オキュレーティングサークル
曲線の微分幾何学では、曲線上の特定の点pでの十分に滑らかな平面曲線の接触円は、伝統的に、 pとpに限りなく近い曲線上の追加点のペアを通る円として定義されてきました。その中心は内側の法線上にあり、その曲率はそのポイントでの指定された曲線の曲率を定義します。この円は、与えられたポイントのすべての接線円のうち、曲線に最も厳密に近づくものであり、ライプニッツによってサーキュラスオスクランス （「接吻円」のラテン語）と名付けられました 。
特定の点での接触円の中心と半径は、その点での曲線の曲 率中心および曲率 半径と呼ばれます。 Isaac Newtonは彼のPrincipiaで幾何学的構造を説明しました。
任意の場所で、ある共通の中心に向けられた力によって、身体が与えられた図を描く速度が与えられます：その中心を見つけること。
わかりやすい用語での説明
広大な平面上のカーブした道路に沿って移動する車を想像してください。突然、道路に沿ったある地点で、ハンドルが現在の位置にロックされます。その後、車は、ロック地点で道路に「キス」する円を描いて動きます。円の曲率は、その地点の道路の曲率と等しくなります。その円は、そのポイントでの道路曲線の接触円です。
数学的な説明
γ{\ displaystyle \ gamma} （ s ）を通常のパラメトリック平面曲線とします。ここで、 sは弧の長さ（自然パラメーター）です。これにより、 sが構成される各点で、 単位接線ベクトル T （ s ）、 単位法線ベクトル N （ s ）、符号付き曲率k（s ）、および曲率半径 R（s ）が決定されます。
T（s）=γ ′（s）、T′（s）= k（s）N（s）、R（s）= 1 | k（s）|。{\ displaystyle T（s）= \ gamma ' （s）、\ quad T '（s）= k（s）N（s）、\ quad R（s）= {\ frac {1} {\ left | k（s）\ right |}}。}Pがγ上の点であり、 k ≠0であると仮定します。対応する曲率中心は、 kが正の場合は同じ方向、 kが負の場合は反対方向のNに沿った距離Rの点Qです。中心がQで半径がRの 円は、点Pでの曲線γに対する接触円と呼ばれます。
Cが規則的な空間曲線である場合、主な法線ベクトルNを使用して、接触円が同様の方法で定義されます。点Pで接線と主法線ベクトルTおよびNがまたがる接触面にあります。
平面曲線は、異なる通常のパラメーター化で与えることもできます
γ（t）=（x1（t）x2（t））{\ displaystyle \ gamma（t）\、= \、{\ begin {pmatrix} x_ {1}（t）\\ x_ {2}（t） \ end {pmatrix}} \、}
ここで、regularは、すべてのt {\ displaystyle t}に対してγ ′（t）≠0 {\ displaystyle \ gamma'（t）\ neq 0}を意味します。次に、符号付き曲率k （ t ）、法線単位ベクトルN （ t ）、曲率半径R （ t ）、および接触円の中心Q （ t ）の式は、
k（t）= x1 ′（t）⋅x2″（t）−x1″（t）⋅x2′（t）（x1 ′（t）2 + x2′（t）2）32N（t）=1‖ γ ′（t）‖⋅（−x2′（t）x1 ′（t））{\ displaystyle k（t）= {\ frac {x_ {1}'（t）\ cdot x_ {2} ''（t ）-x_ {1} ''（t）\ cdot x_ {2} '（t）} {{\ Big（} x_ {1}'（t）^ {2} + x_ {2} '（t）^ {2} {\ Big）} ^ {\ frac {3} {2}}}} \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad N（t）\、= \、{\ frac {1} {\ | \ gamma ' （t）\ |}} \ cdot {\ begin {pmatrix} -x_ {2} '（t）\\ x_ {1}'（t）\ end {pmatrix}}} R（t）= |（x1 ′ （t）2 + x2 ′（t）2）32x1′（t）⋅x2″（t）−x1″（t）⋅x2 ′（t）| andQ（t）=γ（t）+ 1k（t） ⋅‖γ ′（t）‖⋅（−x2′（t）x1 ′（t））。{\ displaystyle R（t）= \ left | {\ frac {{\ Big（} x_ {1}'（t ）^ {2} + x_ {2} '（t）^ {2} {\ Big）} ^ {\ frac {3} {2}}} {x_ {1}'（t）\ cdot x_ {2} ''（t）-x_ {1} ''（t）\ cdot x_ {2} '（t）}} right | \ qquad \ qquad \ mathrm {and} \ qquad \ qquad Q（t）\、= \、\ gamma（t）\、+ \、{\ frac {1} {k（t）\ cdot \ | \ gamma '（t）\ |}} \ cdot {\ begin {pmatrix} -x_ {2} '（t）\\ x_ {1}'（t）\ end {pmatrix}} \ ,.}デカルト座標
何らかのf関数にt = x {\ displaystyle t = x}およびy = f（x）{\ displaystyle y = f（x）}を代入すると、デカルト座標での接触円の中心を取得できます。計算を行うと、接触円の中心のX座標とY座標の結果は次のようになります。
xc = x−f′1 + f′2f″ andyc = f + 1 + f′2f″ {\ displaystyle x_ {c} = x-f '{\ frac {1 + f' ^ {2}} {f ' '}} \ qquad \ qquad {\ text {and}} \ qquad \ qquad y_ {c} = f + {\ frac {1 + f' ^ {2}} {f ''}}}物性
十分に滑らかなパラメトリック方程式（2回連続微分可能）によって与えられる曲線Cの場合、接触円は制限手順によって取得できます。これは、これらの点がPに近づくときにCの 3つの異なる点を通過する円の制限です。これは、 Pに近づくCの異なる点のペアを通る割線の限界としての曲線の接線の構築に完全に類似しています。
規則的な点Pでの平面曲線Cへの接触円Sは、次の特性によって特徴付けられます。
- 円SはPを通ります。
- 円Sと曲線CはPに共通の接線を持っているため、共通の法線を持っています。
- Pの近くでは、曲線Cの点と法線方向の円Sの間の距離は、立方体または接線方向のPへの距離のより高いべき乗として減衰します。
これは通常、 Pで 「曲線とその接触円に2次以上の接触がある」と表現されます。大まかに言えば、 CとSを表すベクトル関数は、 Pでの1次および2次導関数と一致します。
sに対する曲率の導関数がPでゼロでない場合、接触円はPで曲線Cと交差します。曲率の導関数がゼロになる点Pは、頂点と呼ばれます。 Pが頂点の場合、 Cとその接触円には少なくとも3次の接触があります。さらに、曲率の局所的な最大値または最小値がPでゼロでない場合、接触円はPで曲線Cに接触しますが、交差しません。
曲線Cは、その接触円の1パラメータファミリのエンベロープとして取得できます。それらの中心、つまり曲率中心は、 Cの進化と呼ばれる別の曲線を形成します。 Cの頂点は、そのエボリュート上の特異点に対応します。
例
放物線
放物線用
γ（t）=（tt2）{\ displaystyle \ gamma（t）= {\ begin {pmatrix} t \\ t ^ {2} \ end {pmatrix}}}曲率半径は
R（t）= |（1 +4⋅t2）322 | {\ displaystyle R（t）= \ left | {\ frac {\ left（1 + 4 \ cdot t ^ {2} \ right）^ {\ frac {3} {2}}} {2}} \ right |}頂点γ（0）=（00）{\ displaystyle \ gamma（0）= {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \ end {pmatrix}}}では、曲率半径はR（0）= 0.5に等しくなります（参照図）。放物線には、その接触円との4次接触があります。曲率が大きくなるの半径〜T3 T大きいため、つまり、曲線はより多くをまっすぐ。
リサージュ曲線
周波数比（3：2）のリサージュ曲線は、次のようにパラメーター化できます。
γ（t）=（cos（3t）sin（2t））。{\ displaystyle \ gamma（t）\、= \、{\ begin {pmatrix} \ cos（3t）\\\ sin（2t）\ end {pmatrix}} \ ,.}符号付き曲率k （ t ）、法線単位ベクトルN （ t ）、および曲率半径R （ t ）があります。
k（t）=6cos（t）（8（cost）4-10（cost）2 + 5）（232（cost）4−97（cost）2 + 13−144（ cost）6）3/2、{\ displaystyle k（t）= {\ frac {6 \ cos（t）（8（\ cos t）^ {4} -10（\ cos t）^ {2} +5）} {（232（\ cos t）^ {4} -97（\ cos t）^ {2} + 13-144（\ cos t）^ {6}）^ {3/2}}} \ ,,} N（t）=1‖γ ′（t）‖⋅（−2cos（2t）−3sin（3t））{\ displaystyle N（t）\、= \、{\ frac {1} { \ | \ gamma '（t）\ |}} \ cdot {\ begin {pmatrix} -2 \ cos（2t）\\-3 \ sin（3t）\ end {pmatrix}}}そして
R（t）= |（232（cost）4-97（cost）2 + 13−144（cost）6）3 /26cos（t）（8（cost）4-10 （cost）2 + 5）|。{\ displaystyle R（t）= \ left | {\ frac {（232（\ cos t）^ {4} -97（\ cos t）^ {2} +13 -144（\ cos t）^ {6}）^ {3/2}} {6 \ cos（t）（8（\ cos t）^ {4} -10（\ cos t）^ {2} +5 ）}} \ right | \ ,.}アニメーションの図を参照してください。そこで、「加速度ベクトル」は二次導関数d2γ（s）ds2 {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ gamma（s）} {\ mathrm {d} s ^ {2}}} }アーク長s {\ displaystyle s}に関して。
サイクロイド
半径がrのサイクロイドは、次のようにパラメーター化できます。
γ（t）=（r（t−sint）r（1−cost））{\ displaystyle \ gamma（t）\、= \、{\ begin {pmatrix} r（t- \ sin t） \\ r（1- \ cos t）\ end {pmatrix}}}曲率は次の式で与えられます。
κ（t）= − |csc（12t）| 4r {\ displaystyle \ kappa（t）=-{\ frac {\ left | \ csc \ left（{\ frac {1} {2}} t \ right） \ right |} {4r}}}与えるもの：
R（t）= 4r |csc（12t）| {\ displaystyle R（t）= {\ frac {4r} {\ left | \ csc \ left（{\ frac {1} {2}} t \ right） \ right |}}}
