四元数グループ

グループ理論では、 クォータニオングループ Q8（Qで示されることもあります）は、乗算中のクォータニオンの特定の8要素サブセットと同型の8次の非アーベル群です。グループ発表で与えられます

Q8 =⟨e¯、i、j、k∣e¯2 = e、i2 = j2 = k2 = ijk =e¯⟩、{\ displaystyle \ mathrm {Q} _ {8} = \ langle {\ bar {e }}、i、j、k \ mid {\ bar {e}} ^ {2} = e、\; i ^ {2} = j ^ {2} = k ^ {2} = ijk = {\ bar { e}} \ rangle、}

ここで、eはアイデンティティ要素であり、eはグループの他の要素と交換します。

二面体グループと比較して

四元数グループQ8は、二面体グループD4と同じ次数ですが、Cayleyグラフとサイクルグラフが示すように、構造が異なります。

	Q8	D4
ケイリーグラフ	赤い矢印はiによる乗算を表し、緑の矢印はjによる乗算を表します。
サイクルグラフ

二面体グループD4は、Q8が四元数のサブセットとして表示できるのと同じ方法で、分割四元数のサブセットとして実現できます。

ケイリーテーブル

Q8のCayleyテーブル（乗算テーブル）は次のように与えられます：

×	e	e	私	私	j	j	k	k
e	e	e	私	私	j	j	k	k
e	e	e	私	私	j	j	k	k
私	私	私	e	e	k	k	j	j
私	私	私	e	e	k	k	j	j
j	j	j	k	k	e	e	私	私
j	j	j	k	k	e	e	私	私
k	k	k	j	j	私	私	e	e
k	k	k	j	j	私	私	e	e

物性

クォータニオングループには、ハミルトニアンであるという異常な特性があります。Q8のすべてのサブグループは通常のサブグループですが、そのグループは非アーベル型です。すべてのハミルトニアングループにはQ8のコピーが含まれています。

四元数群Q8は、無能な非アーベル群の2つの最小の例の1つであり、もう1つは8次の二面体群D4です。

四元数グループQ8には5つの既約表現があり、それらの次元は1,1,1,1,2です。 Q8の既約文字の数はその共役クラスの数に等しいため、このプロパティの証明は難しくありません。これは5（{e}、{e}、{i、i}、{j、j} 、{k、k}）。

これらの5つの表現は次のとおりです。

自明な表現

i、j、k-kernelを使用した符号表現 ：Q8には3つの最大正規サブグループがあります ：i、j、およびkによってそれぞれ生成される循環サブグループ。最大の正規サブグループごとに、そのサブグループをカーネルとする1次元表現を取得します。この表現は、サブグループ内の要素を1に、サブグループ外の要素を-1に送信します。

2次元表現 ：表現：Q8 = {e、e¯、i、i¯、j、j¯、k、k¯}→GL2（C）{\ displaystyle \ mathrm {Q} _ {8} = \ {e、{\ bar {e}}、i、{\ bar {i}}、j、{\ bar {j}}、k、{\ bar {k}} \} \ to \ mathrm {GL} _ {2}（\ mathbf {C}）}は、マトリックス表現セクションで以下に示されています。

したがって、四面体グループQ8のキャラクターテーブルは、二面体グループD4のキャラクターテーブルと同じであることが判明します。

表現/共役クラス	{e}	{e}	{i、i}	{j、j}	{k、k}
自明な表現	1	1	1	1	1
i-kernelを使用した署名表現	1	1	1	-1	-1
j-kernelを使用した署名表現	1	1	-1	1	-1
kカーネルによる記号表現	1	1	-1	-1	1
2次元表現	2	-2	0	0	0

抽象代数では、スパンRによって定義される理想（{e + e、i + i、j + j、k + k}）によるグループリングRの商として実4次元ベクトル空間を構築できます。結果は、クォータニオンと呼ばれるスキューフィールドです。これはQ8のグループ代数（8次元になる）とはまったく同じではないことに注意してください。逆に、四元数から始めて、四元数グループを8つの要素{1、-1、 i 、− i 、 j 、− j 、 k 、− k }で構成される乗法サブグループとして定義できます 。同じベースの複雑な4次元ベクトル空間は、バイクォータニオンの代数と呼ばれます。

i、j、およびkはすべてQ8で次数が4であり、いずれか2つがグループ全体を生成することに注意してください。これを示すQ8の別のプレゼンテーションは次のとおりです。

⟨x、y∣x4 = 1、x2 = y2、y−1xy = x−1⟩。{\ displaystyle \ langle x、y \ mid x ^ {4} = 1、x ^ {2} = y ^ {2 }、y ^ {-1} xy = x ^ {-1} \ rangle。}

たとえば、i = x、j = y、およびk = xyがあります。

Q8の中心および交換子サブグループは、サブグループ{e、e}です。因子群Q8 / {e、e}は、クライン4群Vと同型です。Q8の内部自己同型群は、その中心を法とするQ8と同型であるため、クライン4群と同型です。 Q8の完全自己同型群は、4文字の対称群である次数4の対称群S4と同型です。 Q8の外側の自己同型群は、S3と同型であるS4 / Vです。

マトリックス表現

四元数グループは、一般線形グループGL2（ C ）のサブグループとして表すことができます。表現

Q8 = {e、e¯、i、i¯、j、j¯、k、k¯}→GL2（C）{\ displaystyle \ mathrm {Q} _ {8} = \ {e、{\ bar {e }}、i、{\ bar {i}}、j、{\ bar {j}}、k、{\ bar {k}} \} \ to \ mathrm {GL} _ {2}（\ mathbf {C }）}

によって与えられます

e↦（1001）i↦（0−110）j↦（0ii0）k↦（−i00i）e¯↦（−100−1）i¯↦（01−10）j¯↦（0−i−i0） k¯↦（i00−i）{\ displaystyle {\ begin {matrix} e \ mapsto {\ begin {pmatrix} 1＆0 \\ 0＆1 \ end {pmatrix}}＆i \ mapsto {\ begin {pmatrix} 0＆-1 \\ 1＆0 \ end {pmatrix}}＆j \ mapsto {\ begin {pmatrix} 0＆i \\ i＆0 \ end {pmatrix}}＆k \ mapsto {\ begin {pmatrix} -i＆0 \\ 0＆i \ end {pmatrix}} \\ {\上線{e}} \ mapsto {\ begin {pmatrix} -1＆0 \\ 0＆-1 \ end {pmatrix}}＆{\ overline {i}} \ mapsto {\ begin {pmatrix} 0＆1 \\-1＆0 \ end { pmatrix}}＆{\ overline {j}} \ mapsto {\ begin {pmatrix} 0＆-i \\-i＆0 \ end {pmatrix}}＆{\ overline {k}} \ mapsto {\ begin {pmatrix} i＆0 \ \ 0＆-i \ end {pmatrix}} \ end {matrix}}}

上記の行列はすべて単位行列を持っているため、これは特別な線形グループSL2（ C ）のQ8の表現です。四元数乗算の標準恒等式は、GL2（ C ）の行列乗算の通常の法則を使用して検証できます。

有限体F 3上の2次元ベクトル空間の8つの非ゼロ要素に対するQ8の重要なアクションもあります。

Q8 = {e、e¯、i、i¯、j、j¯、k、k¯}→GL（2,3）{\ displaystyle \ mathrm {Q} _ {8} = \ {e、{\ bar {e}}、i、{\ bar {i}}、j、{\ bar {j}}、k、{\ bar {k}} \} \ to \ mathrm {GL}（2,3）}

によって与えられます

e↦（1001）i↦（111−1）j↦（−1111）k↦（0−110）e¯↦（−100−1）i¯↦（−1−1−11）j¯↦（1 −1−1−1）k¯↦（01−10）{\ displaystyle {\ begin {matrix} e \ mapsto {\ begin {pmatrix} 1＆0 \\ 0＆1 \ end {pmatrix}}＆i \ mapsto {\ begin { pmatrix} 1＆1 \\ 1＆-1 \ end {pmatrix}}＆j \ mapsto {\ begin {pmatrix} -1＆1 \\ 1＆1 \ end {pmatrix}}＆k \ mapsto {\ begin {pmatrix} 0＆-1 \\ 1＆0 \ end {pmatrix}} \\ {\ overline {e}} \ mapsto {\ begin {pmatrix} -1＆0 \\ 0＆-1 \ end {pmatrix}}＆{\ overline {i}} \ mapsto {\ begin {pmatrix } -1＆-1 \\-1＆1 \ end {pmatrix}}＆{\ overline {j}} \ mapsto {\ begin {pmatrix} 1＆-1 \\-1＆-1 \ end {pmatrix}}＆{\ overline {k}} \ mapsto {\ begin {pmatrix} 0＆1 \\-1＆0 \ end {pmatrix}} \ end {matrix}}}

上記マトリックスの全てがF 3上の単位行列式を有しているので、{-1、0、1} F 3の三つの要素はどこにあり、これは特殊線形群SLにおけるQ8の表現（2、3）です。実際、グループSL（2、3）の順序は24であり、Q8はインデックス3のSL（2、3）の通常のサブグループです。

ガロア群

リチャードディーンが1981年に示したように、四元数群はガロア群Gal（ T / Q）として表すことができます。ここで、Qは有理数の体で、 TはQ上の多項式の分割体です。

x8−72x6 + 180x4−144x2 + 36 {\ displaystyle x ^ {8} -72x ^ {6} + 180x ^ {4} -144x ^ {2} +36}。

この開発では、QとTの間の4つの中間体とそれらのガロア群、および体の4次の巡回拡張に関する2つの定理の指定にガロア理論の基本定理を使用しています。

一般化四元数グループ

一般化された四元数グループは、2の累乗の二環式グループです。

⟨x、y∣x2m = y4 = 1、x2m−1 = y2、y−1xy = x−1⟩。{\ displaystyle \ langle x、y \ mid x ^ {2 ^ {m}} = y ^ {4 } = 1、x ^ {2 ^ {m-1}} = y ^ {2}、y ^ {-1} xy = x ^ {-1} \ rangle。}

これは、より一般的なクラスの二環式基の一部です。

一部の著者は、 一般化四元数グループを二環式グループと同じと定義しています。

⟨x、y∣x2n = y4 = 1、xn = y2、y−1xy = x−1⟩。{\ displaystyle \ langle x、y \ mid x ^ {2n} = y ^ {4} = 1、x ^ {n} = y ^ {2}、y ^ {-1} xy = x ^ {-1} \ rangle。}

いくつかの整数をN≥2.このグループには、Q4を付しn及び順序4を有するN .Coxeterバイナリ多面体群の特殊なケースであり、これらの二環基 2,2、N>ラベルL、M、N>と関連さ多面体群（ p 、 q 、 r ）、および二面体群（2,2、 n ）。通常のクォータニオングループは、 n = 2の場合に対応します。一般化されたクォータニオングループは、GL2（ C ）のサブグループとして実現できます。

（ωn00ω¯n）および（0−110）{\ displaystyle \ left（{\ begin {array} {cc} \ omega _ {n}＆0 \\ 0＆{\ overline {\ omega}} _ {n} \ end {array}} \ right）{\ mbox {and}} \ left（{\ begin {array} {cc} 0＆-1 \\ 1＆0 \ end {array}} \ right）}

ここで、ωN = Eiπ/ N。また、X = Eの iπ/ Nであり、Y = jで生成された単位四元のサブグループとして実現することができます。

一般化された四元数群には、すべてのアーベル部分群が周期的であるという性質があります。この特性を持つ有限pグループ（すべてのアーベルサブグループがサイクリックである）は、サイクリックまたは上記で定義された一般化クォータニオングループのいずれかであることが示されます。もう1つの特徴は、次数pの一意のサブグループが存在する有限p-グループが、巡回または一般化クォータニオングループに同型の2グループであることです。特に、奇数の特性を持つ有限体Fの場合、SL2（ F ）の2-Sylowサブグループは非アーベル型であり、次数2のサブグループが1つしかないため、この2-Sylowサブグループは一般化四元数グループでなければなりません（Gorenstein 1980年、42ページ）。 prをFのサイズとすると（ pは素数）、SL2（ F ）の2-Sylowサブグループのサイズは2 nで、 n = ord2（ p 2 − 1）+ ord2（ r ）です。

Brauer–Suzukiの定理は、Sylow 2サブグループが一般化された四元数であるグループは単純ではないことを示しています。