せん断マトリックス
数学では、 せん断行列またはトランスベクションは、ある行または列の倍数を別の行または列に追加することを表す基本行列です。このような行列は、単位行列を取得し、ゼロ要素の1つをゼロ以外の値に置き換えることで導出できます。
典型的なせん断マトリックスを以下に示します。
S =（100λ001000001000001000001）。{\ displaystyle S = {\ begin {pmatrix} 1＆0＆0＆\ lambda＆0 \\ 0＆1＆0＆0＆0 \\ 0＆0＆1＆0＆0 \\ 0＆0＆0＆1＆0 \\ 0＆0＆0＆0＆1 \ end {pmatrix}}。}せん断という名前は、マトリックスがせん断変換を表すという事実を反映しています。幾何学的には、このような変換は線形空間の点のペアを取ります。これは、行列の行にせん断要素が含まれる軸に沿って純粋に軸方向に分離され、それらのペアを、純粋に軸方向ではなく2つのベクトルを持つペアで効果的に置き換えますコンポーネント。したがって、せん断軸は常にSの固有ベクトルです。
x軸に平行なせん断は、x '= x +λy{\ displaystyle x' = x + \ lambda y}およびy '= y {\ displaystyle y' = y}になります。マトリックス形式で：
（x′y ′）=（1λ01）（xy）。{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x' \\ y '\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1＆\ lambda \\ 0＆1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}}。}同様に、 y軸に平行なせん断には、x '= x {\ displaystyle x' = x}およびy '= y +λx{\ displaystyle y' = y + \ lambda x}があります。マトリックス形式で：
（x′y ′）=（10λ1）（xy）。{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x' \\ y '\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1＆0 \\\ lambda＆1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}}。}明らかに、行列式は常に1になります。せん断要素がどこに配置されていても、ゼロ要素を含むスキュー対角線のメンバーになります（すべてのスキュー対角線の長さは少なくとも2であるため）。その積は残ります。ゼロで、行列式に寄与しません。したがって、すべてのせん断行列には逆行列があり、逆行列は単純にせん断要素が無効になったせん断行列であり、反対方向のせん断変換を表します。実際に、これはの一部であり、容易に、より一般的な結果を派生：Sは剪断素子λ{\ displaystyle \ラムダ}と剪断行列である場合、Snが 、その剪断要素単にNλ{\ displaystyleの\ラムダ}剪断行列であります。したがって、パワーnに剪断マトリックスを上げるとnでその剪断係数を乗算します。
物性
Sがn×nせん断行列の場合：
- Sのランクはnであるため、可逆です。
- 1はSの唯一の固有値であるため、 S = 1を検出し、 S = nをトレースします。
- Sの固有空間はn-1次元です。
- Sは非対称です
- Sは、最大で1列の交換操作と1行の交換操作によってブロック行列にできます。
- ポリトープの面積、体積、または高次の内部容量は、ポリトープの頂点のせん断変換では不変です。
用途
- せん断マトリックスは、コンピューターグラフィックスでよく使用されます。
