極分解

数学、特に線形代数と関数解析では、行列または線形演算子の極分解は、z =reiθ{\ displaystyle z = re ^ {i \ theta}の非ゼロの複素数zの極形式に類似した因数分解です。 \、}ここで、 rはz （正の実数）の絶対値であり、eiθ{\ displaystyle e ^ {i \ theta}}は円グループの要素です。

マトリックス極分解

正方複素行列Aの極分解は、次の形式の行列分解です。

A = UP {\ displaystyle A = UP}

ここで、 Uはユニタリ行列であり、 Pは正半数エルミート行列です。直観的に、極分解はAを回転（反射の可能性あり） Uと、直交軸のセットに沿って空間を引き伸ばす成分Pに分離します。 A {\ displaystyle A}の複素共役の分解は、A¯=U¯P¯。{\ displaystyle {\ overline {A}} = {\ overline {U}} {\ overline {P}}で与えられます。 }

この分解は常に存在します。そして、 Aが可逆である限り、それは一意であり、 Pは正定値です。ご了承ください

detA = detUdetP =eiθ⋅r{\ displaystyle \ det A = \ det U \ det P = e ^ {i \ theta} \ cdot r}

detU =eiθ{\ displaystyle \ det U = e ^ {i \ theta}}およびdetP = r = | detA | {\ displaystyle \ det P = r = | \ detであるため、 Aの行列式の対応する極分解を与えますA |}。特に、A {\ displaystyle A}に行列式1がある場合、U {\ displaystyle U}とP {\ displaystyle P}の両方に行列式1があります。

行列Pは、 Aが特異であっても常に一意であり、

P =（A ∗ A）12、{\ displaystyle P = \ left（A ^ {*} A \ right）^ {\ frac {1} {2}}、}

A *はAの共役転置を表します。 A ∗ A {\ displaystyle A ^ {*} A}は正半正準エルミート行列であり、したがって一意の正半正エルミート平方根を持つため、この式は明確に定義されます。 Aが可逆である場合、行列Uは次によって一意に決定されます。

U = AP-1。{\ displaystyle U = AP ^ {-1}。}

さらに、A {\ displaystyle A}が可逆である場合、P {\ displaystyle P}は厳密に正定であり、一意の自己随伴対数を持ちます。したがって、すべての可逆行列A {\ displaystyle A}は、次の形式で一意に記述できます。

A = UeX、{\ displaystyle A = Ue ^ {X}、}

ここで、U {\ displaystyle U}はユニタリで、X {\ displaystyle X}は自己結合です。この分解は、（行列）Lieグループの基本グループの計算に役立ちます。

Aの特異値分解に関して、 A = WΣV *の場合、

P =VΣV∗ U = WV ∗ {\ displaystyle {\ begin {aligned} P＆= V \ Sigma V ^ {*} \\ U＆= WV ^ {*} \ end {aligned}}}

Pが正定値でUがユニタリであることを確認します。したがって、SVDの存在は、極性分解の存在と同等です。

Aを次の形式で分解することもできます

A = P'U {\ displaystyle A = P'U}

ここで、 Uは以前と同じであり、 P ′は

P '= UPU−1 =（AA ∗）12 =WΣW∗。{\ displaystyle P' = UPU ^ {-1} = \ left（AA ^ {*} \ right）^ {\ frac {1} {2} } = W \ Sigma W ^ {*}。}

これは左極分解として知られていますが、前の分解は右極分解として知られています。左極分解は、逆極分解とも呼ばれます。

行列Aは、 P ′= Pの場合にのみ正常です。それからUΣ=ΣUであり、 Σと交換するユニタリ類似行列SでUを対角化して、 SUS * = Φ-1を与えます。ここで、 Φは位相eiφの対角ユニタリ行列です。 Q = VS *とすると、極分解を次のように書き直すことができます。

A =（QΦQ∗）（QΣQ∗）、{\ displaystyle A = \ left（Q \ Phi Q ^ {*} \ right）\ left（Q \ Sigma Q ^ {*} \ right）、\、}

したがって、 Aはスペクトル分解も行います。

A =QΛQ∗ {\ displaystyle A = Q \ Lambda Q ^ {*}}

ΛΛ∗ =Σ2{\ displaystyle \ Lambda \ Lambda ^ {*} = \ Sigma ^ {2}}のような複素固有値と、複素固有ベクトルQのユニタリ行列

正方可逆実行列Aの極分解は、次の形式です。

A = | A | R {\ displaystyle A = | A | R}

ここで、| A | =（AAT）12 {\ displaystyle | A | = \ left（AA ^ {\ textsf {T}} \ right）^ {\ frac {1} {2}}}は正定行列であり、 R = | A | -1A {\ displaystyle R = | A | ^ {-1} A}は直交行列です。

構成と存在の証明

極分解の構築の背後にある中心的な考え方は、特異値分解の計算に使用される考え方に似ています。

マトリックスA {\ displaystyle A}の場合、マトリックスA ∗ A {\ displaystyle A ^ {*} A}はエルミートで正の半正定行列であるため、正の半正定対角行列と統一的に等価です。次に、V {\ displaystyle V}をユニタリ行列とし、A ∗ A = VDV ∗ {\ displaystyle A ^ {*} A = VDV ^ {*}}で、D {\ displaystyle D}対角線および正の半正定行列とします。 。

A {\ displaystyle A} normalの場合

A {\ displaystyle A}が正常な場合、それは対角行列とユニタリ等価です：A =VΛV∗ {\ displaystyle A = V \ Lambda V ^ {*}}ユニタリV {\ displaystyle V}およびダイアゴナルマトリックスΛ{\ displaystyle \ Lambda}。

この場合、極分解は

V ∗ AV =ΦΛ|Λ|、{\ displaystyle V ^ {*} AV = \ Phi _ {\ Lambda} | \ Lambda |、}

ここで、|Λ| {\ displaystyle | \ Lambda |}は、Λ{\ displaystyle \ Lambda}の要素の絶対値を持つ対角行列であり、ΦΛ{\ displaystyle \ Phi _ {\ Lambda}}は、 Λ{\ displaystyle \ Lambda}の要素のフェーズを含む。言い換えると、

（ΦΛ|Λ|）jk = δjkeiϕk |λk| =δjkλk。{\ displaystyle \ left（\ Phi _ {\ Lambda} | \ Lambda | \ right）_ {jk} = \ delta _ {jk} e ^ {i \ phi _ {k}} \ left | \ lambda _ {k} \ right | = \ delta _ {jk} \ lambda _ {k}。}

λk= 0 {\ displaystyle \ lambda _ {k} = 0}の場合、対応するフェーズを任意に選択できます。

元の基礎に戻って、A {\ displaystyle A}の極分解を取得します。

A =VΦΛ|Λ| V ∗ =（VΦΛV∗）⏟U（V |Λ| V ∗）⏟P。{\ displaystyle A = V \ Phi _ {\ Lambda} | \ Lambda | V ^ {*} = \下括弧{\ left（V \ Phi _ {\ Lambda} V ^ {*} \ right）} _ {U} \ underbrace {\ left（V | \ Lambda | V ^ {*} \ right）} _ {P} 。} A {\ displaystyle A}のケースが反転可能

例えば特異値分解を使用すると、A ∗ A {\ displaystyle A ^ {*} A}（同等に、AA ∗ {\ displaystyle AA ^ {*}}）です。さらに、これは、A ∗ A {\ displaystyle A ^ {*} A}の固有値がすべてゼロでない場合にのみ当てはまります。

この場合、極分解は次のように直接取得されます

A = A（A ∗ A）-12（A ∗ A）12、{\ displaystyle A = A \ left（A ^ {*} A \ right）^ {-{\ frac {1} {2}}} \ left（A ^ {*} A \ right）^ {\ frac {1} {2}}、}

そして、A（A ∗ A）-12 {\ displaystyle A \ left（A ^ {*} A \ right）^ {-{\ frac {1} {2}}}}がユニタリであることを観察します。これを確認するには、A ∗ A {\ displaystyle A ^ {*} A}のスペクトル分解を利用して、A（A ∗ A）-12 = AVD-12V ∗ {\ displaystyle A \ left（A ^ {* } A \ right）^ {-{\ frac {1} {2}}} = AVD ^ {-{\ frac {1} {2}}} V ^ {*}}。

この式では、V {\ displaystyle V}は単一なので、V ∗ {\ displaystyle V ^ {*}}は単一です。 AVD-12 {\ displaystyle AVD ^ {-{\ frac {1} {2}}}}が単一であることを示すために、SVDを使用してA = WD12V ∗ {\ displaystyle A = WD ^ {\ frac {1} {2}} V ^ {*}}、したがって

AVD-12 = WD12V ∗ VD-12 = W、{\ displaystyle AVD ^ {-{\ frac {1} {2}}} = WD ^ {\ frac {1} {2}} V ^ {*} VD ^ {-{\ frac {1} {2}}} = W、}

ここでも、W {\ displaystyle W}は構造上単一です。

A（A ∗ A）-12 {\ displaystyle A \ left（A ^ {*} A \ right）^ {-{\ frac {1} {2}}}}のユニタリティを直接示す別の方法はA = \ kskvkwk ∗ {\ displaystyle A = \ sum _ {k} s_ {k} v_ {k} w_ {k} ^としてランク1行列の観点からA {\ displaystyle A}のSVDを書くことに注意してください。 {*}}、sk {\ displaystyle s_ {k}}はA {\ displaystyle A}の特異値であり、

行列はユニタリであるため、A（A ∗ A）-12 {\ displaystyle A \ left（A ^ {*} A \ right）^ {-{\ frac {1} {2}}}}のユニタリティーを直接意味します。特異値にユニタリ絶対値がある場合にのみ。

上記の構成から、 可逆行列の極分解におけるユニタリ行列が一意に定義されることに注意してください。

一般的なケース

上記の引数は（A ∗ A）-12 {\ displaystyle \ left（A ^ {*} A \ right）^ {-{\ frac {1} {2}}}}の存在に決定的に依存しているため、 A ∗ A {\ displaystyle A ^ {*} A}は可逆です。実際、一般的な場合、AVD-12 {\ displaystyle AVD ^ {-{\ frac {1} {2}}}}は、D {\ displaystyle D}が消滅する固有値を持つ可能性があるため、一般的には明確に定義されていません。 。

V1 {\ displaystyle V_ {1}}を使って、列が非消滅固有値に対応するA ∗ A {\ displaystyle A ^ {*} A}の固有ベクトルである（一般に正方ではない）行列をD1 { \ displaystyle D_ {1}}関連付けられた非ゼロの固有値を含む対角行列、およびV2 {\ displaystyle V_ {2}}の場合、A ∗ A {\ displaystyle A ^ {*} A}の残りの固有ベクトルを持つ行列。次に、A ∗ A {\ displaystyle A ^ {*} A}のスペクトル分解を次のように記述できます。

A ∗ A = V1V2D1000 = V1D1V1 ∗。{\ displaystyle A ^ {*} A = {\ begin {bmatrix} V_ {1}＆V_ {2} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} D_ {1}＆0 \\ 0＆0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} V_ {1} ^ {*} \\ V_ {2} ^ {*} \ end {bmatrix}} = V_ {1} D_ {1} V_ { 1} ^ {*}。}

可逆的なケースと同様に、AV1D1-12 {\ displaystyle AV_ {1} D_ {1} ^ {-{\ frac {1} {2}}}}は明確に定義されており、列は正規直交であることに注意してください一般的に正方形ではないため、ユニタリです。

今定義します

U '=、{\ displaystyle U' = \ left、}

ここで、Φ{\ displaystyle \ Phi}は、U '{\ displaystyle U'}がユニタリになるように列が選択された行列です。これは、AV1D1-12 {\ displaystyle AV_ {1} D_ {1} ^ {-{\ frac {1} {2}}}}の列とともに完全な形を成す正規直交ベクトルのセットを見つけることによって行われます。スペースのベース、およびこれらのベクトルをΦ{\ displaystyle \ Phi}の列として使用します。 A ∗ A {\ displaystyle A ^ {*} A}（したがってA {\ displaystyle A}）が可逆でない限り 、U '{\ displaystyle U'}の定義は一意ではないことに注意してください。この場合、AV1D1-12 {\ displaystyle AV_ {1} D_ {1} ^ {-{\ frac {1} {2}}}}はすでに統一されており、一意に定義されています。

引数は、AVD-12 {\ displaystyle AVD ^ {-{\ frac {1} {2}}}}の代わりにU '{\ displaystyle U'}を使用することのみが異なる、可逆ケースと同様に進行します。確かに、次のものがあります。

U（A ∗ A）12≡U ′（A ∗ A）12 =（AV1D1−12V1 ∗ +ΦV2∗）V1D112V1 = A、{\ displaystyle U \ left（A ^ {*} A \ right）^ {\ frac {1} {2}} \ equiv U '{\ begin {bmatrix} V_ {1} ^ {*} \\ V_ {2} ^ {*} \ end {bmatrix}} \ left（A ^ {*} A \ right）^ {\ frac {1} {2}} = \ left（AV_ {1} D_ {1} ^ {-{\ frac {1} {2}}} V_ {1} ^ {*} + \ファイV_ {2} ^ {*} \ right）V_ {1} D_ {1} ^ {\ frac {1} {2}} V_ {1} = A、}

V1 {\ displaystyle V_ {1}}とV2 {\ displaystyle V_ {2}}の列の直交性を使用しました。これはV2 ∗ V1 = 0 {\ displaystyle V_ {2} ^ {*} V_と同等です{1} = 0}、U {\ displaystyle U}は2つのユニタリの積であるため、ユニタリです。

一般的なケース、代替証明

A {\ displaystyle A}のSVDを使用すると、より直接的な証拠を見つけることができます。

A {\ displaystyle A}のSVDは、A = WD12V ∗ {\ displaystyle A = WD ^ {\ frac {1} {2}} V ^ {*}}を読み取り、W、V {\ displaystyle W、V}がユニタリです行列、およびD {\ displaystyle D}対角の半正定行列。 W {\ displaystyle W} sまたはV {\ displaystyle V} sの追加のペアを挿入するだけで、A {\ displaystyle A}の極分解の2つの形式を取得します。

A = WD12V ∗ =（WD12W ∗）⏟P（WV ∗）⏟U=（WV ∗）⏟U（VD12V ∗）⏟P ′。{\ displaystyle A = WD ^ {\ frac {1} {2}} V ^ {*} = \ underbrace {\ left（WD ^ {\ frac {1} {2}} W ^ {*} \ right）} _ {P} \ underbrace {\ left（WV ^ {*} \ right） } _ {U} = \ underbrace {\ left（WV ^ {*} \ right）} _ {U} \ underbrace {\ left（VD ^ {\ frac {1} {2}} V ^ {*} \ right ）} _ {P '}。}

ヒルベルト空間上の有界演算子

複素ヒルベルト空間の間の有界線形演算子Aの極分解は、部分等尺性と非負演算子の積としての正準分解です。

次のように行列の極分解は、一般化：Aが有界線形演算子であるならば、Uが部分等長である製品A = UPとしてのユニークな分解があり、Pは非負エルミート作用素と初期でありますUの空間はPの範囲の閉鎖です。

演算子Uは、以下の問題があるため、ユニタリではなく部分的なアイソメに弱めなければなりません。 Aがl 2（ N ）の片側シフトの場合、| A | = { A * A }½= Iしたがって、 A = U | A |、 UはAでなければなりません。これはユニタリではありません。

極分解の存在は、ダグラスの補題の結果です。

補題 A 、 Bがヒルベルト空間Hの有界演算子であり、 A * A≤B * Bの場合、 A = CBのような縮約Cが存在します。さらに、 Cは、 Ker （ B * ） ⊂Ker （ C ）であれば一意です。

演算子Cは、 Hのすべてのhに対してC（Bh） ：= Ah 、 Ran （ B ）の閉包への連続性、およびHのすべてに対する直交補数のゼロによって拡張できます。 A * A≤B * Bは Ker （ B ） ⊂Ker （ A ）を意味するため、補題が続きます。

特に。 A * A = B * Bの場合、 Cは部分等角図であり、 Ker （ B * ） ⊂Ker （ C ）の場合に一意です。一般に、有界演算子Aの場合、

A ∗ A =（A ∗ A）12（A ∗ A）12、{\ displaystyle A ^ {*} A = \ left（A ^ {*} A \ right）^ {\ frac {1} {2}} \ left（A ^ {*} A \ right）^ {\ frac {1} {2}}、}

ここで、（ A * A ）½は、通常の関数計算によって与えられるA * Aの一意の正の平方根です。補題により、

A = U（A ∗ A）12 {\ displaystyle A = U \ left（A ^ {*} A \ right）^ {\ frac {1} {2}}}

Ker （ A * ） ⊂Ker （ U ）の場合に一意である一部の等尺性Uに対して。 Pを（ A * A ）½にすると、極分解A = UPが得られます。類似の引数を使用してA = P'U 'を示すことができることに注意してください。ここで、 P'は正で、 U 'は部分等角投影です。

Hが有限次元の場合、 Uはユニタリー演算子に拡張できます。これは一般的には正しくありません（上記の例を参照）。また、極値分解は、特異値分解の演算子バージョンを使用して表示できます。

連続関数計算の特性により、 | A | Aによって生成されたC *-代数にあります。同様の、しかしより弱いステートメントは、部分アイソメにも当てはまります。Uは、 Aによって生成されたフォンノイマン代数にあります。 Aが反転可能な場合、極部UもC *代数になります。

無制限の演算子

Aが複雑なヒルベルト空間間で閉じた、密に定義された無制限演算子である場合、（一意の） 極分解がまだあります

A = U | A | {\ displaystyle A = U | A | \、}

どこ| A |は、 Aと同じ領域を持つ （場合によっては無制限の）非負の自己随伴演算子であり、 Uは、範囲Ran （| A |）の直交補数で消滅する部分的等尺性です。

証明は上記と同じ補題を使用しますが、これは一般に無制限の演算子に適用されます。 ドム （* A）は 、すべての時間 ドム （B *のB）及びA *ああ = B * Bhのを =∈ ドム （*はA）場合、A = UBそのUは 、部分等長作用素が存在します。 Ran （ B ）⊥er Ker （ U ）の場合、 Uは一意です。演算子Aを閉じて密に定義することにより、演算子A * Aが自己結合（密領域を含む）になるため、（ A * A ）½を定義できます。補題を適用すると、極分解が行われます。

無制限演算子Aがフォンノイマン代数Mに属し、 A = UPがその極分解である場合、 UはMにあり、 Pのスペクトル投影、1 B （ P ）、0の任意のボレルセットB 、∞）。

四元数極分解

四元数Hの極分解は、球{xi + yj +zk∈H：x2 + y2 + z2 = 1} {\ displaystyle \ lbrace xi + yj + zk \ in H：x ^ {2} + y ^ { 1の平方根の2} + z ^ {2} = 1 \ rbrace}。この球上の任意のR、角度-πA≤π、ベルソル耳=cos⁡を与え、（A）+ Rのsin⁡（A）{\ displaystyleのE ^ {AR} = \ COS（A）+ R \ \ sin（a）}はHの 3球上にあります。 a = 0およびa =πの場合、選択されているrに関係なく、バーサーは1または-1です。クォータニオンqのノルムtは、原点からqまでのユークリッド距離です。四元数が単なる実数ではない場合、 一意の極分解q = tear。{\ displaystyle q = te ^ {ar}。}があります。

代替平面分解

デカルト平面では、代替の平面リング分解が次のように発生します。

マトリックス極分解の数値決定

極分解A = UPの近似を計算するには、通常、ユニタリファクターUを近似します。反復は、 1の平方根に対するHeronの方法に基づいており、U0 = A {\ displaystyle U_ {0} = A}から始まるシーケンスを計算します。

Uk + 1 = 12（Uk +（Uk ∗）− 1）、k = 0,1,2、…{\ displaystyle U_ {k + 1} = {\ frac {1} {2}} \ left（U_ {k } + \ left（U_ {k} ^ {*} \ right）^ {-1} \ right）、\ qquad k = 0,1,2、\ ldots}

反転とエルミート共役の組み合わせは、特異値分解でユニタリファクターが同じままで、反復が特異値でのヘロンの方法に減少するように選択されます。

この基本的な反復は、プロセスを高速化するために改良できます。