リーマン・サム
数学では、 リーマン和は有限和による積分のある種の近似です。 19世紀のドイツの数学者ベルンハルトリーマンにちなんで名付けられました。非常に一般的なアプリケーションの1つは、グラフ上の関数または線の面積を近似することですが、曲線やその他の近似の長さも近似します。
合計は、領域を複数の形状（長方形、台形、放物線、または立方体）に分割し、それらが一緒に測定対象の領域に似た領域を形成し、これらの各形状の面積を計算し、最後にこれらすべてを追加することにより計算されます一緒に小さなエリア。このアプローチは、微積分の基本定理では閉形式の解を見つけにくい場合でも、定積分の数値近似を見つけるために使用できます。
通常、小さな形状で埋められた領域は測定対象の領域とまったく同じ形状ではないため、リーマンの合計は測定対象の領域とは異なります。このエラーは、より小さな形状を使用して領域をより細かく分割することで低減できます。形状が小さくなるにつれて、合計はリーマン積分に近づきます。
定義
f：→R {\ displaystyle f：\ rightarrow \ mathbb {R}}を実数の閉じた区間{\ displaystyle}で定義された関数、R {\ displaystyle \ mathbb {R}}、
P = {,,…、} {\ displaystyle P = \ left \ {,, \ dots、\ right \}}、Iのパーティションになる
a = x0 x1 x2 ⋯xn = b {\ displaystyle a = x_ {0} x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n} = b}。パーティションP を持つI上のfのリーマン和 S {\ displaystyle S}は、次のように定義されます。
S = ∑i = 1nf（xi ∗）Δxi{\ displaystyle S = \ sum _ {i = 1} ^ {n} f（x_ {i} ^ {*}）\、\ Delta x_ {i}}ここで、Δxi= xi−xi−1 {\ displaystyle \ Delta x_ {i} = x_ {i} -x_ {i-1}}およびxi ∗∈{\ displaystyle x_ {i} ^ {*} \ in}。前の文の「the」の代わりに「an」を使用していることに注意してください。このアスタリスクについて考えるもう1つの方法は、このスライスでランダムなポイントを選択していることです。どのポイントでもかまいません。スライスの差または幅がゼロに近づくと、長方形スライスの2点間の差もゼロに近づきます。これは、間隔{\ displaystyle}のxi ∗ {\ displaystyle x_ {i} ^ {*}}の選択が任意であるため、間隔Iおよび固定パーティションPで定義された関数f 、xi-1≤xi∗≤xi{\ displaystyle x_ {i-1} \ leq x_である限り、選択されたxi ∗ {\ displaystyle x_ {i} ^ {*}}に応じて、異なるリーマン和を生成できます。 {i} ^ {*} \ leq x_ {i}}が成り立ちます。
リーマン和の特定のタイプ
xi ∗ {\ displaystyle x_ {i} ^ {*}}の特定の選択により、さまざまなタイプのリーマン和が得られます。
- すべてのiについてxi ∗ = xi−1 {\ displaystyle x_ {i} ^ {*} = x_ {i-1}}の場合、 Sは左規則または左リーマン和と呼ばれます。
- すべてのiについてxi ∗ = xi {\ displaystyle x_ {i} ^ {*} = x_ {i}}である場合、 Sは右則または右リーマン和と呼ばれます。
- すべてのiについてxi ∗ =（xi + xi−1）/ 2 {\ displaystyle x_ {i} ^ {*} =（x_ {i} + x_ {i-1}）/ 2}の場合、 Sは中間点ルールまたは中間リーマン和 。
- f（xi ∗）= supf（）{\ displaystyle f（x_ {i} ^ {*}）= \ sup f（）}（つまり、{\ displaystyle}上のfの上限）の場合、 Sが定義されます。 リーマン和の 上限またはダルブー和の上限になる 。
- f（xi ∗）= inff（）{\ displaystyle f（x_ {i} ^ {*}）= \ inf f（）}（つまり、{\ displaystyle}上のfの下限）の場合、 Sが定義されます。 より低いリーマン和またはより低いダルブー和になります。
これらの方法はすべて、数値積分を達成するための最も基本的な方法です。大まかに言うと、すべてのリーマン和がパーティションが「ますます細かくなる」につれて収束する場合、関数はリーマン積分可能です。
技術的にはリーマン和ではありませんが、左右のリーマン和の平均は台形和であり、加重平均を使用して積分を近似する最も単純な方法の1つです。これにはシンプソンの規則とニュートン・コートの式が複雑に続きます。
特定のパーティションのリーマン和（つまり、xi-1 {\ displaystyle x_ {i-1}}とxi {\ displaystyle x_ {の間のxi ∗ {\ displaystyle x_ {i} ^ {*}}の任意の選択に対して） i}}）は、下部と上部のDarboux和の間に含まれます。これは、最終的にリーマン積分に相当するダルブー積分の基礎を形成します。
方法
リーマン加算の4つの方法は、通常、同じサイズのパーティションで最適にアプローチされます。間隔は、したがって長さの各N個のサブインターバルに分割され
Δx= b−an。{\ displaystyle \ Delta x = {\ frac {ba} {n}}。}パーティション内のポイントは次のようになります
a、a +Δx、a +2Δx、…、a +（n-2）Δx、a +（n-1）Δx、b。{\ displaystyle a、a + \ Delta x、a + 2 \、\ Delta x、\ ldots、a +（n-2）\、\ Delta x、a +（n-1）\、\ Delta x、b。}左リーマン和
左側リーマン和のために、左端点におけるその値によって関数を近似するベースΔxと高さF（A + IΔx）を有する複数の矩形を与えます。これをi = 0、1、...、 n − 1に対して行い、結果の領域を合計すると、
Δx。{\ displaystyle \ Delta x \ left。}左のリーマン和は、この間隔でfが単調に減少する場合は過大評価になり、単調に増加する場合は過小評価になります。
右リーマン和
ここで、 fは右端の値で近似されます。これは、ベースΔxと高さF（A + IΔx）を有する複数の矩形を与えます。これをi = 1、...、 nに対して行い、結果の領域を合計すると、
Δx。{\ displaystyle \ Delta x \ left。}右のリーマン和は、 fが単調に減少する場合は過小評価になり、単調に増加する場合は過大評価になります。この式のエラーは
|∫abf（x）dx-Aright |≤M1（b-a）22n {\ displaystyle \ left \ vert \ int _ {a} ^ {b} f（x）\、dx-A _ {\ mathrm {right} } \ right \ vert \ leq {\ frac {M_ {1}（ba）^ {2}} {2n}}}、ここで、M1 {\ displaystyle M_ {1}}は、区間のf '（x）{\ displaystyle f ^ {\ prime}（x）}の絶対値の最大値です。
中点ルール
間隔の中間点Fを近似するFを与える（A +ΔX / 2）次の1つのFための第1区間（A +3ΔX / 2）、というようになるまでfに対する（B - ΔX / 2）。エリアをまとめると、
Δx{\ displaystyle \ Delta x \ left}。この式のエラーは
|∫abf（x）dx−Amid |≤M2（b−a）324n2 {\ displaystyle \ left \ vert \ int _ {a} ^ {b} f（x）\、dx-A _ {\ mathrm {mid} } \ right \ vert \ leq {\ frac {M_ {2}（ba）^ {3}} {24n ^ {2}}}}、ここで、M2 {\ displaystyle M_ {2}}は、区間のf '′（x）{\ displaystyle f ^ {\ prime \ prime}（x）}の絶対値の最大値です。
台形規則
この場合、区間の関数fの値は、左端と右端の値の平均で近似されます。上記と同じ方法で、面積式を使用した簡単な計算
A = 12h（b1 + b2）{\ displaystyle A = {\ tfrac {1} {2}} h（b_ {1} + b_ {2}）}図1b平行辺を有する台形のために、B 2及び高さhが生成します
12Δx。{\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \、\ Delta x \ left。}この式のエラーは
|∫abf（x）dx−Atrap |≤M2（b−a）312n2、{\ displaystyle \ left \ vert \ int _ {a} ^ {b} f（x）\、dx-A _ {\ mathrm {trap }} \ right \ vert \ leq {\ frac {M_ {2}（ba）^ {3}} {12n ^ {2}}}、}ここで、M2 {\ displaystyle M_ {2}}は、f '′（x）{\ displaystyle f ^ {\ prime \ prime}（x）}の絶対値の最大値です。
関数の台形規則で得られる近似は、その関数の左手と右手の合計の平均と同じです。
統合との接続
ドメイン{\ displaystyle}上の1次元リーマン和の場合、パーティション要素の最大サイズがゼロに縮小する（つまり、パーティションのノルムの制限がゼロになる）ため、一部の関数ではすべてのリーマン和が収束します同じ値。この制限値は、存在する場合、領域上の関数の明確なリーマン積分として定義され、
∫abf（x）dx =lim‖Δx‖→0∑i = 1nf（xi ∗）Δxi。{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \！f（x）\、dx = \ lim _ { \ | \ Delta x \ | \ rightarrow 0} \ sum _ {i = 1} ^ {n} f（x_ {i} ^ {*}）\、\ Delta x_ {i}。}有限サイズのドメインの場合、パーティション要素の最大サイズがゼロに縮小すると、パーティション要素の数が無限になります。有限パーティションの場合、リーマンの和は常に制限値の近似値であり、この近似値はパーティションが細かくなるほど良くなります。次のアニメーションは、パーティションの数を増やす（最大パーティション要素サイズを小さくする）ことにより、曲線の下の「面積」にどのように近づくかを示すのに役立ちます。
- 左合計
- 正しい額
- 中額
ここでの赤の関数は滑らかな関数であると想定されているため、3つのリーマンの合計はすべて、パーティションの数が無限大になると同じ値に収束します。
例
例を挙げると、0と2の間のy = x 2の曲線の下の面積は、リーマンの方法を使用して手続き的に計算できます。
区間は最初にn個の部分区間に分割され、各区間には2n {\ displaystyle {\ tfrac {2} {n}}}の幅が与えられます。これらは、リーマンの長方形（以降「ボックス」）の幅です。右のリーマン和が使用されるため、ボックスのx座標のシーケンスはx1、x2、…、xn {\ displaystyle x_ {1}、x_ {2}、\ ldots、x_ {n}}になります。したがって、ボックスの高さのシーケンスはx12、x22、…、xn2 {\ displaystyle x_ {1} ^ {2}、x_ {2} ^ {2}、\ ldots、x_ {n} ^ {2 }}。 xi = 2in {\ displaystyle x_ {i} = {\ tfrac {2i} {n}}}、およびxn = 2 {\ displaystyle x_ {n} = 2}という重要な事実です。
各ボックスの面積は2n×xi2 {\ displaystyle {\ tfrac {2} {n}} \ times x_ {i} ^ {2}}であるため、 n番目の右リーマン和は次のようになります。
S = 2n×（2n）2 +⋯+ 2n×（2in）2 +⋯+ 2n×（2nn）2 = 8n3（1 +⋯+ i2 +⋯+ n2）= 8n3（n（n + 1）（2n + 1）6）= 8n3（2n3 + 3n2 + n6）= 83 + 4n + 43n2 {\ displaystyle {\ begin {aligned} S＆= {\ frac {2} {n}} \ times \ left（{\ frac {2 } {n}} \ right）^ {2} + \ cdots + {\ frac {2} {n}} \ times \ left（{\ frac {2i} {n}} \ right）^ {2} + \ cdots + {\ frac {2} {n}} \ times \ left（{\ frac {2n} {n}} \ right）^ {2} \\＆= {\ frac {8} {n ^ {3} }} \ left（1+ \ cdots + i ^ {2} + \ cdots + n ^ {2} \ right）\\＆= {\ frac {8} {n ^ {3}}} \ left（{\ frac {n（n + 1）（2n + 1）} {6}} \ right）\\＆= {\ frac {8} {n ^ {3}}} \ left（{\ frac {2n ^ {3 } + 3n ^ {2} + n} {6}} \ right）\\＆= {\ frac {8} {3}} + {\ frac {4} {n}} + {\ frac {4} { 3n ^ {2}}} \ end {aligned}}}制限がn →∞として表示される場合、ボックスの数が増えるにつれて、近似は曲線下の面積の実際の値に近づくと結論付けることができます。したがって：
limn→∞S= limn→∞（83 + 4n + 43n2）= 83 {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} S = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left（{\ frac {8 } {3}} + {\ frac {4} {n}} + {\ frac {4} {3n ^ {2}}} \ right）= {\ frac {8} {3}}}この方法は、より機械的な方法で計算された定積分と一致します。
∫02x2dx= 83 {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2} x ^ {2} \、dx = {\ frac {8} {3}}}関数は連続的であり、区間で単調に増加するため、右のリーマン合計は積分を最大量過大評価します（一方、左のリーマン合計は積分を最大量過小評価します）。図から直感的に明らかなこの事実は、関数の性質が積分の推定精度をどのように決定するかを示しています。単純なものの、右および左のリーマン和は、台形規則やシンプソンの規則などの積分を推定するより高度な手法よりも精度が低いことがよくあります。
例の関数には、見つけやすい反導関数があります。そのため、リーマン和による積分の推定は、ほとんどが学術的な課題です。ただし、すべての関数が反導関数を持っているわけではないことを覚えておく必要があります。そのため、加算によって積分を推定することは実際上重要です。
高次元
リーマンの合計の背後にある基本的な考え方は、パーティションを介してドメインを断片に「分割」し、各断片の「サイズ」に関数がその断片で取る値を掛け、これらすべての積を合計することです。これを一般化して、複数の次元の領域にわたる関数のリーマン合計を可能にすることができます。
直感的には、ドメインを分割するプロセスは簡単に把握できますが、ドメインを分割する方法の技術的詳細は1次元の場合よりもはるかに複雑になり、ドメインの幾何学的形状の側面が関係します。
二次元
2次元では、ドメインA {\ displaystyle A}は、A =∪iAi{\ displaystyle A = \ cup _ {i} A_ {となるように、多数のセルAi {\ displaystyle A_ {i}}に分割できます。私}}。 2次元では、各セルはΔAi{\ displaystyle \ Delta A_ {i}}で示される「領域」を持つと解釈できます。リーマン和は
S = ∑i = 1nf（xi ∗、yi ∗）ΔAi、{\ displaystyle S = \ sum _ {i = 1} ^ {n} f（x_ {i} ^ {*}、y_ {i} ^ {* }）\、\ Delta A_ {i}、}ここで、（xi ∗、yi ∗）∈Ai{\ displaystyle（x_ {i} ^ {*}、y_ {i} ^ {*}）\ in A_ {i}}。
三次元
3次元では、ドメインに文字V {\ displaystyle V}を使用するのが慣例であり、V = underiVi {\ displaystyle V = \ cup _ {i} V_ {i}}パーティションおよびΔVi{\ displaystyle \ Delta V_ {i}}は、i {\ displaystyle i}によってインデックスが付けられたセルの「ボリューム」です。 3次元リーマン和は、次のように記述できます
S = ∑i = 1nf（xi ∗、yi ∗、zi ∗）ΔVi{\ displaystyle S = \ sum _ {i = 1} ^ {n} f（x_ {i} ^ {*}、y_ {i} ^ {*}、z_ {i} ^ {*}）\、\ Delta V_ {i}}with（xi ∗、yi ∗、zi ∗）∈Vi{\ displaystyle（x_ {i} ^ {*}、y_ {i} ^ {*}、z_ {i} ^ {*}）\ in V_ {i} }。
任意の次元数
高次元のリーマン和は、1〜2〜3次元と同様です。任意の次元nに対して、リーマン和は次のように記述できます。
S = ∑if（Pi ∗）ΔVi{\ displaystyle S = \ sum _ {i} f（P_ {i} ^ {*}）\、\ Delta V_ {i}}ここで、Pi ∗∈Vi{\ displaystyle P_ {i} ^ {*} \ in V_ {i}}、つまり、n次元のセルVi {\ displaystyle V_ {i}}の点であり、n次元のボリュームΔVi{\ displaystyle \ Delta V_ {i}}。
一般化
高い一般性では、リーマンの和は
S = ∑if（Pi ∗）μ（Vi）{\ displaystyle S = \ sum _ {i} f（P_ {i} ^ {*}）\ mu（V_ {i}）}ここで、Pi ∗ {\ displaystyle P_ {i} ^ {*}}はパーティション要素Vi {\ displaystyle V_ {i}}に含まれる任意のポイントを表し、μ{\ displaystyle \ mu}は基礎となるセットのメジャーです。大まかに言って、メジャーはセットの「サイズ」、この場合はセットのサイズVi {\ displaystyle V_ {i}}を与える関数です。 1次元では、これは多くの場合、間隔の長さ、2次元では、面積、3次元では、ボリュームなどとして解釈できます。
