均一なタイリング
ジオメトリでは、 均一なタイリングは、頂点が推移的であるという制限のある、通常のポリゴンフェースによる平面のテッセレーションです。
ユークリッド平面と双曲線平面の両方に均一なタイリングが存在する可能性があります。均一なタイリングは、球体の均一なタイリングと見なすことができる有限の均一な多面体に関連しています。
ほとんどの均一なタイリングは、対称領域と基本領域内の特異なジェネレータポイントで始まるWythoff構造から作成できます。平面対称グループは多角形の基本ドメインを持ち、連続した頂点のミラーの順序で表されるグループ名で表すことができます。
基本領域三角形は（ p q r ）、直角三角形（ p q 2）です。ここで、 p 、 q 、 rは1より大きい整数です。三角形は、球面三角形、ユークリッド平面三角形、またはp 、 qおよびrの値に応じた双曲線平面三角形。
これらの図に名前を付けるためのいくつかの記号スキームがあります。直角三角形領域の修正シュレーフリ記号から：（ p q 2）→{ p 、 q }。 Coxeter-Dynkinダイアグラムは、エッジにラベルが付けられたp 、 q 、 rの三角形グラフです。 r = 2の場合、次数2のドメインノードは反射を生成しないため、グラフは線形です。 Wythoffシンボルは3つの整数を受け取り、縦棒（|）で区切ります。ジェネレータポイントがドメインノードの反対側のミラーから外れている場合、バーの前に表示されます。
最後に、タイリングは、頂点の構成、各頂点の周囲のポリゴンのシーケンスによって説明できます。
すべての均一なタイルは、通常のタイルに適用されるさまざまな操作から構築できます。ノーマン・ジョンソンによって命名されたこれらの操作は、トランケーション（頂点のカット）、整流（エッジが消えるまで頂点のカット）、およびカンテレーション（エッジのカット）と呼ばれます。 Omnitruncationは、切り捨てとカンテレーションを組み合わせた操作です。スナビングは、全廃形式の代替切り捨ての操作です。 （詳細については、Uniform polyhedron＃Wythoff構造演算子を参照してください。）
コクセターグループ
平面のCoxeterグループは、Wythoff構造を定義し、Coxeter-Dynkinダイアグラムで表すことができます。
次を含む整数の順序を持つグループの場合：
| オービフォールド 対称 | コクセターグループ | コクセター 図 | ノート | ||
|---|---|---|---|---|---|
| コンパクト | |||||
| * 333 | （3 3 3） | A〜2 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}} | 33 | 5つの反射フォーム、1つのスナブ | |
| * 632 | （6 3 2） | G〜2 {\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}} | 7つの反射型、1つのスナブ | ||
| * 2222 | （∞2∞2） | I〜1 {\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}×I〜1 {\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}} | 3つの反射型、1つのスナブ | ||
| 非コンパクト（フリーズ） | |||||
| *∞∞ | （∞） | I〜1 {\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}} | |||
| *22∞ | （2 2∞） | I〜1 {\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}×A〜2 {\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}} | 2つの反射型、1つのスナブ | ||
| オービフォールド 対称 | コクセターグループ | コクセター 図 | ノート | |
|---|---|---|---|---|
| コンパクト | ||||
| * pq2 | （pq 2） | 2（p + q）pq | ||
| * pqr | （pqr） | pq + pr + qr pqr | ||
| パラコンパクト | ||||
| *∞p2 | （p∞2） | p> = 3 | ||
| *∞pq | （pq∞） | p、q> = 3、p + q> 6 | ||
| *∞∞p | （p∞∞） | p> = 3 | ||
| *∞∞∞ | （∞∞∞） | |||
ユークリッド平面の均一なタイル
基本的な三角形から構成されるユークリッド平面には、対称グループがあります：（4 4 2）、（6 3 2）、および（3 3 3）。それぞれは、平面を基本的な三角形に分割する一連の反射線で表されます。
これらの対称グループは、3つの規則的なタイルと7つの半規則的なタイルを作成します。さまざまな対称コンストラクターから多数の半規則的なタイルが繰り返されます。
（2 2 2 2）で表されるプリズム対称グループは、一般に長方形の基本領域を持つことができる2セットの平行ミラーで表されます。新しいタイルは生成されません。
無限の基本領域を持つ（∞2 2）で表される別のプリズム対称群。これは、2つの均一なタイル、つまり正角柱と正角アンチプリズムを構築します。
これらの2つのプリズムタイリングの有限面の積み重ねは、平面の1つの非ウィソフィアン一様タイリングを構成します。細長い三角形のタイルと呼ばれ、正方形と三角形の交互の層で構成されます。
直角基本三角形：（ p q 2）
| （ p q 2） | ファンド。 三角形 | 親 | 切り捨てられた | 整流 | Bitruncated | 二整流 （デュアル） | カンテレート | 全角切り捨て （切捨て） | 鼻であしらう |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Wythoffシンボル | q | p 2 | 2 q | p | 2 | p q | 2 p | q | p | q 2 | p q | 2 | p q 2 | | | p q 2 | |
| シュレーフリのシンボル | { p 、 q } | t { p 、 q } | r {p、q} | 2t {p、q} = t {q、p} | 2r {p、q} = {q、p} | rr {p、q} | tr {p、q} | sr {p、q} | |
| コクセター図 | |||||||||
| 頂点設定。 | pq | q.2p.2p | （pq）2 | p。 2q.2q | qp | p。 4.q.4 | 4.2p.2q | 3.3.p. 3.q | |
| 正方形のタイル （4 4 2） | {4,4} | 4.8.8 | 4.4.4.4 | 4.8.8 | {4,4} | 4.4.4.4 | 4.8.8 | 3.3.4.3.4 | |
| 六角形のタイル （6 3 2） | {6,3} | 3.12.12 | 3.6.3.6 | 6.6.6 | {3,6} | 3.4.6.4 | 4.6.12 | 3.3.3.3.6 |
一般的な基本三角形：（pqr）
| Wythoffシンボル （pqr） | ファンド。 三角形 | q | pr | rq | p | r | pq | rp | q | p | qr | pq | r | pqr | | | pqr |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| コクセター図 | |||||||||
| 頂点設定。 | （pq）r | r.2p.q.2p | （pr）q | q.2r.p. 2r | （qr）p | q.2r.p. 2r | r.2q.p. 2q | 3.r.3.q.3.p | |
| 三角 （3 3 3） | （3.3）3 | 3.6.3.6 | （3.3）3 | 3.6.3.6 | （3.3）3 | 3.6.3.6 | 6.6.6 | 3.3.3.3.3.3 |
非シンプルな基本ドメイン
シンプレックスではないユークリッド2空間で唯一可能な基本領域は、コクセター図を使用した長方形（∞2∞2）です。それから生成されるすべてのフォームは、正方形のタイルになります。
双曲線面の均一なタイル
双曲線面には凸正多角形の均一なタイル張りが無限に多くあり、それぞれが異なる反射対称グループ（pqr）に基づいています。
サンプリングは、ここにポアンカレ円盤図法で示されています。
Coxeter-Dynkinダイアグラムは線形形式で与えられますが、実際には三角形であり、後続のセグメントrが最初のノードに接続されています。
新しい形式を生成できる（2 2 2 3）などで始まる四辺形の基本領域を持つ双曲線平面には、さらに対称グループが存在します。同様に、（∞2 3）などのように、頂点を無限に配置する基本的なドメインもあります。
直角基本三角形：（ p q 2）
| （pq 2） | ファンド。 三角形 | 親 | 切り捨てられた | 整流 | Bitruncated | 二整流 （デュアル） | カンテレート | 全角切り捨て （切捨て） | 鼻であしらう |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Wythoffシンボル | q | p 2 | 2 q | p | 2 | pq | 2 p | q | p | q 2 | pq | 2 | pq 2 | | | pq 2 | |
| シュレーフリのシンボル | t {p、q} | t {p、q} | r {p、q} | 2t {p、q} = t {q、p} | 2r {p、q} = {q、p} | rr {p、q} | tr {p、q} | sr {p、q} | |
| コクセター図 | |||||||||
| 頂点図 | pq | （q.2p.2p） | （pqpq） | （p。2q.2q） | qp | （p。4.q.4） | （4.2p.2q） | （3.3.p. 3.q） | |
| （5 4 2） | V4.8.10 | {5,4} | 4.10.10 | 4.5.4.5 | 5.8.8 | {4,5} | 4.4.5.4 | 4.8.10 | 3.3.4.3.5 |
| （5 5 2） | V4.10.10 | {5,5} | 5.10.10 | 5.5.5.5 | 5.10.10 | {5,5} | 5.4.5.4 | 4.10.10 | 3.3.5.3.5 |
| （7 3 2） | V4.6.14 | {7,3} | 3.14.14 | 3.7.3.7 | 7.6.6 | {3,7} | 3.4.7.4 | 4.6.14 | 3.3.3.3.7 |
| （8 3 2） | V4.6.16 | {8,3} | 3.16.16 | 3.8.3.8 | 8.6.6 | {3,8} | 3.4.8.4 | 4.6.16 | 3.3.3.3.8 |
一般的な基本三角形（pqr）
| Wythoffシンボル （pqr） | ファンド。 三角形 | q | pr | rq | p | r | pq | rp | q | p | qr | pq | r | pqr | | | pqr |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| コクセター図 | |||||||||
| 頂点図 | （pr）q | （r.2p.q.2p） | （pq）r | （q.2r.p. 2r） | （qr）p | （r.2q.p. 2q） | （2p.2q.2r） | （3.r.3.q.3.p） | |
| （4 3 3） | V6.6.8 | （3.4）3 | 3.8.3.8 | （3.4）3 | 3.6.4.6 | （3.3）4 | 3.6.4.6 | 6.6.8 | 3.3.3.3.3.4 |
| （4 4 3） | V6.8.8 | （3.4）4 | 3.8.4.8 | （4.4）3 | 3.6.4.6 | （3.4）4 | 4.6.4.6 | 6.8.8 | 3.3.3.4.3.4 |
| （4 4 4） | V8.8.8 | （4.4）4 | 4.8.4.8 | （4.4）4 | 4.8.4.8 | （4.4）4 | 4.8.4.8 | 8.8.8 | 3.4.3.4.3.4 |
均一なタイルの拡張リスト
均一なタイルのリストを展開するには、いくつかの方法があります。
- 頂点図形は、逆向きの面を持ち、頂点を複数回回転できます。
- スターポリゴンタイルを含めることができます。
- アペイロゴン{∞}は、タイル面として使用できます。
- タイルが端から端まで出会うという制限を緩和し、ピタゴラスのタイルなどの追加のタイルを許可することができます。
逆行のある対称グループの三角形には次のものがあります。
（4/3 4/3 2）（6 3/2 2）（6/5 3 2）（6 6/5 3）（6 6 3/2）無限大の対称グループの三角形には次のものがあります。
（4 4/3∞）（3/2 3∞）（6 6/5∞）（3 3/2∞）BrankoGrünbaumは、1987年のTilings and patternsのセクション12.3で、11個の凸形状を含む25個の均一なタイルのリストを列挙し、さらに最初の2つの拡張、スターポリゴンフェース、頂点図形を含む中空のタイルと呼ぶ14個を追加します。
HSM Coxeter等は、1954年の論文「Uniform polyhedra」の表8：Uniform Tessellationsで、最初の3つの拡張を使用し、合計38の均一なタイルを列挙します。 2つのアペイロゴンで構成されるタイルもカウントされる場合、合計は39の均一なタイルと見なされます。
11個の凸解に加えて、コクセターらによってリストされた28個の均一な星型タイル、共有エッジグラフでグループ化したものを以下に示します。わかりやすくするために、最初の7つのタイルではアペイロゴンは着色されていません。その後、1つの頂点の周りのポリゴンのみが着色されます。
フリーズグループの対称性＃図の頂点Config Wythoff Symmetry Notes I1∞.∞p1m1（2つのハーフプレーンタイル、次数2の正角タイル）I24.4.∞∞2 | 2 p1m1角柱プリズムI33.3.3.∞ | 2 2∞p11g Apeirogonalアンチプリズム
| 壁紙グループの対称性 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| マクニール | グリュンバウム | 縁 図 | 固体 | 頂点 構成 | ワイソフ | 対称 |
| I4 | 4.∞.4/3.∞ 4.∞.-4.∞ | 4/3 4 | ∞ | p4m | |||
| I5 | （3.∞.3.∞.3.∞）/ 2 | 3/2 | 3∞ | p6m | |||
| I6 | 6.∞.6/5.∞ 6.∞.-6.∞ | 6/5 6 | ∞ | ||||
| I7 | ∞.3.∞.3/ 2 ∞.3.∞.-3 | 3/2 3 | ∞ | ||||
| 1 | 15 | 3 / 2.12.6.12 -3.12.6.12 | 3/2 6 | 6 | p6m | ||
| 16 | 4.12.4 / 3.12 / 11 4.12.4 / 3.-12 | 2 6（3/2 6/2）| | ||||
| 2 | 8 / 3.4.8 /3.∞ | 4∞| 4/3 | p4m | |||
| 7 | 8 / 3.8.8 / 5.8 / 7 8 / 3.8.-8 / 3.-8 | 4/3 4（4/2∞/ 2）| | ||||
| 8.4 /3.8.∞ 8.-4.8.∞ | 4/3∞| 4 | |||||
| 3 | 12 / 5.6.12 /5.∞ | 6∞| 6/5 | p6m | |||
| 21 | 12 / 5.12.12 / 7.12 / 11 12 / 5.12.-12 / 5.-12 | 6/5 6（6/2∞/ 2）| | ||||
| 12.6 /5.12.∞ 12.-6.12.∞ | 6/5∞| 6 | |||||
| 4 | 18 | 12 / 5.3.12 / 5.6 / 5 | 3 6 | 6/5 | p6m | ||
| 19 | 12 / 5.4.12 / 7.4 / 3 12 / 5.4.-12 / 5.-4 | 2 6/5（3/2 6/2）| | ||||
| 17 | 4.3 / 2.4.6 / 5 4.-3.4.-6 | 3/2 6 | 2 | ||||
| 5 | 8.8 /3.∞ | 4/3 4∞| | p4m | |||
| 6 | 12.12 /5.∞ | 6/5 6∞| | p6m | |||
| 7 | 6 | 8.4 / 3.8 / 5 4.8.-8 / 3 | 2 4/3 4 | | p4m | ||
| 8 | 13 | 6.4 / 3.12 / 7 -6.4.12 / 5 | 2 3 6/5 | | p6m | ||
| 9 | 12 | 12.6 / 5.12 / 7 -12.6.12 / 5 | 3 6/5 6 | | p6m | ||
| 10 | 8 | 4.8 / 5.8 / 5 -4.8 / 3.8 / 3 | 2 4 | 4/3 | p4m | ||
| 11 | 22 | 12 / 5.12 / 5.3 / 2 12 / 5.12 / 5.-3 | 2 3 | 6/5 | p6m | ||
| 12 | 2 | 4.4.3 / 2.3 / 2.3 / 2 4.4.-3.-3.-3 | 非ウィソフィアン | うーん | ||
| 13 | 4 | 4.3 / 2.4.3 / 2.3 / 2 4.-3.4.-3.-3 | | 2 4/3 4/3 | p4g | ||
| 14 | 3.4.3.4/3.3.∞ 3.4.3.-4.3.∞ | | 4/3 4∞ | p4g | |||
自己二重タイル
タイルは自己二重にすることもできます。 Schläfli記号{4,4}の正方形のタイルは、自己二重です。ここに示されているのは、互いに二重の2つの正方形のタイル（赤と黒）です。
