ツイスタースペース

数学では、 ツイスター空間はツイスター方程式solutionsA ′（AΩB）= 0 {\ displaystyle \ nabla _ {A'} ^ {（A} \ Omega ^ {B）} = 0}の解の複素ベクトル空間です。 1960年代にロジャーペンローズとマルコムマッカラムによって説明されました。アンドリューホッジスによると、ツイスター空間は、4つの複素数を使用して、光子が空間を移動する方法を概念化するのに役立ちます。彼はまた、ツイスター空間が弱い核力の非対称性を理解するのに役立つかもしれないと仮定しています。

M {\ displaystyle \ mathbb {M}}で示されるミンコフスキー空間の場合、ツイスター方程式の解は次の形式になります。

ΩA（x）= ωA−ixAA′πA ′{\ displaystyle \ Omega ^ {A}（x）= \ omega ^ {A} -ix ^ {AA'} \ pi _ {A '}}

ここで、ωA{\ displaystyle \ omega ^ {A}}およびπA ′{\ displaystyle \ pi _ {A'}}は2つの定数Weylスピナーであり、xAA ′= σμAA′xμ {\ displaystyle x ^ {AA'} = \ sigma _ {\ mu} ^ {AA '} x ^ {\ mu}}はミンコフスキー空間の点です。このツイスター空間は4次元の複素ベクトル空間であり、その点はZα=（ωA、πA '）{\ displaystyle Z ^ {\ alpha} =（\ omega ^ {A}、\ pi _ {A'}で示されます。 ）}、およびエルミート形式

Σ（Z）=ωAπ¯A+ ω¯A′πA ′{\ displaystyle \ Sigma（Z）= \ omega ^ {A} {\ bar {\ pi}} _ {A} + {\ bar {\ omega} } ^ {A '} \ pi _ {A'}}

これは、コンパクト化されたミンコフスキー時空の共形グループC（1,3）の4重カバーであるグループSU（2,2）の下では不変です。

ミンコフスキー空間の点は、入射関係を介してツイスター空間の部分空間に関連しています

ωA= ixAA′πA ′。{\ displaystyle \ omega ^ {A} = ix ^ {AA'} \ pi _ {A '}。}

この発生関係は、ツイスターの全体的な再スケーリングの下で​​保持されるため、通常、 PTと呼ばれる射影ツイスター空間で機能します。これは、CP3 {\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {3}}の複雑な多様体として同型です。

点x∈M{\ displaystyle x \ in M}が与えられると、CP1 {\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {1の線形埋め込みを与えるものとして入射関係を見ることができる射影ツイスター空間の線に関連します。 }}πA ′{\ displaystyle \ pi _ {A'}}でパラメータ化されています。

射影ツイスター空間と複雑化されコンパクト化されたミンコフスキー空間の幾何学的関係は、ツイスター空間の線と2平面の関係と同じです。より正確には、ツイスター空間は

T：それにフラグマニホールドPの二重ファイブレーションに関連付けられている4 = C←μFν→M、

射影ツイスター空間P ：= F 1（ T ）= P 3（ C ）= P （ C 4）コンパクト化された複合ミンコフスキー空間M ：= F 2（ T ）= G 2（ C 4）= G 2,4（ C ） PとM Fの間の対応空間：= F 1,2（ T ）

上記で、 Pは射影空間、 Gはグラスマン型、 Fはフラグ多様体を表します。二重フィブレーションにより、2つの対応が生じます（ペンローズ変換も参照）、 c ：=ν。 μ−1およびc −1：=μ ν−1

Mは P 5に埋め込まれ〜=〜P（Λ2T）Plücker埋め込みによって、画像がクライン二次です。

根拠

Jacques Hadamardの（翻訳された）言葉で：「実領域の2つの真理の間の最短経路は複雑な領域を通過します。」したがって、 R 4を調べるときはC 2で識別することが有益かもしれません。しかし、そうするための標準的な方法がないため、代わりに2つの間の方向とメトリックに関するすべての同型が考慮されます。複雑な射影3空間P 3（ C ）は、このような同型性を複雑な座標とともにパラメータ化することがわかります。したがって1個の複素座標同定を記載し、他の2つはそれはR 4（インスタントン）上の自己二重接続を持つベクトル束が複雑射影3空間P 3（C上の正則バンドルにbijectively対応することが判明しR 4の点を記述する）。