ポールケの定理

ポールケの定理は、 軸索測定の基本定理です。 1853年、ドイツの画家であり、記述的幾何学のカールヴィルヘルムポールケの教師によって設立されました。定理の最初の証明は、ポルケの学生だったドイツの数学者ヘルマンアマンダスシュワルツによって1864年に公開されました。したがって、定理は、ポールケとシュワルツの定理とも呼ばれます。

定理

• 3つの任意の行セクションO¯U¯、O¯V¯、O¯W¯{\ displaystyle {\ overline {O}} {\ overline {U}}、{\ overline {O}} {\ overline {V}} 、{\ overline {O}} {\ overline {W}}}は、線O立方体の3つのエッジOU、OV、OW {\ displaystyle OU、OV、OW}の投影。

単位立方体のマッピングでは、空間または平面のいずれかに追加のスケーリングを適用する必要があります。 parallprojectionとスケーリングは比率を保持するため、以下の不等角投影手順により、任意の点P =（x、y、z）{\ displaystyle P =（x、y、z）}をマッピングできます。

ポールケの定理は、線形代数に関して次のように述べることができます。

• 3次元空間の平面へのアフィンマッピングは、類似性と平行投影の合成と見なすことができます。

軸索計測への応用

ポールケの定理は、座標を使用して3次元オブジェクトのスケーリングされた平行投影を構築する次の簡単な手順の正当化です。

1. ラインに含まれない座標軸の画像を選択します。
2. vx、vy、vz> 0の短縮のために任意の座標軸を選択します。{\ displaystyle v_ {x}、v_ {y}、v_ {z}> 0。}
3. 点P =（x、y、z）{\ displaystyle P =（x、y、z）}の画像P¯{\ displaystyle {\ overline {P}}}は、点から始まる3つのステップによって決定されます。 O¯{\ displaystyle {\ overline {O}}}：

x¯{\ displaystyle {\ overline {x}}}-方向でvx⋅x{\ displaystyle v_ {x} \ cdot x}に移動し、次にyでvy⋅y{\ displaystyle v_ {y} \ cdot y}に移動します¯{\ displaystyle {\ overline {y}}}-direction、次にz¯{\ displaystyle {\ overline {z}}}-directionおよび4.でvz⋅z{\ displaystyle v_ {z} \ cdot z}に移動します。ポイントをP¯{\ displaystyle {\ overline {P}}}としてマークします。

歪みのない画像を取得するには、軸の画像と短縮化を慎重に選択する必要があります（軸測法を参照）。正射投影を得るために、軸の画像のみが自由であり、短縮が決定されます。 （de：orthogonale Axonometrieを参照）。

シュワルツの証明に関する所見

シュワルツは、より一般的な声明を定式化し、証明しました。

• 任意の四辺形の頂点は、与えられた四面体に類似した四面体の頂点の斜め平行投影と見なすことができます。

そして、L'Huilierの定理を使用しました。

• すべての三角形は、特定の形状の三角形の正射投影と見なすことができます。

ノート