整流（ジオメトリ）
ユークリッドジオメトリでは、 修正または完全な切り捨ては、すべてのエッジの中間点にマークを付けてポリトープを切り捨て、それらのポイントで頂点を切り取るプロセスです。結果のポリトープは、頂点の図のファセットと元のポリトープの修正されたファセットによって境界付けられます。
整流演算子は、Schläfli記号付きの文字rで示される場合があります。たとえば、 r {4,3}は直方体とも呼ばれ、直方体とも呼ばれ、{43} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} 4 \\ 3 \ end {Bmatrix}}}としても表されます。そして、修正された立方八面体rr {4,3}は菱形立方八面体であり、r {43} {\ displaystyle r {\ begin {Bmatrix} 4 \\ 3 \ end {Bmatrix}}}としても表されます。
コンウェイ多面体表記では、この演算子としてfor amboを使用します。グラフ理論では、この操作により中間グラフが作成されます。
通常の自己二重多面体またはタイリングを修正すると、タイルの順序が4の別の通常の多面体またはタイリングになります。たとえば、四面体{3,3}は八面体{3,4}になります。特別な場合として、正方形のタイル{4,4}は、修正操作の下で別の正方形のタイル{4,4}に変わります。
エッジへの最後の切り捨てとしての修正の例
整流は、切り捨てプロセスの最後のポイントです。たとえば、キューブでは、このシーケンスは、通常形式と修正形式の間の切り捨ての連続の4つのステップを示しています。
高度な修正
高次元の通常のポリトープに対して、より高度な整流を実行できます。最高度の整流により、デュアルポリトープが作成されます。修正は、エッジをポイントに切り捨てます。二方向修正は、面をポイントに切り捨てます。三方向修正では、セルがポイントに切り捨てられます。
顔への最後の切り捨てとしての二矯正の例
このシーケンスは、元の面が1つのポイントに切り捨てられたキューブからデュアルへの最終シーケンスとして、 双修正キューブを示しています。
ポリゴン内
ポリゴンの双対は、その修正されたフォームと同じです。新しい頂点は、元のポリゴンのエッジの中心に配置されます。
多面体と平面タイル
各プラトンの立体とその双対は、同じ修正された多面体を持っています。 （これは、高次元のポリトープには当てはまりません。）
修正された多面体は、元のプラトンの立体とその二重の適切なスケーリングされた同心バージョンとの交点として表現できることが判明しました。このため、その名前は元の名前と二重名の組み合わせです。
- その二重の正四面体である整流四面体は、より優れた八面体として知られているtetratetrahedron、です。
- 双対が立方体である修正された八面体は、立方八面体です。
- 正二十面体は正二十面体であり、正二十面体は正二十面体です。
- 修正された正方形のタイルは、正方形のタイルです。
- 修正された三角形のタイルまたは六角形のタイルは、3角形のタイルです。
例
| 家族 | 親 | 整流 | デュアル |
|---|---|---|---|
四面体 | 八面体 | 四面体 | |
キューブ | 直方体 | 八面体 | |
十二面体 | 十二面体 | 正二十面体 | |
六角形のタイル | 三角六角タイル | 三角形のタイル | |
次数3の七角形タイル | 三方晶タイル | Order-7三角タイル | |
正方形のタイル | 正方形のタイル | 正方形のタイル | |
次数4の五角形タイル | 五角形タイル | Order-5スクエアタイル |
非正規多面体で
多面体が規則的でない場合、頂点を囲むエッジの中点は同一平面上にない場合があります。ただし、この場合は、1つの形の整流が依然として可能です。すべての多面体は、その1スケルトンとして多面体グラフを持ち、そのグラフから、元のグラフの各エッジの中点に頂点を配置し、接続することにより、中間グラフを形成できますこれらの新しい頂点のうち2つは、共通の面に沿った連続したエッジに属する場合は常にエッジごとになります。結果の中間グラフは多面体のままなので、シュタイニッツの定理により多面体として表すことができます。
整流に相当するコンウェイ多面体表記法はamboで 、 aで表されます 。 2回aaを適用（修正を修正）するのはConwayの展開操作eです 。これは、Johnsonのカンテレーション操作、通常の多面体とタイルから生成されるt0,2と同じです。
4ポリトープと3Dハニカムテセレーション
各凸の通常の4ポリトープは、均一な4ポリトープとして修正された形式を持っています。
通常の4-ポリトープ{p、q、r}にはセル{p、q}があります。その修正には、元のセルから残った修正済みの{p、q}多面体と、切り捨てられた各頂点によって形成される新しいセルとしての{q、r}多面体の2つのセルタイプがあります。
ただし、修正された{p、q、r}は修正された{r、q、p}と同じではありません。 bitruncationと呼ばれるさらなる切り捨ては、4-polytopeとその双対の間で対称です。 Uniform 4-polytope＃Geometric derivationsを参照してください。
例
| 家族 | 親 | 整流 | 二整流 （二重修正） | 三整流 （デュアル） |
|---|---|---|---|---|
{ p 、 q 、 r } | r { p 、 q 、 r } | 2r { p 、 q 、 r } | 3r { p 、 q 、 r } | |
5セル | 修正された5セル | 修正された5セル | 5セル | |
テセラクト | 修正されたテセラクト | 整流16セル （24セル） | 16セル | |
24セル | 修正された24セル | 修正された24セル | 24セル | |
120セル | 修正された120セル | 修正された600セル | 600セル | |
立方体ハニカム | 整流キュービックハニカム | 整流キュービックハニカム | 立方体ハニカム | |
次数4の十二面体 | 整流された次数4の12面体 | 整流された次数5キュービック | オーダー-5キュービック |
矯正度
最初の修正は、エッジをポイントまで切り捨てます。ポリトープが規則的な場合、この形式は拡張シュレーフリ記号表記t 1 {p、q、...}またはr {p、q、...}で表されます。
第二整流、又はbirectificationは 、ポイントまで顔を切り捨て。通常の場合、表記はt 2 {p、q、...}または2 r {p、q、...}です。多面体の場合、2方向修正により双面体が作成されます。
高次元のポリトープに対して、より高度な整流を構築できます。一般に、n修正はn面をポイントに切り捨てます。
nポリトープが（n-1）修正されている場合、そのファセットはポイントに縮小され、ポリトープはそのデュアルになります。
表記法とファセット
整流の程度ごとに異なる同等の表記法があります。これらの表は、ディメンションごとの名前と、それぞれの2つのタイプのファセットを示しています。
正多角形ファセットはエッジであり、{2}として表されます。
| 名前 {p} | コクセター図 | T表記 シュレーフリのシンボル | 垂直シュレーフリ記号 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| 名前 | ファセット-1 | ファセット-2 | |||
| 親 | t0 {p} | {p} | {2} | ||
| 整流 | t1 {p} | {p} | {2} | ||
ファセットは正多角形です。
| 名前 {p、q} | コクセター図 | T表記 シュレーフリのシンボル | 垂直シュレーフリ記号 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| 名前 | ファセット-1 | ファセット-2 | |||
| 親 | = | t0 {p、q} | {p、q} | {p} | |
| 整流 | = | t1 {p、q} | r {p、q} = {pq} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}} | {p} | {q} |
| 二整流 | = | t2 {p、q} | {q、p} | {q} | |
ファセットは、規則的または修正された多面体です。
| 名前 {p、q、r} | コクセター図 | T表記 シュレーフリのシンボル | 拡張シュレーフリ記号 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| 名前 | ファセット-1 | ファセット-2 | |||
| 親 | t0 {p、q、r} | {p、q、r} | {p、q} | ||
| 整流 | t1 {p、q、r} | {p q、r} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p \ \ \\ q、r \ end {Bmatrix}}} = r {p、q、r} | {pq} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}} = r {p、q} | {q、r} | |
| 二整流 （デュアル修正） | t2 {p、q、r} | {q、pr} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} q、p \\ r \ \ \ end {Bmatrix}}} = r {r、q、p} | {q、r} | {qr} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} q \\ r \ end {Bmatrix}}} = r {q、r} | |
| 三整流 （デュアル） | t3 {p、q、r} | {r、q、p} | {r、q} | ||
ファセットは、通常のまたは修正された4-ポリトープです。
| 名前 {p、q、r、s} | コクセター図 | T表記 シュレーフリのシンボル | 拡張シュレーフリ記号 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| 名前 | ファセット-1 | ファセット-2 | |||
| 親 | t0 {p、q、r、s} | {p、q、r、s} | {p、q、r} | ||
| 整流 | t1 {p、q、r、s} | {p q、r、s} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p \ \ \ \ \ \\ q、r、s \ end {Bmatrix}}} = r {p、q、r、s} | {p q、r} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p \ \ \\ q、r \ end {Bmatrix}}} = r {p、q、r} | {q、r、s} | |
| 二整流 （双安定化デュアル） | t2 {p、q、r、s} | {q、pr、s} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} q、p \\ r、s \ end {Bmatrix}}} = 2r {p、q、r、s} | {q、pr} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} q、p \\ r \ \ \ end {Bmatrix}}} = r {r、q、p} | {q r、s} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} q \ \ \\ r、s \ end {Bmatrix}}} = r {q、r、s} | |
| 三整流 （整流デュアル） | t3 {p、q、r、s} | {r、q、ps} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} r、q、p \\ s \ \ \ \ \ \ end {Bmatrix}}} = r {s、r、q、p} | {r、q、p} | {r、qs} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} r、q \\ s \ \ \ end {Bmatrix}}} = r {s、r、q} | |
| 四整流 （デュアル） | t4 {p、q、r、s} | {s、r、q、p} | {s、r、q} | ||
