SL2（R）

数学では、特別な線形グループSL（2、R）またはSL2（R）は、行列式が1の2×2実行列のグループです。

SL（2、R）= {（abcd）：a、b、c、d∈Rおよびad−bc = 1}。{\ displaystyle {\ mbox {SL}}（2、\ mathbf {R}）= \ left \ {\ left（{\ begin {matrix} a＆b \\ c＆d \ end {matrix}} \ right）：a、b、c、d \ in \ mathbf {R} {\ mbox {and}} ad-bc = 1 \ right \}。}

それは、幾何学、トポロジー、表現理論、および物理学におけるアプリケーションを備えた、接続された非コンパクトでシンプルな実際のリーグループです。

SL（2、 R ）は、分数線形変換によって複雑な上半平面に作用します。商PSL（2、R）（R上、2×2の投影特殊線形群）を介して、グループアクション因子。すなわち、

PSL（2、 R ）= SL（2、 R ）/ {± I }、

ここで、 Iは2×2単位行列を示します。モジュラーグループPSL（2、 Z ）が含まれています。

また、メタプレクティックグループ（シンプレクティックグループとしてSL（2、 R ）を考える）である2重カバーグループMp（2、 R ）も密接に関連しています。

別の関連グループは、SL±（2、 R ）であり、行列式±1の実2×2行列のグループです。ただし、これはモジュラーグループのコンテキストでより一般的に使用されます。

説明

SL（2、 R ）は、方向付けられた領域を保持するR 2のすべての線形変換のグループです。シンプレクティック群Sp（2、 R ）および特別なユニタリ群SU（1,1）と同型です。また、単位長コクォータニオンのグループと同型です。グループSL±（2、 R ）は、方向付けられていない領域を保持します。方向を逆にすることがあります。

商PSL（2、 R ）には、いくつかの興味深い説明があります。

それは本当の射影線R∪{∞}の配向保存射影変換の基です。
これは、単位円盤の共形自己同型のグループです。
これは双曲平面の方向を維持する等角投影のグループです。
これは、3次元ミンコフスキー空間の制限されたローレンツ群です。同様に、不定直交グループSO +（1,2）と同型です。したがって、SL（2、 R ）はスピングループSpin（2,1）+と同型です。

モジュラーグループPSL（2、 Z ）の要素には、グループSL（2、 Z ）の要素（トーラスの線形変換として）と同様に追加の解釈があり、これらの解釈は、一般理論の観点から見ることもできます。 SL（2、 R ）。

線形分数変換

PSLの要素（2、R）線形分数変換として実際の射影線R∪{∞}に関する法律：

x↦ax+ bcx + d。{\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {ax + b} {cx + d}}。}

これは、メビウス変換によるリーマン球上のPSL（2、 C ）の作用に似ています。これは、双曲線平面上のPSL（2、 R ）の作用を無限大の境界に制限することです。

メビウス変換

PSL（2、 R ）の要素は、メビウス変換により複素平面に作用します。

z↦az+ bcz + d（a、b、c、d∈R）。{\ displaystyle z \ mapsto {\ frac {az + b} {cz + d}} \; \; \; \; {\ mbox {（where}} a、b、c、d \ in \ mathbf {R} {\ mbox {）}}。}

これは、上半平面を保持するメビウス変換のセットです。したがって、PSL（2、 R ）は上半平面の共形自己同型のグループです。リーマン写像定理により、これは単位円盤の共形自己同型のグループでもあります。

これらのメビウス変換は、双曲線空間の上半平面モデルの等角投影として機能し、対応する円板のメビウス変換は、ポアンカレ円盤モデルの双曲線等角投影です。

上記の式は、二重および二重（別名分割複素）数のメビウス変換を定義するためにも使用できます。対応する幾何学は、ロバチェフスキー幾何学と非自明な関係にあります。

随伴表現

グループSL（2、R）は、コンジュゲーションによって、そのリー代数SL（2、R）に作用PSLの忠実な3次元線形表現（2、Rを得、（リー代数要素も2×2行列であることを思い出してください））。これは、代わりにR 2結果に二次形式の空間にPSL（2、R）の作用として説明することができることは、次の表現です。

。{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a＆b \\ c＆d \ end {bmatrix}} \ mapsto {\ begin {bmatrix} a ^ {2}＆2ab＆b ^ {2} \\ ac＆ad + bc＆bd \\ c ^ {2 }＆2cd＆d ^ {2} \ end {bmatrix}}。}

sl（2、 R ）のKillingフォームにはシグネチャ（2,1）があり、PSL（2、 R ）とローレンツグループSO +（2,1）の間で同型を誘発します。ミンコフスキー空間でのこのPSL（2、 R ）の作用は、双曲平面の双曲面モデルでのPSL（2、 R ）の等尺性作用に制限されます。

要素の分類

元素A∈SL（2、R）の固有値は、特性多項式を満たします

λ2−tr（A）λ+ 1 = 0 {\ displaystyle \ lambda ^ {2} \、-\、\ mathrm {tr}（A）\、\ lambda \、+ \、1 \、= \、0}

したがって

λ= tr（A）±tr（A）2-42。{\ displaystyle \ lambda = {\ frac {\ mathrm {tr}（A）\ pm {\ sqrt {\ mathrm {tr}（A）^ {2 } -4}}} {2}}。}

これにより、次の要素の分類が行われ、ユークリッド平面で対応するアクションが実行されます。

もし| tr（ A ）| 2の場合、 Aは楕円と呼ばれ、回転に共役です。
もし| tr（ A ）| = 2、 Aは放物線と呼ばれ、せん断マッピングです。
もし| tr（ A ）| > 2の場合、 Aは双曲線と呼ばれ、スクイーズマッピングです。

名前は、偏心による円錐断面の分類に対応します：偏心をトレースの絶対値の半分として定義する場合（ε=½tr; 2で割ると、次元の効果が修正されますが、絶対値は、 PSL（2、 R ）で作業する場合など、±1の場合、次のようになります。ϵ 1 {\ displaystyle \ epsilon 1}、楕円形。 ϵ = 1 {\ displaystyle \ epsilon = 1}、放物線。 ϵ> 1 {\ displaystyle \ epsilon> 1}、双曲線。

同一性要素1および負の同一性要素-1（PSL（2、 R ）で同じ）は、トレース±2を持ち、したがってこの分類では放物線要素ですが、これらはしばしば別々に考慮されます。

同じ分類がSL（2、 C ）およびPSL（2、 C ）（メビウス変換）およびPSL（2、 R ）（実際のメビウス変換）に使用され、複雑なトレースに対応する "loxodromic"変換が追加されます。同様の分類が他の場所で使用されています。

楕円（それぞれ、放物線、双曲線）要素に加えて同一性と負の同一性を含むサブグループは、 楕円サブグループ （それぞれ、 放物線サブグループ、 双曲線サブグループ ）と呼ばれます。

これは、 サブグループ ではなくサブセットへの分類です。これらのセットは乗算では閉じられません（2つの放物線要素の積は放物線である必要はありません、など）。ただし、以下に詳述するように、すべての要素は3つの標準の1パラメーターサブグループ（場合によっては±1倍）のいずれかに共役します。

トポロジ的には、トレースは連続マップであるため、楕円要素（±1を除く）は双曲線要素（±1を除く）と同様に開いたセットであり、放物線要素（±1を含む）は閉じたセットです。

楕円要素

楕円要素の固有値は両方とも複素数であり、単位円上の共役値です。このような要素は、ユークリッド平面の回転と共役です（非直交ベースの回転として解釈できます）。PSL（2、 R ）の対応する要素は、双曲平面の回転（共役）として機能しますとミンコフスキー空間の。

モジュラーグループの楕円要素は固有値{ω、ω-1}を持たなければなりません。ここで、 ωは単一性の原始的な3番目、4番目、または6番目の根です。これらはすべて有限次数のモジュラーグループの要素であり、周期的な微分同相写像としてトーラスに作用します。

トレース0の要素は「偏心要素との類似性により」「円形要素」と呼ばれることがありますが、これはめったに行われません。それらは、固有値± iの要素に対応し、90°の回転に共役し、 -Iに 2乗します。これらは、PSL（2）の非恒等的退縮です。

楕円要素は、ユークリッド平面の回転のサブグループ、特殊な直交グループSO（2）に共役します。回転の角度はトレースの半分のアークコであり、回転の符号は方向によって決まります。（回転とその逆はGL（2）では共役ですが、SL（2）では共役ではありません。）

放物線要素

放物線要素の固有値は1または-1のみです。このような要素はユークリッド平面上のせん断マッピングとして機能し、PSL（2、 R ）の対応する要素は双曲線平面の制限回転およびミンコフスキー空間のヌル回転として機能します。

モジュラーグループの放物線要素は、トーラスのデーンツイストとして機能します。

放物線要素は、標準的なせん断の2つのコンポーネントグループに共役×× I ：（1λ1）×{±I} {\ displaystyle \ left（{\ begin {smallmatrix} 1＆\ lambda \\＆1 \ end {smallmatrix}} \ right ）\ times \ {\ pm I \}}。実際、これらはすべて4つの行列（1±11）の1つ（SL（2）内）に共役しています。{\ displaystyle \ left（{\ begin {smallmatrix} 1＆\ pm 1 \\＆1 \ end {smallmatrix}} \ right）}、（−1±1−1）{\ displaystyle \ left（{\ begin {smallmatrix} -1＆\ pm 1 \\＆-1 \ end {smallmatrix}} \ right）}（GL（2 ）またはSL±（2）、±は省略できますが、SL（2）ではできません）。

双曲線要素

双曲線要素の固有値は両方とも実数であり、逆数です。このような要素は、ユークリッド平面のスクイーズマッピングとして機能し、PSL（2、 R ）の対応する要素は、双曲平面の並進およびミンコフスキー空間のローレンツブーストとして機能します。

モジュラーグループの双曲線要素は、トーラスのAnosov微分同相として機能します。

双曲線要素は、標準スクイーズの2つのコンポーネントグループに共役します×± I ：（λλ-1）×{±I} {\ displaystyle \ left（{\ begin {smallmatrix} \ lambda \\＆\ lambda ^ {-1} \ end {smallmatrix}} \ right）\ times \ {\ pm I \}};双曲線回転の双曲線角度は、トレースの半分のarcoshによって与えられますが、符号は正または負の値になります。楕円の場合とは対照的に、スクイーズとその逆はSL2で共役します（軸の回転によって。標準軸の場合、90°回転）。

共役クラス

ヨルダン正規形では、行列は固有値と無能性（具体的には、無能性とはヨルダンブロックで1が発生する場所を意味する）によって共役（GL（ n 、 C ））に分類されます。したがって、SL（2）の要素は、固有値が等しい場合を除き、トレース（行列式が固定され、トレースと行列式が固有値を決定するため）によってGL（2）の共役（または実際にSL±（2））に分類されます。 ±Iと、トレース+2およびトレース-2の放物線要素は共役ではありません（前者には、ヨルダン型の非対角要素がありませんが、後者にはあります）。

SL（2）の共役まで（GL（2）の代わりに）、方向に対応する追加のデータがあります：時計回りと反時計回り（楕円）回転は共役ではなく、上記のように正と負のせん断もありません;したがって、トレースの絶対値が2未満の場合、各トレースに2つの共役クラス（時計回りと反時計回りの回転）があり、トレースの絶対値が2に等しい場合、各トレースに3つの共役クラスがあります（正のせん断、同一性、負のせん断）、およびトレースの絶対値が2より大きい場合、特定のトレースに対して1つの共役クラスがあります。

トポロジとユニバーサルカバー

位相空間として、PSL（2、 R ）は双曲線平面の単位接線束として記述できます。それは円の束であり、双曲線平面上のシンプレクティック構造によって誘導される自然な接触構造を持っています。 SL（2、 R ）はPSL（2、 R ）の2重のカバーであり、双曲平面上のスピナーの束と考えることができます。

SL（2、 R ）の基本グループは、無限循環グループZです。 SL（2、R）¯{\ displaystyle {\ overline {{\ mbox {SL}}（2、\ mathbf {R}）}}}で表されるユニバーサルカバーグループは、有限次元Lieグループの例です。それは行列グループではありません。つまり、SL（2、R）¯{\ displaystyle {\ overline {{\ mbox {SL}}（2、\ mathbf {R}）}}}は、忠実な有限次元表現を認めません。

トポロジー空間として、SL（2、R）¯{\ displaystyle {\ overline {{\ mbox {SL}}（2、\ mathbf {R}）}}}は双曲平面上の線束です。左不変のメトリックが埋め込まれている場合、3多様体SL（2、R）¯{\ displaystyle {\ overline {{\ mbox {SL}}（2、\ mathbf {R}）}}}は、 8つのサーストンジオメトリ。たとえば、SL（2、R）¯{\ displaystyle {\ overline {{\ mbox {SL}}（2、\ mathbf {R}）}}}は、双曲線面に対する単位タンジェントバンドルの普遍的なカバーです。 SL（2、R）¯{\ displaystyle {\ overline {{\ mbox {SL}}（2、\ mathbf {R}）}}}でモデル化された任意の多様体は方向付け可能であり、2次元上の円の束です。双曲線オービフォールド（ザイフェルト繊維空間）。

このカバーの下で、モジュラーグループPSL（2、 Z ）のプリイメージは、3つのジェネレーターB3のブレードグループであり、モジュラーグループの普遍的な中央拡張です。これらは関連する代数群内の格子であり、これはトポロジーの普遍的被覆群に代数的に対応しています。

2重のカバーグループは、SL（2、 R ）をシンプレクティックグループSp（2、 R ）として考えて、メタプレクティックグループであるMp（2、 R ）として識別できます。

前述のグループは一緒にシーケンスを形成します。

SL（2、R）¯→⋯→Mp（2、R）→SL（2、R）→PSL（2、R）。{\ displaystyle {\ overline {\ mathrm {SL}（2、\ mathbf {R }）}} \ to \ cdots \ to \ mathrm {Mp}（2、\ mathbf {R}）\ to \ mathrm {SL}（2、\ mathbf {R}）\ to \ mathrm {PSL}（2、 \ mathbf {R}）。}

しかし、整除によってグループを覆う格子を形成し、N Z Z≅π1（PSL（2、R））として、全てのnに対応するPSLの他の被覆基（2、R）があります。これらは、 nが偶数の場合にのみSL（2、 R ）をカバーします。

代数構造

SL（2、 R ）の中心は2要素グループ{±1}であり、商PSL（2、 R ）は単純です。

PSL（2、 R ）の離散サブグループは、フクシアングループと呼ばれます。これらは、ユークリッド壁紙グループとフリーズグループの双曲線類似体です。これらの中で最も有名なものは、理想的な三角形による双曲線面のテッセレーションに作用するモジュラーグループPSL（2、 Z ）です。

円グループSO（2）はSL（2、 R ）の最大コンパクトサブグループであり、円SO（2）/ {±1}はPSL（2、 R ）の最大コンパクトサブグループです。

離散グループPSL（2、 R ）のSchur乗数はZよりもはるかに大きく、ユニバーサルセントラルエクステンションはユニバーサルカバーグループよりもはるかに大きくなります。ただし、これらの大規模な中央拡張では、トポロジが考慮されておらず、やや病理学的です。

表現論

SL（2、 R ）は実数の非コンパクトな単純リー群であり、複素リー群SL（2、 C ）の分割実数型です。 SLのリー代数（2、R）で示さSL（2、R）は 、すべての実、トレースレス2×2行列の代数です。タイプVIIIのビアンキ代数です。

SL（2、 R ）の有限次元表現理論は、SU（2）の表現理論と同等です。SU（2）は、SL（2、 C ）のコンパクトな実形式です。特に、SL（2、 R ）には、自明でない有限次元ユニタリ表現はありません。これは、接続されているすべての単純な非コンパクトなLieグループの機能です。証明の概要については、表現の非統一性を参照してください。

SL（2、 R ）の無限次元表現理論は非常に興味深いものです。このグループには、ゲルファントとナイマルク（1946）、V。バルグマン（1947）、およびハリッシュチャンドラ（1952）によって詳細に作成された単一表現のいくつかのファミリーがあります。