四面体対称性
畳み込み対称
Cs、（*）
=
巡回対称
Cnv、（* nn）
=
二面対称
Dnh、（* n22）
=多面体グループ、、（* n32）
四面体対称性
Td、（* 332）
=
八面体対称性
あ、（* 432）
=
二十面体対称性
ああ、（* 532）
=
正四面体には、12の回転（または方向を保持する）対称性と、反射と回転を組み合わせた変換を含む24の対称次数があります。
すべての対称性のグループは、4つのオブジェクトの順列の対称グループであるグループS4と同型です。これは、四面体の頂点の順列ごとに1つの対称性があるためです。方向を維持する対称性のセットは、S4の交互サブグループA4と呼ばれるグループを形成します。
詳細
キラルおよびフル （またはアキラルな四面体対称性およびピリトヘドラル対称性 ）は、離散点対称（または、球体上の対称）です。それらは、立方晶系の結晶学的な点群の一つです。
| C3 | C3 | C2 |
| 2 | 2 | 3 |
ステレオ投影で見ると、四面体の六面体のエッジは、平面内で6つの円（または中心に放射状の線）を形成します。これらの6つの円はそれぞれ、四面体対称の鏡線を表しています。これらの円の交点は、2番目と3番目の次の回転点で交わります。
| 直交 | ステレオ投影 | ||
|---|---|---|---|
| 4つ折り | 3つ折り | 2つ折り | |
| キラル四面体対称性、T、（332）、+ =、= | |||
| ピリトヘドラル対称性、Th、（3 * 2）、、 | |||
| アキラルな四面体対称性、Td、（* 332）、=、= | |||
キラル四面体対称性
基本領域を持つ四面体回転グループT。トリアキス四面体については、以下を参照してください。後者は1つのフルフェイスです | 四面体は、回転だけで12の異なる位置に配置できます。これらは上記のサイクルグラフ形式で、180°エッジ（青矢印）および120°頂点（赤矢印）の回転とともに、四面体をこれらの位置に移動します。 | 四面体の六面体では、1つの完全な面が基本的なドメインです。同じ対称性を持つ他のソリッドは、面の向きを調整することで取得できます。たとえば、選択した面のサブセットを平坦化して各サブセットを1つの面に結合したり、各面を複数の面または曲面で置き換えたりすることで取得できます |
T 、 332 、+、または23次の12 – カイラルまたは回転四面体対称 。 3つの直交方向の間の中心に加えて4つの3倍の軸を有するキラルな二面対称D 2又は222のような三つの直交2倍の回転軸は、、、があります。このグループは、4つの要素の交互グループであるA 4と同型です。実際、4つの3重軸の偶数順列のグループです：e、（123）、（132）、（124）、（142）、（134）、（143）、（234）、（243） 、（12）（34）、（13）（24）、（14）（23）。
Tの共役クラスは次のとおりです。
- 身元
- 4×時計回りに120°回転（頂点から見て）：（234）、（143）、（412）、（321）
- 4×反時計回りに120°回転（同上）
- 3×180°回転
180°の回転と恒等式は、タイプZ3の商グループとともに、タイプDih2の通常のサブグループを形成します。後者の3つの要素は、同一性、「時計回りの回転」、および「反時計回りの回転」であり、3つの直交2軸の順列に対応し、方向を保持します。
|有限群G与えられたとの除数D：A4は、ラグランジュの定理の逆が一般的に真実ではないことを証明する最小グループでありますG |、次数dのGのサブグループは必ずしも存在しません。グループG = A4には次数6のサブグループはありません。これは一般的な抽象グループのプロパティですが、キラル四面体の等尺性グループから明らかです対称性：キラリティーのため、サブグループはC6またはD3でなければなりませんが、どちらも当てはまりません。
カイラル四面体対称性のサブグループ
| シュー。 | コクセター | オーブ。 | HM | 発電機 | 構造 | Cyc | 注文 | 索引 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | + | = | 332 | 23 | 2 | A4 | 12 | 1 | |
| D2 | + | = | 222 | 222 | 3 | Dih2 | 4 | 3 | |
| C3 | + | 33 | 3 | 1 | Z3 | 3 | 4 | ||
| C2 | + | 22 | 2 | 1 | Z2 | 2 | 6 | ||
| C1 | + | 11 | 1 | 1 | Z1 | 1 | 12 | ||
アキラル四面体対称性
Td 、 * 332または43m、24次– アキラルまたは完全な四面体対称 。（2,3,3）三角形グループとも呼ばれます。このグループにはTと同じ回転軸がありますが、それぞれ2つの3軸を通る6つのミラー平面があります。 2倍軸はS4（4）軸になりました。 TdとOは抽象グループとして同型です。これらは両方とも、4つのオブジェクトの対称グループであるS4に対応しています。 Tdは、Tと、O \ Tの各要素を反転して結合したセットの和集合です。正四面体のアイソメトリも参照してください。
Tdの共役クラスは次のとおりです。
- 身元
- 8×120°回転（C3）
- 3×180°回転（C2）
- 2つの回転軸（Cs）を通る平面での6×反射
- 6×90°の回転反射（S4）
アキラルな四面体対称性のサブグループ
| シュー。 | コクセター | オーブ。 | HM | 発電機 | 構造 | Cyc | 注文 | 索引 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Td | * 332 | 43m | 3 | S4 | 24 | 1 | |||
| C3v | * 33 | 3m | 2 | Dih3 = S3 | 6 | 4 | |||
| C2v | * 22 | mm2 | 2 | Dih2 | 4 | 6 | |||
| Cs | * | 2またはm | 1 | Z2 = Dih1 | 2 | 12 | |||
| D2d | 2 * 2 | 42m | 2 | Dih4 | 8 | 3 | |||
| S4 | 2× | 4 | 1 | Z4 | 4 | 6 | |||
| T | + | 332 | 23 | 2 | A4 | 12 | 2 | ||
| D2 | + | 222 | 222 | 2 | Dih2 | 4 | 6 | ||
| C3 | + | 33 | 3 | 1 | Z3 = A3 | 3 | 8 | ||
| C2 | + | 22 | 2 | 1 | Z2 | 2 | 12 | ||
| C1 | + | 11 | 1 | 1 | Z1 | 1 | 24 | ||
ピリトヘドラル対称性
Th 、 3 * 2 、またはm3、24次– ピリトヘドラル対称性 。このグループには、Tと同じ回転軸があり、2つの直交方向を通る鏡面があります。 3倍の軸はS6（3）軸になり、中心の反転対称性があります。 Thは、T×Z2と同型です。Thのすべての要素は、Tの要素、または反転と結合した要素のいずれかです。これら2つの通常のサブグループとは別に、タイプDih2×Z2 = Z2×Z2×Z2の通常のサブグループD2h（直方体のサブグループ）もあります。これは、Tの通常のサブグループ（上記参照）とC iの直接積です。商グループは上記と同じです：タイプZ3。後者の3つの要素は、同一性、「時計回りの回転」、および「反時計回りの回転」であり、3つの直交2軸の順列に対応し、方向を保持します。
これは、隣接する面の線分がエッジで交わらないように、面を2つの等しい長方形に分割する線分を各面に持つ立方体の対称性です。対称性は、本体の対角線の偶数の順列に対応し、反転と同じ組み合わせになります。それはまた、記述された立方体に非常に似ているピリトヘドロンの対称性であり、各長方形は1つの対称軸と4つの等しい辺と1つの異なる辺（立方体の面を分割する線分に対応するもの）を持つ五角形に置き換えられています;すなわち、立方体の面は分割線で膨らみ、そこで狭くなります。これは、完全な二十面体対称グループのサブグループであり（10個の3軸のうちの4個を含む、抽象的なグループとしてではなく、アイソメグループとして）。
Thの共役クラスにはTの共役クラスが含まれ、4つの2つのクラスが結合され、それぞれが反転します。
- 身元
- 8×120°回転（C3）
- 3×180°回転（C2）
- 反転（S2）
- 8×60°の回転反射（S6）
- 3×平面内反射（Cs）
ピリトヘドラル対称性のサブグループ
| シュー。 | コクセター | オーブ。 | HM | 発電機 | 構造 | Cyc | 注文 | 索引 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Th | 3 * 2 | m3 | 2 | A4×2 | 24 | 1 | |||
| D2h | * 222 | うーん | 3 | Dih2×Dih1 | 8 | 3 | |||
| C2v | * 22 | mm2 | 2 | Dih2 | 4 | 6 | |||
| Cs | * | 2またはm | 1 | Dih1 | 2 | 12 | |||
| C2h | 2 * | 2 / m | 2 | Z2×Dih1 | 4 | 6 | |||
| S2 | × | 1 | 1 | 2またはZ2 | 2 | 12 | |||
| T | + | 332 | 23 | 2 | A4 | 12 | 2 | ||
| D3 | + | 322 | 3 | 2 | Dih3 | 6 | 4 | ||
| D2 | + | 222 | 222 | 3 | Dih4 | 4 | 6 | ||
| C3 | + | 33 | 3 | 1 | Z3 | 3 | 8 | ||
| C2 | + | 22 | 2 | 1 | Z2 | 2 | 12 | ||
| C1 | + | 11 | 1 | 1 | Z1 | 1 | 24 | ||
カイラル四面体対称性を持つ固体
スナブ四面体として着色された正二十面体は、カイラル対称性を持っています。
完全な四面体対称性を持つソリッド
| クラス | 名前 | 画像 | 顔 | エッジ | 頂点 |
|---|---|---|---|---|---|
| プラトン固体 | 四面体 | 4 | 6 | 4 | |
| アルキメデスの固体 | 切頭四面体 | 8 | 18 | 12 | |
| カタロニア語固体 | トリアキス四面体 | 12 | 18 | 8 | |
| ニアミスジョンソンソリッド | 切り捨てられたトリアキス四面体 | 16 | 42 | 28 | |
| 四面体 | 28 | 54 | 28 | ||
| 均一な星の多面体 | 四面体六面体 | 7 | 12 | 6 |
