頂点構成

ジオメトリでは、 頂点構成は、多面体の頂点図形を表現したり、頂点の周りの面のシーケンスとしてタイリングするための簡略表記です。均一な多面体の場合、頂点タイプは1つのみであるため、頂点構成は多面体を完全に定義します。 （キラル多面体は、同じ頂点構成を持つ鏡像ペアで存在します。）

頂点構成は、頂点の周りを通る面の辺の数を表す一連の数字として与えられます。表記「ABC」は 、その周りに3面を持つ頂点を記述する、B、及びCの辺と対向しています。

たとえば、「3.5.3.5」は、三角形と五角形が交互に並んだ4つの面に属する頂点を示します。この頂点構成は、頂点推移性の二十面体を定義します。表記は周期的であるため、開始点が異なると等価です。したがって、3.5.3.5は5.3.5.3と同じです。順序は重要なので、3.3.5.5は3.5.3.5とは異なります。 （最初の三角形には2つの三角形があり、その後に2つの五角形が続きます。）繰り返される要素は指数として収集できるため、この例も（3.5）2として表されます。

頂点記述 、 頂点タイプ 、 頂点シンボル 、 頂点配置 、 頂点パターン 、 面ベクトルと呼ばれています。また、1952年の本Mathematical Modelsでアルキメデスの立体を使用することから、 Cundy and Rollettシンボルとも呼ばれています。

頂点の数字

頂点構成は、頂点の周りの面を示す多角形の頂点図形として表すこともできます 。この頂点図形は、面が多面体の同じ平面にないため、3次元構造を持っていますが、頂点が均一な多面体では、隣接するすべての頂点が同じ平面にあるため、この平面投影を使用して、頂点の構成を視覚的に表すことができます。

バリエーションと用途

p 、 q } = pq
{3,3} = 33
欠陥180°
{3,4} = 34
欠陥120°
{3,5} = 35
欠陥60°
{3,6} =

36
欠陥0°

{4,3}
欠陥90°
{4,4} =

44
欠陥0°

{5,3} = 53
欠陥36°
{6,3} =

63
欠陥0°

頂点には少なくとも3つの面と角度の欠陥が必要です。
0°の角度の欠陥は、ユークリッド平面を規則的なタイルで埋めます。
デカルトの定理により、頂点の数は720°/ 欠陥 （4πラジアン/ 欠陥 ）です。

異なる表記法が使用されます。コンマ（、）とピリオド（。）の区切り文字が使用される場合があります。期間演算子は、製品のように見え、指数表記を使用できるため便利です。たとえば、3.5.3.5は（3.5）2と表記される場合があります。

この表記法は、正多面体の単純なシュレーフリ記号の拡張形式と考えることもできます。 Schläfli表記{ p 、 q }は、各頂点の周りのq p -gonsを意味します。したがって、{ p 、 q }はppp .. （ q回）またはpqとして記述できます。たとえば、20面体は{3,5} = 3.3.3.3.3または35です。

この表記は、多面体だけでなく多角形のタイルにも適用されます。平面頂点構成は、非平面頂点構成が均一な多面体を示すのと同じように、均一なタイリングを示します。

表記は、カイラル形式ではあいまいです。たとえば、スナッブキューブには、鏡像全体で同一の時計回りと反時計回りのフォームがあります。両方とも3.3.3.3.4の頂点構成があります。

星形ポリゴン

この表記は、非凸の正則面であるスターポリゴンにも適用されます。たとえば、五gram星のシンボルは{5/2}です。つまり、5つの辺が中心を2回回ります。

たとえば、通常の多角形または星形ポリゴンの頂点図形を持つ4つの通常の星形多面体があります。小さな星型の十二面体には、明示的な頂点構成5 / 2.5 / 2.5 / 2.5 / 2.5 / 2に展開される、または（5/2）5として結合される{5 / 2,5}のシュレーフリ記号があります。大星の十二面体{5 / 2,3}は、三角形の頂点の図形と構成（5 / 2.5 / 2.5 / 2）または（5/2）3を持っています。大正十二面体{5,5 / 2}には五角形の頂点図形があり、 頂点構成は（5.5.5.5.5）/ 2または（55）/ 2です。優れた二十面体{3,5 / 2}には、頂点構成（3.3.3.3.3）/ 2または（35）/ 2の五gram星の頂点図もあります。

{5 / 2,5} =（5/2）5	{5 / 2,3} =（5/2）3	34.5 / 2	34.5 / 3	（34.5 / 2）/ 2
{5,5 / 2} =（55）/ 2	{3,5 / 2} =（35）/ 2	V.34.5 / 2	V34.5 / 3	V（34.5 / 2）/ 2

反転ポリゴン

頂点図形の面は、一方向に進行すると見なされます。均一な多面体の中には、面が逆行するように反転する頂点図形を持っているものがあります。頂点の図は、 p 2 qのように、辺p / qの星形ポリゴン表記でこれを表します。ここで、 pは辺の数、 qは円の周りのターン数です。たとえば、「3/2」は、頂点が2回移動する三角形を意味します。これは、1回後方に移動するのと同じです。同様に、「5/3」は後方五penta星5/2です。

規則的な凸多角形のすべての均一な頂点構成

半正多面体には、正の角度欠陥がある頂点構成があります。

注：頂点の図は、欠陥がゼロの場合、平面上の規則的または半規則的なタイルを表すことができます。欠陥が負の場合、双曲線平面のタイルを表すことができます。

均一な多面体の場合、角度の欠陥を使用して頂点の数を計算できます。デカルトの定理によれば、トポロジカル球体のすべての角度欠陥は合計で4πラジアンまたは720度でなければなりません。

均一な多面体はすべて同じ頂点を持っているため、この関係により、頂点の数を計算できます。これは、 4π / 欠陥または720 / 欠陥です。

例：切り捨てられた立方体3.8.8には30度の角度欠陥があります。したがって、720/30 = 24の頂点があります。

特に、{ a 、 b }には4 /（2- b （1-2 / a ））頂点があります。

列挙されたすべての頂点構成は、半正多面体を潜在的に一意に定義します。ただし、すべての構成が可能なわけではありません。

トポロジ要件により存在が制限されます。具体的には、 pqrは、 pゴンが交互にqゴンとrゴンに囲まれているため、 pが偶数かqがrに等しいことを意味します。同様に、 qは偶数またはpがrに等しく、 rは偶数またはpがqに等しい。したがって、可能性のあるトリプルは3.3.3、3.4.4、3.6.6、3.8.8、3.10.10、3.12.12、4.4です。 n （ n > 2の場合）、4.6.6、4.6.8、4.6.10、4.6.12、4.8.8、5.5.5、5.6.6、6.6.6。実際、各頂点で3つの面が交わるこれらすべての構成が存在することが判明しました。

括弧内の数字は、角度の欠陥によって決定される頂点の数です。

トリプル

• プラトン固体3.3.3（4）、4.4.4（8）、5.5.5（20）
• プリズム3.4.4（6）、4.4.4（8;上記にも記載）、4.4。 n （2 n ）
• アルキメデスの固体3.6.6（12）、3.8.8（24）、3.10.10（60）、4.6.6（24）、4.6.8（48）、4.6.10（120）、5.6.6（60） 。
• 通常のタイル6.6.6
• 半規則的なタイル3.12.12、4.6.12、4.8.8

四倍

• プラトン固体3.3.3.3（6）
• アンチプリズム3.3.3.3（6;上記にも記載）、3.3.3。 n （2 n ）
• アルキメデスの固体3.4.3.4（12）、3.5.3.5（30）、3.4.4.4（24）、3.4.5.4（60）
• 通常のタイル4.4.4.4
• 半規則的なタイル3.6.3.6、3.4.6.4

五つ星

• プラトン固体3.3.3.3.3（12）
• アルキメデスの固体3.3.3.3.4（24）、3.3.3.3.5（60）（両方ともキラル）
• 半規則的タイル3.3.3.3.6（キラル）、3.3.3.4.4、3.3.4.3.4（同じ数字の2つの異なる順序が2つの異なるパターンを与えることに注意してください）

Sextuples

• 通常のタイル3.3.3.3.3.3

顔の構成

双ピラミッドと台形を含む均一な双対またはカタロニアの固体は、 垂直に規則的 （面推移的）であるため、 面構成と呼ばれることもある同様の表記法で識別できます 。 CundyとRollettは、これらのデュアルシンボルの前にVを付けました 。対照的に、 Tilings and Patternsは、等辺体タイルのシンボルを囲む角括弧を使用します。

この表記は、面の周囲の各頂点に存在する面の数の連続カウントを表します。たとえば、V3.4.3.4またはV（3.4）2は、面推移的な菱形十二面体を表します。すべての面は菱形であり、菱形の交互の頂点にはそれぞれ3つまたは4つの面が含まれます。

ノート