余弦の球面法則
球面三角法では、余弦の法則 （ 側面の余弦則とも呼ばれます ）は球面三角形の側面と角度に関連する定理で、平面三角法の余弦の通常の法則に似ています。
単位球を考えると、球の表面上の「球形の三角形」は、球上の3つの点u 、 v 、 wを結ぶ大円によって定義されます（右図）。これらの3つの辺の長さがa （ uからv ）、 b （ uからw ）、 c （ vからw ）で、 cの反対側の角の角度がCの場合、（最初の）球面コサインの法則：
cosc=cosacosb+sinasinbcosC{\ displaystyle \ cos c = \ cos a \ cos b + \ sin a \ sin b \ cos C \、}これは単位球であるため、長さa 、 b 、およびcは、球の中心からこれらの側面によって定められた角度（ラジアン単位）に単純に等しくなります。 （非単位球の場合、長さは範囲角度に半径を掛けたものであり 、 a 、 b 、 cが範囲角度として再解釈される場合、式は保持されます）。特殊なケースとして、 C =π/ 2の場合、cos C = 0であり、ピタゴラスの定理の球面類似物を取得します。
cosc=cosacosb{\ displaystyle \ cos c = \ cos a \ cos b \、}余弦の法則を使用してcを解くと、 cが小さい場合、余弦を反転する必要があるため丸め誤差が大きくなります 。この場合、ハベシンの法則の代替定式化が望ましい。
余弦の法則の変形、余弦の2番目の球面法則（ 角度の余弦則とも呼ばれます）状態：
cosC= −cosAcosB +sinAsinBcosc{\ displaystyle \ cos C =-\ cos A \ cos B + \ sin A \ sin B \ cos c \、}ここで、 AとBは、それぞれ側面aとbの反対側の角の角度です。これは、与えられた三角形と二重の球面三角形を考慮することで得られます。
証明
最初の証明
u 、 v 、およびwは、球の中心から三角形の角までの単位ベクトルを示します。座標系が回転しても角度と距離は変わらないため、座標系を回転してu {\ displaystyle \ mathbf {u}}が北極に、v {\ displaystyle \ mathbf {v}}が子午線上のどこか（経度0）。この回転により、v {\ displaystyle \ mathbf {v}}の球面座標は（r、θ、ϕ）=（1、a、0）{\ displaystyle（r、\ theta、\ phi）=（1、ここで、 θは赤道ではなく北極から測定された角度であり、w {\ displaystyle \ mathbf {w}}の球面座標は（r、θ、ϕ）=（1、b、 C）{\ displaystyle（r、\ theta、\ phi）=（1、b、C）}。 v {\ displaystyle \ mathbf {v}}のデカルト座標は（x、y、z）=（sina、0、cosa）{\ displaystyle（x、y、z）=（\ sin a、 0、\ cos a）}およびw {\ displaystyle \ mathbf {w}}のデカルト座標は（x、y、z）=（sinbcosC、sinbsinC、cosb）{\ displaystyle（x、y、z）=（\ sin b \ cos C、\ sin b \ sin C、\ cos b）}。 cosc{\ displaystyle \ cos c}の値は、2つのデカルトベクトルのドット積であり、sinasinbcosC+cosacosb{\ displaystyle \ sin a \ sin b \ cos C +です。 \ cos a \ cos b}。
第二の証拠
u 、 v 、およびwは、球の中心から三角形の角までの単位ベクトルを示します。 u・u = 1、 v・w = cos c 、 u・v = cos a 、 u・w = cos bです。 Uが Vの ×ので、それぞれの長さのSiN a及び罪Bを有し、それらの間の角度は、C wは uが ×ベクター
sin a sin b cos C =（ u × v ）・（ u × w ）=（ u・u ）（ v・w ）-（ u・v ）（ u・w ）= cos c -cos a cos b 、クロス積、ドット積、およびBinet–Cauchyアイデンティティ（ p × q ）・（ r × s ）=（ p・r ）（ q・s ）−（ p・s ）（ q・r ）
再配置
余弦の第1および第2球面法則は、方程式の反対側に辺（ a 、 b 、 c ）および角度（ A 、 B 、 C ）を配置するように再配置できます。
cosC= cosc−cosacosbsinasinbcosc =cosC+cosAcosBsinAsinB{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ cos C＆= {\ frac { \ cos c- \ cos a \ cos b} {\ sin a \ sin b}} \\\\\ cos c＆= {\ frac {\ cos C + \ cos A \ cos B} {\ sin A \ sin B} } \\\ end {aligned}}}平面限界：小さい角度
小さな球面三角形、つまり小さなa 、 b 、およびcの場合、余弦の球面法則は余弦の通常の平面法則とほぼ同じです。
c2≈a2+b2-2abcosC。{\ displaystyle c ^ {2} \ approx a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos C \ ,.}これを証明するために、コサイン関数とサイン関数に対して、Maclaurinシリーズから取得した小角近似を使用します。
cosa= 1−a22 + O（a4）、sina= a + O（a3）{\ displaystyle \ cos a = 1-{\ frac {a ^ {2}} {2}} + O \ left （a ^ {4} \ right）、\、\ sin a = a + O \ left（a ^ {3} \ right）}これらの式を余弦ネットの球面法則に代入すると：
1−c22 + O（c4）= 1−a22−b22 + a2b24 + O（a4）+ O（b4）+cos（C）（ab + O（a3b）+ O（ab3）+ O（a3b3）） {\ displaystyle 1-{\ frac {c ^ {2}} {2}} + O \ left（c ^ {4} \ right）= 1-{\ frac {a ^ {2}} {2}}- {\ frac {b ^ {2}} {2}} + {\ frac {a ^ {2} b ^ {2}} {4}} + O \ left（a ^ {4} \ right）+ O \ left（b ^ {4} \ right）+ \ cos（C）\ left（ab + O \ left（a ^ {3} b \ right）+ O \ left（ab ^ {3} \ right）+ O \ left（a ^ {3} b ^ {3} \ right）\ right）}または単純化した後：
c2 = a2 + b2−2abcosC + O（c4）+ O（a4）+ O（b4）+ O（a2b2）+ O（a3b）+ O（ab3）+ O（a3b3）。{\ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos C + O \ left（c ^ {4} \ right）+ O \ left（a ^ {4} \ right）+ O \ left （b ^ {4} \ right）+ O \ left（a ^ {2} b ^ {2} \ right）+ O \ left（a ^ {3} b \ right）+ O \ left（ab ^ {3 } \ right）+ O \ left（a ^ {3} b ^ {3} \ right）。}aとbのための大きなO用語はOによって支配されている（4）+ O（B 4）とbと小さな得るので、我々は、この最後の式を書くことができます：
c2 = a2 + b2−2abcosC + O（a4）+ O（b4）+ O（c4）。{\ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos C + O \ left（a ^ {4} \ right）+ O \ left（b ^ {4} \ right）+ O \ left（c ^ {4} \ right）。}
