三角関数シリーズ

三角シリーズは、次の形式のシリーズです。

A02 + ∑n =1∞（Ancos⁡nx+Bnsin⁡nx）。{\ displaystyle {\ frac {A_ {0}} {2}} + \ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty}（A_ {n} \ cos {nx} + B_ {n} \ sin {nx}）。}

用語An {\ displaystyle A_ {n}}およびBn {\ displaystyle B_ {n}}が次の形式の場合、フーリエ級数と呼ばれます。

An =1π∫02πf（x）cos⁡nxdx（n = 0,1,2,3…）{\ displaystyle A_ {n} = {\ frac {1} {\ pi}} \ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \！f（x）\ cos {nx} \、dx \ qquad（n = 0,1,2,3 \ dots）} Bn =1π∫02πf（x）sin⁡nxdx（n = 1,2,3、…）{\ displaystyle B_ {n} = {\ frac {1} {\ pi}} \ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \！f（x）\ sin { nx} \、dx \ qquad（n = 1,2,3、\ dots）}

ここで、f {\ displaystyle f}は積分可能な関数です。

三角級数のゼロ

三角関数シリーズの一意性とゼロは、19世紀のヨーロッパの研究の活発な分野でした。まず、Georg Cantorは、三角関数系列が、間隔{\ displaystyle}で関数f（x）{\ displaystyle f（x）}に収束する場合、それはまったくゼロであるか、より一般的には最大でも有限でゼロでないことを証明しました多くのポイント、シリーズの係数はすべてゼロです。

後カントールはF {\ displaystyleのF}に対する集合Sがゼロであっても無限大であることを証明したが、Sの派生セットS」は 、係数がすべてゼロである、有限です。実際、彼はより一般的な結果を証明しました。 S 0 = Sとし、 S k + 1をS kの派生セットとします。 S nが有限である有限数nがある場合、すべての係数はゼロです。その後、ルベーグは、Sα が有限であるようなα可算無限序が存在する場合、そのシリーズの係数がすべてゼロであることを証明しました。一意性の問題にカントールの仕事は、有名な添字としてαSの αに登場transfinite序数を、発明する彼を導きました。

ツィグムントの本

Antoni Zygmundは、 Trigonometric Seriesというタイトルの古典的な2巻の本を執筆し、これらのシリーズのさまざまな側面について説明しています。初版は1935年に出版された単巻でした（わずかに異なるタイトル「三角関数シリーズ」の下）。 1959年の第2版は大幅に拡張されて2巻になりましたが、後に単巻の文庫として再版されました。 2002年の第3版は第2版と類似していますが、ロバートAフェファーマンによる最近の開発、特に平方積分関数のほぼすべての点ごとの収束に関するカーレソンの定理に関する序文が追加されています。