スナブ（ジオメトリ）
スナッブキューブまたは
スナブ立方体
十二面体または
十二面体
ジオメトリでは、 スナブは多面体に適用される操作です。この用語は、スナブキューブ（cubus simus）とスナブ正十二面体（十二面体simum）の2つのアルキメデスソリッドのケプラーの名前に由来します。一般に、スナブは、時計回りまたは反時計回りの向きの2つの形式のカイラル対称性を持っています。ケプラーの名前では、スナブは、面が離れて移動し、中心がねじれ、元の頂点を中心とする新しいポリゴンと、元のエッジの間に収まる三角形のペアが追加された、通常の多面体の拡張として見ることができます。
用語はコクセターによって一般化されましたが、より広い定義の均一なポリトープに対して、わずかに異なる定義が付けられました。
コンウェイスナブ
ジョン・コンウェイは一般化された多面体演算子を調査し、多面体とタイルに適用できる現在のコンウェイ多面体表記法を定義しました。 ConwayはCoxeterの操作を準スナブと呼びます。
この表記では、snubはデュアル演算子とジャイロ演算子によってs = dgとして定義されており、ambo演算子の切り捨てを交互に行うことに相当します。 Conwayの表記法自体は、面が偶数の多面体にのみ適用されるため、Coxeterの交互（半分）操作を回避します。
| 形 | 多面体 | ユークリッド | 双曲線 | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| コンウェイ 表記法 | sT | sC = sO | sI = sD | sQ | sH =sΔ | sΔ7 |
| スナッブ 多面体 | 四面体 | キューブまたは 八面体 | 正二十面体または 十二面体 | 正方形のタイル | 六角形のタイルまたは 三角形のタイル | 七角形のタイルまたは Order-7三角タイル |
| 画像 | ||||||
4次元で、コンウェイは、それが彼の3次元多面体の使用などomnitruncated交互に24セルを表していないため、スナバ24細胞は半スナバ24細胞と呼ばれるべきである示唆する。代わりに、実際には交互に切り捨てられた24セルです。
コクセターのスナブ、レギュラーおよび準レギュラー
| シード | 整流 r | 切り捨てられた t | 交互 h |
|---|---|---|---|
キューブ | 直方体 整流キューブ | 切り捨てられた直方体 Cantitruncatedキューブ | スナブ立方体 スナブ整流キューブ |
| C | CO rC | tCO trCまたはtrO | htCO = sCO htrC = srC |
| {4,3} | {43} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} 4 \\ 3 \ end {Bmatrix}}}またはr {4,3} | t {43} {\ displaystyle t {\ begin {Bmatrix} 4 \\ 3 \ end {Bmatrix}}}またはtr {4,3} | ht {43} = s {43} {\ displaystyle ht {\ begin {Bmatrix} 4 \\ 3 \ end {Bmatrix}} = s {\ begin {Bmatrix} 4 \\ 3 \ end {Bmatrix}}} htr {4,3} = sr {4,3} |
| または | または | または | |
Coxeterの冷遇の用語は、 スナバ二十・十二面体としてスナバ立方八面体などの変形立方体、および変形十二面体を導出し、交番切り捨てを意味し、わずかに異なっています。この定義は、2つのジョンソンソリッドの命名に使用されます：スナブディスフェノイド、スナブスクエアアンチプリズム、および4次元スナブ24セル、またはs {3,4,3}などの高次元ポリトープ。
Schläfliシンボル、{p、q} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p、q \ end {Bmatrix}}}、およびCoxeterダイアグラムを含む通常の多面体（またはタイル）には、t {p、q}として定義された切り捨てがあります。 {\ displaystyle t {\ begin {Bmatrix} p、q \ end {Bmatrix}}}、および代替切り捨てht {p、q} = s {p、q} {\ displaystyle ht {\ begin { Bmatrix} p、q \ end {Bmatrix}} = s {\ begin {Bmatrix} p、q \ end {Bmatrix}}}、およびCoxeterダイアグラム。この構造では、 qが偶数であることが必要です。
準正多面体{pq} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}またはr { p 、 q }、コクセター図、またはt {pq} {\として定義される準正則な切り捨てdisplaystyle t {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}またはtr { p 、 q }、およびCoxeterダイアグラム、または代替の切り捨てられた整流ht {pq} = s {pq} { \ displaystyle ht {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}} = s {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}またはhtr { p 、 q } = sr { p 、 q }、およびCoxeter図または。
たとえば、ケプラーのスナッブキューブは準正方立方八面体から派生し、垂直シュレーフリ記号{43} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} 4 \\ 3 \ end {Bmatrix}}}、およびCoxeterダイアグラムなどです。垂直シュレーフリ記号s {43} {\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} 4 \\ 3 \ end {Bmatrix}}}とCoxeterダイアグラムで表される、 スナブ立方体と明示的に呼ばれます。スナブ立方八面体は、 切り捨てられた立方八面体 、t {43} {\ displaystyle t {\ begin {Bmatrix} 4 \\ 3 \ end {Bmatrix}}}およびの交互です。
また、交互に切り捨て、 スナバ八面体のような、S {3,4} {\ displaystyle S {\開始{Bmatrix} -3,4- \端{Bmatrix}}}、（と冷遇としてあしらわされる偶数次の頂点を有する正多面体四面体 s {33} {\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} 3 \\ 3 \ end {Bmatrix}}}として、）は、正二十面体を表します。これは、正二十面体対称の正二十面体です。 スナブ八面体は、切り捨てられた八面体、t {3,4} {\ displaystyle t {\ begin {Bmatrix} 3,4 \ end {Bmatrix}}}および、または四面体対称形式の交互です：t {33} {\ displaystyle t {\ begin {Bmatrix} 3 \\ 3 \ end {Bmatrix}}}および。
| シード | 切り捨てられた t | 交互 h |
|---|---|---|
| 八面体 O | 切り捨てられた八面体 に | スナブ八面体 htOまたはsO |
| {3,4} | t {3,4} | ht {3,4} = s {3,4} |
Coxeterのスナブ操作により、nアンチプリズムをs {2n} {\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} 2 \\ n \ end {Bmatrix}}}またはs {2,2n} {\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} 2,2n \ end {Bmatrix}}}、nプリズムt {2n} {\ displaystyle t {\ begin {Bmatrix} 2 \\ n \ end {Bmatrix}}}またはt {2 2n} {\ displaystyle t {\ begin {Bmatrix} 2,2n \ end {Bmatrix}}}、{2、n} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} 2、n \ end {Bmatrix}}}は通常のn面体、縮退した多面体、ただし、ダイゴンまたは月形の面を持つ球体の有効なタイル。
hosohedra、{2,2p} Image Coxeter図
...
...
シュレーフリ
シンボルs {2,4} s {2,6} s {2,8} s {2,10} s {2,12} s {2,14} s {2,16} ... s {2、 ∞} sr {2,2}
s {22} {\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} 2 \\ 2 \ end {Bmatrix}}} sr {2,3}
s {23} {\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} 2 \\ 3 \ end {Bmatrix}}} sr {2,4}
s {24} {\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} 2 \\ 4 \ end {Bmatrix}}} sr {2,5}
s {25} {\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} 2 \\ 5 \ end {Bmatrix}}} sr {2,6}
s {26} {\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} 2 \\ 6 \ end {Bmatrix}}} sr {2,7}
s {27} {\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} 2 \\ 7 \ end {Bmatrix}}} sr {2,8} ...
s {28} {\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} 2 \\ 8 \ end {Bmatrix}}} ... sr {2、∞}
s {2∞} {\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} 2 \\\ infty \ end {Bmatrix}}} Conway
表記A2 = T A3 = O A4 A5 A6 A7 A8 ...A∞
同じプロセスがスナブタイルにも適用されます。
| 三角形のタイル △ | 切り捨てられた三角形のタイル tΔ | スナブ三角タイル htΔ=sΔ |
|---|---|---|
| {3,6} | t {3,6} | ht {3,6} = s {3,6} |
例
| スペース | 球状 | ユークリッド | 双曲線 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 画像 | ||||||||
| コクセター 図 | ... | |||||||
| シュレーフリ シンボル | s {2,4} | s {3,4} | s {4,4} | s {5,4} | s {6,4} | s {7,4} | s {8,4} | ... s {∞、4} |
| コンウェイ 表記法 | 球状 | ユークリッド | 双曲線 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 画像 | ||||||||
| コクセター 図 | ... | |||||||
| シュレーフリ シンボル | sr {2,3} | sr {3,3} | sr {4,3} | sr {5,3} | sr {6,3} | sr {7,3} | sr {8,3} | ... sr {∞、3} |
| s {23} {\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} 2 \\ 3 \ end {Bmatrix}}} | s {33} {\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} 3 \\ 3 \ end {Bmatrix}}} | s {43} {\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} 4 \\ 3 \ end {Bmatrix}}} | s {53} {\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} 5 \\ 3 \ end {Bmatrix}}} | s {63} {\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} 6 \\ 3 \ end {Bmatrix}}} | s {73} {\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} 7 \\ 3 \ end {Bmatrix}}} | s {83} {\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} 8 \\ 3 \ end {Bmatrix}}} | s {∞3} {\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} \ infty \\ 3 \ end {Bmatrix}}} | |
| コンウェイ 表記法 | A3 | sT | sCまたはsO | sDまたはsI | sΗまたはsΔ | |||
| スペース | 球状 | ユークリッド | 双曲線 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 画像 | ||||||||
| コクセター 図 | ... | |||||||
| シュレーフリ シンボル | sr {2,4} | sr {3,4} | sr {4,4} | sr {5,4} | sr {6,4} | sr {7,4} | sr {8,4} | ... sr {∞、4} |
| s {24} {\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} 2 \\ 4 \ end {Bmatrix}}} | s {34} {\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} 3 \\ 4 \ end {Bmatrix}}} | s {44} {\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} 4 \\ 4 \ end {Bmatrix}}} | s {54} {\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} 5 \\ 4 \ end {Bmatrix}}} | s {64} {\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} 6 \\ 4 \ end {Bmatrix}}} | s {74} {\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} 7 \\ 4 \ end {Bmatrix}}} | s {84} {\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} 8 \\ 4 \ end {Bmatrix}}} | s {∞4} {\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} \ infty \\ 4 \ end {Bmatrix}}} | |
| コンウェイ 表記法 | A4 | sCまたはsO | sQ | |||||
不均一なスナブ多面体
いくつかの無限集合を含む、すべての偶数価の頂点を持つ不均一な多面体をスナッブできます。次に例を示します。
| スヌーブスクエア双ピラミッド |
|---|
| スナブ六角形のピラミッド |
| 画像 | ... | |||
|---|---|---|---|---|
| シュレーフリ シンボル | ss {2,4} | ss {2,6} | ss {2,8} | ss {2,10} ... |
| ssr {2,2} ss {22} {\ displaystyle ss {\ begin {Bmatrix} 2 \\ 2 \ end {Bmatrix}}} | ssr {2,3} ss {23} {\ displaystyle ss {\ begin {Bmatrix} 2 \\ 3 \ end {Bmatrix}}} | ssr {2,4} ss {24} {\ displaystyle ss {\ begin {Bmatrix} 2 \\ 4 \ end {Bmatrix}}} | ssr {2,5} ... ss {25} {\ displaystyle ss {\ begin {Bmatrix} 2 \\ 5 \ end {Bmatrix}}} |
コクセターの制服スナッブ星多面体
スナブ星多面体は、シュワルツ三角形（pqr）で構成され、合理的な順序のミラー角度と、すべてのミラーがアクティブで交互になっています。
s {3 / 2,3 / 2} | s {（3,3,5 / 2）} | sr {5,5 / 2} | s {（3,5,5 / 3）} | sr {5 / 2,3} |
sr {5 / 3,5} | s {（5 / 2,5 / 3,3）} | sr {5 / 3,3} | s {（3 / 2,3 / 2,5 / 2）} | s {3 / 2,5 / 3} |
Coxeterの高次元スナッブドポリトープおよびハニカム
一般に、Schläfliシンボル、{p、q、r} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p、q、r \ end {Bmatrix}}}、およびCoxeterダイアグラムを含む通常の多毛には、拡張Schläfliシンボルを含むスナブがあります。 s {p、q、r} {\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} p、q、r \ end {Bmatrix}}}、および。
修正された多毛{pq、r} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p \\ q、r \ end {Bmatrix}}} = r {p、q、r} 、およびスヌーブシンボルs {pq、r} {\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} p \\ q、r \ end {Bmatrix}}} = sr {p、q、r}および。
例
4次元の均一なスナブは、スナブ24セルのみです。通常の24セルには、Schläfliシンボル、{3,4,3} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} 3,4,3 \ end {Bmatrix}}}、およびCoxeter図があり、スナブ24セルが表されます。 by s {3,4,3} {\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} 3,4,3 \ end {Bmatrix}}}、Coxeter diagram。また、s {333} {\ displaystyle s \ left \ {{\ begin {array} {l} 3 \\ 3 \\ 3 \ end {array}} \ right \}}のように、インデックス6の低対称構造もあります。 s {31,1,1}および、およびs {33,4} {\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} 3 \\ 3,4 \ end {Bmatrix}}}またはsr {3としてのインデックス3のサブ対称性、 3,4}、または。
関連するスナブ24セルハニカムは、{3,4,3,3} {\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} 3,4,3,3 \ end {Bmatrix}}}またはs {3、 4,3,3}、および、および低対称性s {33,4,3} {\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} 3 \\ 3,4,3 \ end {Bmatrix}}}またはsr {3、 3,4,3}およびまたは、およびs {3333} {\ displaystyle s \ left \ {{\ begin {array} {l} 3 \\ 3 \\ 3 \\ 3 \ end {array}としての最小対称形式} \ right \}}またはs {31,1,1,1}および。
ユークリッドハニカムは、交互になった六角形のスラブハニカム、s {2,6,3}、またはsr {2,3,6}、またはsr {2,3}、およびです。
別のユークリッド（スカリフォーム）ハニカムは、交互の正方形スラブハニカム、s {2,4,4}、またはsr {2,41,1}および：
唯一の均一スナブ双曲線均一ハニカムは、s {3,6,3}およびとしてのスナブ六角形タイルハニカムです。これは、交互の六角形タイルハニカムh {6,3,3}、としても構築できます。また、s {3}およびとして構築されます。
もう1つの双曲型（Scaliform）ハニカムは、スナブ次数4の八面体ハニカム、s {3,4,4}、およびです。
