b 、 c 、...、 y }であり、 頂点の図形が{ b 、 c 、である。 ..、 y 、 z }。

1. 通常の多面体{ p 、 q }の場合、頂点の図は{ q }、 q角形です。
   • たとえば、立方体{4,3}の頂点図形は、三角形{3}です。
2. 通常の4-ポリトープまたは空間充填テッセレーション{ p 、 q 、 r }の場合、頂点の図は{ q 、 r }です。
   • 例、ハイパーキューブ{4,3,3}の頂点図形、頂点図形は正四面体{3,3}です。
   • また、立方体ハニカムの頂点図形{4,3,4}、頂点図形は正八面体{3,4}です。

レギュラーポリトープのデュアルポリトープもレギュラーであり、Schläfliシンボルインデックスが反転して表されるため、頂点図形のデュアルがデュアルポリトープのセルであることが簡単にわかります。通常の多面体の場合、これはドーマンルーク構造の特殊なケースです。

ハニカムの頂点図の例

切り捨てられた立方体ハニカムの頂点の図は、不均一な四角錐です。 1つの八面体と4つの切り捨てられた立方体が各頂点で交わり、空間を埋めるテッセレーションを形成します。

エッジ図

頂点図形に関連して、 エッジ図形は頂点図形の頂点図形です。エッジ図は、規則的なポリトープと均一なポリトープ内の要素間の関係を表現するのに役立ちます。

エッジの図は、（ n -2）ポリトープであり、特定のエッジの周りのファセットの配置を表します。通常の単一リングのコクセターダイアグラムの均一なポリトープには、シングルエッジタイプがあります。一般に、均一なポリトープは、各アクティブミラーが基本領域で1つのエッジを生成するため、構造内のアクティブミラーと同じ数のエッジタイプを持つことができます。

規則的なポリトープ（およびハニカム）には、同じく規則的な単一のエッジの図があります。通常のポリトープ{ p 、 q 、 r 、 s 、...、 z }の場合、 エッジの図は{ r 、 s 、...、 z }です。

4次元では、4ポリトープまたは3ハニカムのエッジフィギュアは、エッジの周りのファセットセットの配置を表すポリゴンです。たとえば、通常の立方体ハニカム{4,3,4}のエッジ図は正方形であり、通常の4-ポリトープ{ p 、 q 、 r }のポリゴンは{ r }です。

それほど重要ではないが、切り捨てられた立方体のハニカムt0,1 {4,3,4}は、切り取られた立方体と八面体のセルを備えた四角錐の頂点図を持っています。ここには、2種類のエッジフィギュアがあります。 1つは、ピラミッドの頂点にある正方形のエッジの図です。これは、エッジの周りの4つの切り捨てられた立方体を表します。他の4つのエッジフィギュアは、ピラミッドのベース頂点上の二等辺三角形です。これらは、2つの切り捨てられた立方体と、他のエッジの周りの1つの八面体の配置を表します。