移行曲線を追跡する

線路移行曲線 、またはスパイラル地役権は、高速道路または鉄道線路のセクションで数学的に計算された曲線で、直線セクションが曲線に変わります。横方向（または求心性）加速度の突然の変化を防ぐように設計されています。 （上から見た）平面では、水平曲線の遷移の開始点は無限の半径にあり、遷移の終了点では曲線自体と同じ半径を持っているため、非常に広い螺旋を形成します。同時に、垂直面では、曲線の外側が次第に上がり、正しいバンクの程度に達します。

そのような緩和が適用されない場合、鉄道車両の横方向の加速度は、1つのポイント（直線トラックが曲線に接する接点）で急激に変化し、望ましくない結果になります。路上走行車の場合、ドライバーは自然に段階的にステアリングの変更を適用し、カーブは同じ原理を使用してそれを可能にするように設計されています。

歴史

初期の鉄道では、低速と広半径曲線が採用されていたため、測量士はあらゆる形態の地役権を無視することができましたが、19世紀には速度が上がるにつれて、徐々に曲率が大きくなる軌道曲線の必要性が明らかになりました。ランキンさん1862「土木は」ウィリアム・グラヴァットによる「正弦曲線」に基づいて、1828年または1829年の提案、及び弾性曲線を近似1842の周りのウィリアム・フルードによる調整の曲線を含むいくつかのそのような曲線を、引用しています。ランキンで与えられる実際の方程式は、3次曲線の方程式であり、3次の多項式曲線であり、3次放物線としても知られています。

英国では、法律と土地の費用が鉄道ルートのレイアウトを制限し始め、より厳しい曲線が必要になった1845年からのみ、原則が実際に適用され始めました。

曲率が弧長で正確に線形である「真のスパイラル」では、ランキンが引用した提案よりも高度な数学（特に、固有の方程式を積分する能力）を計算する必要があります。 19世紀後半のいくつかの土木技術者は、この曲線の方程式を独自に導出したようです（1744年にレオンハルトオイラーによって曲線の元の特性化に気付いていません）。チャールズクランドールは、1880年12月3日付けの鉄道公報でエリスホルブルックの1人に曲線の最初の正確な記述を認めました。別の初期の出版物は、1890年に最初に出版されたアーサーN.タルボットによる鉄道移行スパイラルでした。20世紀初頭の著者の中には、曲線を「グラバーのスパイラル」と呼び、ジェームズグラバーの1900年の出版物に起因するものがあります。

鉄道の移行スパイラルとクロソイドの同等性は、1922年にアーサーロバートヒギンズによって最初に発表されたようです。それ以来、「クロソイド」は曲線を考えると最も一般的な名前ですが、正しい名前（学術的帰属の基準に従って）は「オイラースパイラル」です。

幾何学

鉄道線路のジオメトリは本質的に3次元ですが、実際の目的のために、線路ジオメトリの垂直成分と水平成分は通常別々に扱われます。

通常、垂直ジオメトリの全体的な設計パターンは、ローカルグレードが距離に応じて線形に変化するため、標高が距離に応じて二次的に変化する垂直遷移曲線によって接続された一定勾配のセグメントのシーケンスです。ここでグレードとは、トラックの立ち上がり角のタンジェントを指します。通常、水平ジオメトリの設計パターンは、遷移曲線で接続された一連の直線（つまり接線）と曲線（つまり円弧）セグメントです。

鉄道線路の盛土の程度は、通常、2つのレールの標高の差として表され、一般的に定量化され、横断勾配摺り付けと呼ばれます。レールの高さのこのような差は、物体が湾曲した経路に沿って移動するために必要な求心加速度を補償することを目的としているため、乗客/貨物の負荷が受ける横方向の加速度が最小限に抑えられ、乗客の快適性が向上し、荷重シフトの可能性（輸送中の貨物の移動、事故や損傷の原因）。

横断勾配摺り付けは、「上部」の標高差によって反映されるトラック構造全体のバンクではなく、個々のレールの「傾斜」を記述するために使用されるレールのロール角と同じではないことに注意することが重要ですレールの」。水平方向の配置とトラックの横断勾配摺り付けに関係なく、個々のレールはほとんど常に、ゲージ側（車輪がレールと接触する側）に向かって「転がる」/「傾く」ように設計され、加えられる水平方向の力を補償します通常の鉄道交通の下で車輪によって。

接線セグメントの横断勾配摺り付けのゼロから次のカーブのボディに選択された値への変化は、接線と適切なカーブを接続する遷移カーブの長さにわたって発生します。トランジションの長さにわたって、トラックの曲率は、接線セグメントに接する端のゼロから、曲線体の曲率の値まで変化します。曲線体の曲率は、曲線体の半径全体の数値に等しくなります。

遷移曲線の最も単純で最も一般的に使用される形式は、横断勾配摺り付けと水平曲率の両方がトラックに沿った距離に応じて線形に変化するものです。この螺旋に沿った点のデカルト座標は、フレネル積分によって与えられます。結果の形状は、オイラースパイラルの一部と一致します。これは、一般に「クロソイド」とも呼ばれ、「コーヌスパイラル」とも呼ばれます。

遷移曲線は、一定の非ゼロ曲率のトラックセグメントを、いずれかの符号のゼロまたは非ゼロの一定曲率を持つ別のセグメントに接続できます。同じ方向の連続した曲線はプログレッシブ曲線と呼ばれ、反対方向の連続した曲線は逆曲線と呼ばれます。

オイラースパイラルは、トラックの横断勾配摺り付けの変化率（つまり、トラックのねじれ）に所定の制限が適用される場合、最短の遷移を提供します。しかし、長い間認識されてきたように、大きな（概念的には無限の）ロール加速度と両端での求心加速度の変化率のために、望ましくない動的特性があります。パーソナルコンピュータの機能のため、オイラースパイラルよりもダイナミクスの優れたスパイラルを採用することが現在実用的です。