疑似グループ
数学では、 擬似群は群概念の拡張ですが、抽象代数（例えば、準群など）からではなく、ソフスリーの幾何学的アプローチから生まれました。擬似グループの理論は、1900年代初頭にエリーカルタンによって開発されました。
それは公理的代数的考えではありません。むしろ、それは与えられたユークリッド空間Eまたはより一般的には固定位相空間Sの開いた集合Uで定義された同相写像の集合に関する閉包条件の集合を定義します。その同相写像では、それらのグループ状条件が満たされています
h ： U → Vそして
g ： V → WUからWへの同相写像を作成します 。擬似グループのさらなる要件は、 パッチ適用の可能性に関連しています（降下、遷移関数、または接着の公理の意味で）。
具体的には、トポロジカル空間S上の擬似グループは、以下の特性を満たすSのオープンサブセット間の同相写像の集合Γです。
- S内のすべての開集合Uについて、U上のアイデンティティ・マップは、Γです。
- fがΓにある場合、 f -1も同じです。
- fがΓにある場合、そのドメインの任意のオープンサブセットに対するfの制限はΓにあります。
- Uは、Sで開いている場合、Uは開集合{Uiを }の和集合であり、Fは SのオープンサブセットにUから同相写像、およびUIにすべてのiについてΓではFの制限は、次にfはですΓ 。
- f ： U → Vおよびf ′ ： U′ → V ′がΓにあり、交点V∩U′が空でない場合、次の制限された構成はΓにあります。
2次元の空間での例は、複雑な変数の逆正則関数（逆関数を持つという意味での逆変換可能）の疑似グループです。この擬似グループのプロパティは、パッチされたローカルデータによってリーマンサーフェスを定義することを可能にします。
一般に、擬群は無限次元のリー群の可能な理論として研究されました。 局所的なリー群の概念、すなわちEの原点の近傍で定義された関数の擬似群は、関与する変換が有限数のパラメーターに依存する場合、実際にはリーの元のリー群の概念に近い多様体による現代的な定義。カルタンの業績の1つは、現在の意味で、リーの局所集団が常にグローバルな集団を生じさせるという点を含む、関連する点を明らかにすることでした（リーの代数での群を決定するリーの第3定理に類似）。フォーマルグループは、リーグループの仕様に対する無限の別のアプローチです。ただし、 ローカルトポロジグループには必ずしもグローバルな対応グループが存在しないことが知られています。
Eのすべての微分同相写像の擬似群から始まる無限次元の擬似群の例はたくさんあります。関心は主に微分同相写像の準擬群にあり、したがって、ベクトル場のリー代数類似物を持つオブジェクトにあります。これらのオブジェクトを研究するためにリーとカルタンによって提案された方法は、コンピュータ代数の進歩を考えると、より実用的になりました。
1950年代、カルタンの理論はShiing-Shen Chernによって再定式化され、擬似グループの一般的な変形理論は小平邦彦とDC Spencerによって開発されました。 1960年代には、過剰決定の基本的なPDEの質問にホモロジー代数が適用されました。しかし、これは理論の代数が潜在的に非常に重いことを明らかにしました。同じ10年で、現在の代数の形で、無限次元のリー理論の理論物理学への関心が初めて現れました。
