スター多面体

幾何学では、 星型多面体は多面体であり、非凸性の反復的な品質を持ち、星のような視覚的品質を与えます。

星型多面体には、2つの一般的な種類があります。

• 反復的に自己交差する多面体。
• 凸状と凹状またはor状の頂点を繰り返し交互に繰り返す特定の種類の凹多面体。数学的には、これらの数字はスタードメインの例です。

星形多面体の数学的研究は通常、規則的で均一な多面体、または均一な多面体の双対に関するものです。これらの星はすべて、自己交差する種類のものです。

自己交差星多面体

正星多面体

通常の星の多面体は、自己交差する多面体です。自己交差する面、または自己交差する頂点図形のいずれかがあります。

ケプラー・ポインソット多面体として知られる4つの規則的な星の多面体があります。 Schläfli記号{p、q}は、 p辺を持つ面、 q辺を持つ頂点図形を意味します。それらのうちの2つには五角形の{5/2}面があり、2つには五角形の頂点図形があります。

これらの画像は、それぞれのフォームに黄色の単一の顔があり、その顔の可視部分を示しています。

均一で均一な二重星多面体

プリズムと反プリズム、およびそれらの双対の2つの無限級数を含む多くの均一な星の多面体があります。

均一および二重均一星多面体は、自己交差多面体でもあります。それらは、自己交差する面、または自己交差する頂点図形、またはその両方を持っています。

均一な星の多面体には、規則的な面または規則的な星の多角形面があります。二重の均一な星の多面体には、規則的な面または規則的な星形の多角形の頂点図形があります。

星座とファセット

上記の形式を超えて、自己交差（スター）多面体の無制限のクラスがあります。

2つの重要なクラスは、凸多面体の星座とその双対、双多面体のファセットです。

たとえば、正二十面体の完全な星座（図を参照）は、それぞれが（9/4）の多角形である12の同一の面で構成される自己交差する多面体として解釈できます。以下は、1つの面が黄色で描かれたこの多面体の図です。

スターポリトープ

任意の数の次元で同様に自己交差するポリトープは、 星型ポリトープと呼ばれます。

通常のポリトープ{p、q、r、...、s、t}は、そのファセット{p、q、... s}または頂点図形{q、r、...、s 、t}は星型ポリトープです。

4つの次元では、10個の規則的な星の多毛は、シュレーフリーヘス多毛と呼ばれます。通常の星の多面体と同様に、これらの10個はすべて、5つの通常のプラトン立体の1つまたは4つの通常の星ケプラーポインソ多面体のいずれかであるファセットで構成されています。

たとえば、3つの空間に直交して投影された、偉大な星型120セルは次のようになります。

4を超える次元には通常の星型ポリトープはありません。

スタードメインスター多面体

1つの内部ポイントからすべての内部を見ることができるように、それ自体を交差させない多面体は、スタードメインの例です。多くの自己交差星多面体の目に見える外部部分は、星のドメインの境界を形成しますが、それらの類似した外観にもかかわらず、抽象的な多面体としてこれらは異なる構造です。たとえば、小さな星型12面体には12個の五角形の面がありますが、対応する星形領域には60個の二等辺三角形の面があり、それに応じて異なる数の頂点とエッジがあります。

多面体の星形ドメインは、通常は宗教的な性質を持つさまざまなタイプのアーキテクチャに表示されます。たとえば、多くのバロック様式の教会では、教会を建てた教皇の象徴として、ハンガリーの教会や他の宗教的な建物で見られます。これらの星は装飾としても使用できます。モラビア星は両方の目的に使用され、さまざまな形で構成できます。