超越方程式

超越方程式とは、解く変数の超越関数を含む方程式です。そのような方程式は、多くの場合、閉形式の解を持ちません。例は次のとおりです。

x = e−xx =cos⁡x2x= x2 {\ displaystyle {\ begin {aligned} x＆= e ^ {-x} \\ x＆= \ cos x \\ 2 ^ {x}＆= x ^ {2} \ end {aligned}}}

解ける超越方程式

超越関数への引数として、解くべき変数が一度しか現れない方程式は、逆関数で簡単に解くことができます。同様に、方程式をそのような場合に因数分解または変換できる場合：

方程式	解決策
ln⁡x= 3 {\ displaystyle \ ln x = 3}	x = e3 {\ displaystyle x = e ^ {3}}
sin⁡x= 0 {\ displaystyle \ sin x = 0}	x =πn{\ displaystyle x = \ pi n}（n {\ displaystyle n}の場合は整数）
cos⁡x=sin⁡2x{\ displaystyle \ cos x = \ sin {2x}}	cos⁡x=2sin⁡xcos⁡x{\ displaystyle \ cos x = 2 \ sin x \ cos x}（二重角式を使用）と同等で、その解はcos⁡x= 0 {\ displaystyle \ cos x = 0}および2sin⁡x= 1 {\ displaystyle 2 \ sin x = 1}のx =πn+π/ 2 {\ displaystyle x = \ pi n + \ pi / 2}およびx =2πm+π/ 6 {\ displaystyle x = {2 \ pi m} + \ pi / 6}およびx =π（2k + 1）−π / 6 {\ displaystyle x = \ pi（2k + 1）-\ pi / 6}（ m、n、k {\ displaystyle m、n、k}整数の場合）

代数関数と超越関数の合成であるため、解決できるものもあります。

方程式	解決策
3（2x）−2 = 4x {\ displaystyle 3（2 ^ {x}）-2 = 4 ^ {x}}	3q−2 = q2 {\ displaystyle 3q-2 = q ^ {2}}を解き、q = 1 {\ displaystyle q = 1}またはq = 2 {\ displaystyle q = 2}を与え、2x = q {\ displaystyleを与える2 ^ {x} = q}、したがってx = 0 {\ displaystyle x = 0}またはx = 1 {\ displaystyle x = 1}

しかし、変数が超越関数への引数としても方程式のどこにも現れるほとんどの方程式は、閉じた形では解けないか、または些細な解しかありません。

方程式	解決策
ex = x {\ displaystyle e ^ {x} = x}	すべてのx {\ displaystyle x}に対してex> x {\ displaystyle e ^ {x}> x}のような実際のソリューションはありません
sin⁡x= x {\ displaystyle \ sin x = x}	x = 0 {\ displaystyle x = 0}が唯一の実際のソリューションです

近似解

超越方程式の近似数値解は、数値的、解析的近似、またはグラフィカルな方法を使用して見つけることができます。

任意の方程式を解くための数値的手法は、ルート探索アルゴリズムと呼ばれます。

場合によっては、ゼロに近いテイラー級数を使用して方程式をうまく近似できます。たとえば、k≈1{\ displaystyle k \ approx 1}の場合、sin⁡x= kx {\ displaystyle \ sin x = kx}の解は、おおよそ（1-k）x-x3 / 6 = 0 { \ displaystyle（1-k）xx ^ {3} / 6 = 0}、つまりx = 0 {\ displaystyle x = 0}およびx =±61-k {\ displaystyle x = \ pm {\ sqrt {6}} {\ sqrt {1-k}}}。

グラフィカルなソリューションの場合、1つの方法は、単一変数の超越方程式の各辺を従属変数に等しく設定し、その交点を使用して2つのグラフをプロットし、ソリューションを見つけることです。

場合によっては、特別な関数を使用して、超越方程式の解を閉じた形で記述することができます。特に、x = e−x {\ displaystyle x = e ^ {-x}}には、ランバートW関数に関する解決策があります。