準正多面体
幾何学では、 準正多面体は、各頂点の周りで交互に並んでいる正確に2種類の正則面を持つ半正多面体です。それらはエッジ推移的であり、したがって、頂点推移的であるだけの半正則よりも正則多面体に近いステップです。デュアルフィギュアは、準推移的であると見なされることもありますが、エッジ推移的、フェース推移的であり、2つの通常の頂点の数字の間で交互になります。
立方八面体と正十二面体の2つの規則的な凸準正多面体のみがあります。ケプラーによって与えられた彼らの名前は、彼らの顔が最初の場合にはデュアルペア立方体と八面体のすべての面を含み、2番目のケースではデュアルペアの20面体と12面体を含むことに由来します。
通常の図とその双対のペアを表すこれらの形式には、垂直シュレーフリ記号{pq} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}またはr {p、q}を与えることができます。正規の{p、q}と双対の正規の{q、p}の両方の面を含むそれらを表します。このシンボルを持つ準正多面体の頂点構成はpqpq （または（pq）2 ）です。
より一般的には、均一な準正則図は頂点構成（pq）rを持つことができ、頂点の周りの面のr （2以上）インスタンスを表します。
平面のタイリングも準規則的であり、具体的には頂点構成（3.6）2の三六角形のタイリングです。他の準規則的なタイルは、3角形のタイルのように双曲線平面上に存在します（3.7）2。または、より一般的には、（pq）2、1 / p + 1 / q 1/2。
いくつかの通常の多面体とタイル（各頂点に偶数の面を持つもの）は、同じ数の側面の面を区別することで準規則と見なすこともできますが、異なる色を持っているが、方向を定義する表面特徴がないように、それらを異なって表現します。 Schläfliシンボル{p、q}を含む通常の図は、qが偶数の場合、頂点構成（pp）q / 2で準規則になる可能性があります。
八面体は、三角形の面の2つの色を交互に、（3a.3b）2、tetratetrahedron（四面体の4つの三角形の2セット）としてquasiregular考えることができます。同様に、正方形のタイル（4a.4b）2は、 チェッカーボードとして色付けされた準規則的と考えることができます。また、三角形のタイルは、交互に色付けされた三角形の面（3a.3b）3を持つことができます。
ワイソフ構造
規則的（ p | 2 q ）および準規則的多面体（ 2 | pq ）は、基本領域の3つのコーナーの1つにジェネレータポイントをもつWythoff構造から作成されます。これにより、基本ドメイン内の単一のエッジが定義されます。 |
Coxeterは、 準正多面体を、 p | |という形式のWythoff記号を持つものとして定義します。 qr。q = 2またはq = rの場合は規則的です。
Coxeter-Dynkinダイアグラムは、2つの双対正則形式間の準正則関係を示す別の記号表現です。
| シュレーフリのシンボル | コクセター図 | Wythoffシンボル | |
|---|---|---|---|
| {p、q} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p、q \ end {Bmatrix}}} | {p、q} | q | 2 p | |
| {q、p} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} q、p \ end {Bmatrix}}} | {q、p} | p | 2 q | |
| {pq} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}} | r {p、q} | または | 2 | pq |
凸準正多面体
2つの均一な凸準正多面体があります。
- 立方八面体{34} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} 3 \\ 4 \ end {Bmatrix}}}、頂点構成（3.4）2 、Coxeter-Dynkinダイアグラム
- 十二面体{35} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} 3 \\ 5 \ end {Bmatrix}}}、頂点構成（3.5）2 、 Coxeter-Dynkinダイアグラム
さらに、正八面体も規則的です。{33} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} 3 \\ 3 \ end {Bmatrix}}}、頂点構成（3.3）2は 、代替面が準正則である場合、準正則と見なすことができます。色違いこの形式では、四面体と呼ばれることもあります。残りの凸正多面体は、各頂点に奇数の面を持っているため、エッジの推移性を保持する方法で色を付けることはできません。 Coxeter-Dynkinダイアグラムがあります
これらはそれぞれ、通常の多面体のデュアルペアの共通コアを形成します。これらの2つの名前は、それぞれ立方体+八面体と二十面体+十二面体という、関連するデュアルペアの手がかりを与えます。八面体は、四面体の二重対（ステラoctangulaとして知られている配列）の中核であり、このように誘導されたときに時々 tetratetrahedronと呼ばれます。
| レギュラー | デュアルレギュラー | 準規則的 | 頂点図 |
|---|---|---|---|
四面体 {3,3} 3 | 2 3 | 四面体 {3,3} 3 | 2 3 | 四面体 r {3,3} 2 | 3 3 | 3.3.3.3 |
キューブ {4,3} 3 | 2 4 | 八面体 {3,4} 4 | 2 3 | 直方体 r {3,4} 2 | 3 4 | 3.4.3.4 |
十二面体 {5,3} 3 | 2 5 | 正二十面体 {3,5} 5 | 2 3 | 十二面体 r {3,4} 2 | 3 5 | 3.5.3.5 |
これらの準正多面体のそれぞれは、元のエッジがポイントに縮小されるまで、エッジを完全に切り捨てて、通常の親のいずれかでの整流操作によって構築できます。
準規則的なタイル
このシーケンスは、3角形のタイル、頂点図（3.6）2-三角形のタイルと六角形のタイルに基づく準規則的なタイルとして続きます。
| レギュラー | デュアルレギュラー | 準規則的 | 頂点図 |
|---|---|---|---|
六角形のタイル {6,3} 6 | 2 3 | 三角形のタイル {3,6} 3 | 2 6 | 三角六角タイル r {6,3} 2 | 3 6 | （3.6）2 |
チェッカーボードパターンは、正方形のタイル、頂点図形（4.4）2の準規則的な色付けです。
| レギュラー | デュアルレギュラー | 準規則的 | 頂点図 |
|---|---|---|---|
{4,4} 4 | 2 4 | {4,4} 4 | 2 4 | r {4,4} 2 | 4 4 | （4.4）2 |
三角形のタイリングは準頂点とみなすこともでき、各頂点に3組の交互三角形があります（3.3）3：
h {6,3} 3 | 3 3 = |
双曲線平面では、このシーケンスがさらに続きます。たとえば、3角形タイリング、頂点図（3.7）2- 次数7の三角形タイリングと七角形タイ リングに基づく準規則的なタイ リングです。
| レギュラー | デュアルレギュラー | 準規則的 | 頂点図 |
|---|---|---|---|
七角形のタイル {7,3} 7 | 2 3 | 三角形のタイル {3,7} 3 | 2 7 | 三方晶タイル r {3,7} 2 | 3 7 | （3.7）2 |
非凸の例
コクセター、HSM他（1954）また、準規則的と同じ特性を持つ特定の星多面体を分類します：
2つは、凸の例と同じように、通常のケプラー・ポインソ立体の二重ペアに基づいています。
偉大な二十面体{35/2} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} 3 \\ 5/2 \ end {Bmatrix}}}および十二面体十面体{55/2} {\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} 5 \\ 5/2 \ end {Bmatrix}}}：
| レギュラー | デュアルレギュラー | 準規則的 | 頂点図 |
|---|---|---|---|
星型の十二面体 {5 / 2,3} 3 | 2 5/2 | 大二十面体 {3,5 / 2} 5/2 | 2 3 | 十二十面体 r {3,5 / 2} 2 | 3 5/2 | 3.5 / 2.3.5 / 2 |
小さな星形十二面体 {5 / 2,5} 5 | 2 5/2 | 十二面体 {5,5 / 2} 5/2 | 2 5 | 十二面体 r {5,5 / 2} 2 | 5 5/2 | 5.5 / 2.5.5 / 2 |
さらに半多面体は、正多面体の修正に由来する前述の準正多面体の多面体です。これらには、多面体の中心を通る赤道面が含まれます。
| 準規則的（修正済み） | 四面体 | 直方体 | 十二面体 | 十二十面体 | 十二面体 |
|---|---|---|---|---|---|
| 準規則的（半多角体） | 四面体六面体 3/2 3 | 2 | 八面体八面体 3/2 3 | 3 | 小十二面体 3/2 3 | 5 | 十二面体 3/2 3 | 5/3 | 小さな十二面体 5/35/2 | 3 |
| 頂点図 | 3.4.3 / 2.4 | 3.6.3 / 2.6 | 3.10.3 / 2.10 | 3.10 / 3.3 / 2.10 / 3 | 5 / 2.6.5 / 3.6 |
| 準規則的（半多角体） | 立方体八面体 4/3 4 | 3 | 小さな十二面体十二面体 5/4 5 | 5 | 十二面体十二面体 5/35/2 | 5/3 | 大正十二面体 5/4 5 | 3 | |
| 頂点図 | 4.6.4 / 3.6 | 5.10.5 / 4.10 | 5 / 2.10 / 3.5 / 3.10 / 3 | 5.6.5 / 4.6 |
最後に、3つの三辺形があり、すべて正十二面体のすべてのファセットがあり、その頂点の数字には2つのフェースタイプの3つの交互が含まれています。
| 画像 | 多面体の名前 Wythoffシンボル コクセター図 | 頂点図 |
|---|---|---|
| 二十面体十二面体 3 | 5/3 5 または | （5.5 / 3）3 | |
| 小さな正二十面体 3 | 5/2 3 または | （3.5 / 2）3 | |
| 大正二十面体 3/2 | 3 5 または | （（3.5）3）/ 2 |
ユークリッド平面では、半多角体のシーケンスは次の4つの星形タイルで続き、アペイロゴンは前述の赤道ポリゴンとして表示されます。
| 元の 修正済み タイル張り | 縁 図 | 固体 | 頂点 構成 | ワイソフ | 対称 |
|---|---|---|---|---|---|
平方 タイル張り | 4.∞.4/3.∞ 4.∞.-4.∞ | 4/3 4 | ∞ | p4m | ||
三角 タイル張り | （3.∞.3.∞.3.∞）/ 2 | 3/2 | 3∞ | p6m | ||
三六角形 タイル張り | 6.∞.6/5.∞ 6.∞.-6.∞ | 6/5 6 | ∞ | |||
| ∞.3.∞.3/ 2 ∞.3.∞.-3 | 3/2 3 | ∞ |
準規則双対
一部の当局は、準正則立体の双対は同じ対称性を共有しているため、これらの双対も準正則と呼ばれるべきだと主張しています。しかし、誰もがこの用語を使用するわけではありません。これらの双対は、辺と面で推移的です（ただし、頂点では推移しません）。それらは、エッジ推移的なカタロニア語の固体です。凸面のものは、上記の対応する順序です。
- 2 種類の頂点が交互に並んだ菱形12面体。3つの菱形面を持つ8つと4つの菱形面を持つ6つ。
- 2つのタイプの交互の頂点、20は3つの菱形面、12は5つの菱形面を備えた菱形の三面体。
さらに、八面体との双対性により、別の頂点に異なる色が与えられている場合、通常規則的な立方体を準規則的にすることができます。
顔の構成はV3.n.3.nの形式であり、Coxeter-Dynkinダイアグラム
| キューブ V（3.3）2 | 菱形十二面体 V（3.4）2 | 菱形の三面体 V（3.5）2 | 菱形タイル V（3.6）2 | V（3.7）2 | V（3.8）2 |
これらの3つの準正則双対は、菱形の面を持つことも特徴です。
この菱形のパターンは、V（3.6）2、菱形のタイルとして継続します。
準規則的なポリトープとハニカム
高次元では、コクセターは準規則的な多面体またはハニカムを定義して、規則的なファセットと準規則的な頂点図形を作成しました。したがって、すべての頂点図形は一致し、2種類のファセットがあり、交互に並んでいます。
ユークリッド4空間では、通常の16セルは代替テッセラクトh {4,3,3}、コクセターダイアグラムとして準規則的と見なすこともできます：=、交互の四面体および四面体セルで構成されます。その頂点の図は準正四面体（四面体対称の八面体）です。
ユークリッド3空間での唯一の準正則ハニカムは、交互の立方体ハニカム、h {4,3,4}、コクセター図：=、交互の四面体と八面体のセルで構成されます。その頂点の図は準正立方体です。
双曲線3空間では、準正則ハニカムの1つは、交互になった次数5の立方体ハニカム、h {4,3,5}、コクセターダイアグラム：=、交互の四面体セルと二十面体セルで構成されます。その頂点の図は準正二十面体です。関連するパラコンパクト交互6次キュービックハニカム、h {4,3,6}は、正四面体と六角形のタイルセルが交互にあり、頂点図は準正三角形の六角形タイルです。
| 準規則的なポリコーラとハニカム：h {4、p、q} | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| スペース | 有限 | アフィン | コンパクト | パラコンパクト | |||||||
| シュレーフリ シンボル | h {4,3,3} | h {4,3,4} | h {4,3,5} | h {4,3,6} | h {4,4,3} | h {4,4,4} | |||||
| {3,33} {\ displaystyle \ left \ {3、{3 \ atop 3} \ right \}} | {3,43} {\ displaystyle \ left \ {3、{4 \ atop 3} \ right \}} | {3,53} {\ displaystyle \ left \ {3、{5 \ atop 3} \ right \}} | {3,63} {\ displaystyle \ left \ {3、{6 \ atop 3} \ right \}} | {4,43} {\ displaystyle \ left \ {4、{4 \ atop 3} \ right \}} | {4,44} {\ displaystyle \ left \ {4、{4 \ atop 4} \ right \}} | ||||||
| コクセター 図 | ↔ | ↔ | ↔ | ↔ | ↔ | ↔ | |||||
| ↔ | ↔ | ||||||||||
| 画像 | |||||||||||
| 頂点 図 r {p、3} | |||||||||||
{p、3,4}形式の通常のポリコラまたはハニカム、または対称性を半正準形式に半分にカットして、交互に色付けされた{p、3}セルを作成できます。これらのケースには、立方体セルを含むユークリッド立方体ハニカム{4,3,4}、十二面体セルを含むコンパクト双曲線{5,3,4}、無限六角形タイルセルを含むパラコンパクト{6,3,4}が含まれます。各エッジの周囲に4つのセルがあり、2色で交互に表示されます。それらの頂点の数字は準正四面体、=です。
| 正規および準正規ハニカム：{p、3,4}および{p、31,1} | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| スペース | ユークリッド4空間 | ユークリッド3空間 | 双曲線3空間 | ||||||||
| 名前 | {3,3,4} {3,31,1} = {3,33} {\ displaystyle \ left \ {3、{3 \ atop 3} \ right \}} | {4、3、4} {4,31,1} = {4,33} {\ displaystyle \ left \ {4、{3 \ atop 3} \ right \}} | {5,3,4} {5,31,1} = {5,33} {\ displaystyle \ left \ {5、{3 \ atop 3} \ right \}} | {6,3,4} {6,31,1} = {6,33} {\ displaystyle \ left \ {6、{3 \ atop 3} \ right \}} | |||||||
| コクセター 図 | = | = | = | = | |||||||
| 画像 | |||||||||||
| 細胞 {p、3} | |||||||||||
同様に、{p、3,6}形式の規則的な双曲線ハニカムまたは準対称形式に半分にカットされた対称性を持つことができ、交互に着色された{p、3}セルを作成します。各エッジの周囲に2つの色で交互に6つのセルがあります。それらの頂点の数字は準正三角形のタイルです。
双曲線均一ハニカム：{p、3,6}および{p、3}は、パラコンパクト非コンパクト名{3,3,6}を形成します{3,3} {4,3,6}
{4,3} {5,3,6}
{5,3} {6,3,6}
{6,3} {7,3,6}
{7,3} {8,3,6}
{8,3} ... {∞、3,6}
{∞、3}
画像セル
{3,3}
{4,3}
{5,3}
{6,3}
{7,3}
{8,3}
{∞、3}
