直交変換

線形代数では、 直交変換は、内積を保存する実内積空間V上の線形変換T ： V → Vです。それはVの要素のそれぞれの対U、Vのために、私たちは持っている、です

⟨u、v⟩=⟨Tu、Tv⟩。{\ displaystyle \ langle u、v \ rangle = \ langle Tu、Tv \ rangle \ ,.}

ベクトルの長さとベクトル間の角度は内積によって定義されるため、直交変換ではベクトル間の長さとベクトル間の角度が保持されます。特に、直交変換は正規直交基底を正規直交基底にマッピングします。

2次元または3次元のユークリッド空間での直交変換は、硬い回転、反射、または回転と反射の組み合わせ（不適切な回転とも呼ばれます）です。反射は、（現実の）ミラーが行うように、正面から背面へ、ミラープレーンに直交する方向を逆にする変換です。適切な回転（反射なし）に対応する行列の行列式は+1です。反射を伴う変換は、行列式-1の行列で表されます。これにより、回転と反射の概念をより高い次元に一般化できます。

有限次元空間では、直交変換の行列表現（正規直交基底に関する）は直交行列です。その行は、単位ノルムを持つ相互に直交するベクトルであるため、行はVの正規直交基底を構成します。行列の列はVの別の正規直交基底を形成します。

直交変換の逆は、別の直交変換です。その行列表現は、元の変換の行列表現の転置です。

例

内積空間（R2、⟨⋅、⋅⟩）{\ displaystyle（\ mathbb {R} ^ {2}、\ langle \ cdot、\ cdot \ rangle）}を標準ユークリッドの内積と標準基底で考慮してください。次に、行列変換

T =：R2→R2 {\ displaystyle T = {\ begin {bmatrix} \ cos（\ theta）＆-\ sin（\ theta）\\\ sin（\ theta）＆\ cos（\ theta）\ end {bmatrix }}：\ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {2}}

直交です。これを確認するには、検討してください

Te1 = Te2 = {\ displaystyle {\ begin {aligned} Te_ {1} = {\ begin {bmatrix} \ cos（\ theta）\\\ sin（\ theta）\ end {bmatrix}} && Te_ {2} = { \ begin {bmatrix}-\ sin（\ theta）\\\ cos（\ theta）\ end {bmatrix}} \ end {aligned}}}

次に、

⟨Te1、Te1⟩=⋅=cos2⁡（θ）+sin2⁡（θ）=1⟨Te1、Te2⟩=⋅=sin⁡（θ）cos⁡（θ）−sin⁡（θ）cos⁡（θ） =0⟨Te2、Te2⟩=⋅=sin2⁡（θ）+cos2⁡（θ）= 1 {\ displaystyle {\ begin {aligned}＆\ langle Te_ {1}、Te_ {1} \ rangle = {\ begin {bmatrix} \ cos（\ theta）＆\ sin（\ theta）\ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} \ cos（\ theta）\\\ sin（\ theta）\ end {bmatrix}} = \ cos ^ {2}（\ theta）+ \ sin ^ {2}（\ theta）= 1 \\＆\ langle Te_ {1}、Te_ {2} \ rangle = {\ begin {bmatrix} \ cos（ \ theta）＆\ sin（\ theta）\ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix}-\ sin（\ theta）\\\ cos（\ theta）\ end {bmatrix}} = \ sin（\ theta）\ cos（\ theta）-\ sin（\ theta）\ cos（\ theta）= 0 \\＆\ langle Te_ {2}、Te_ {2} \ rangle = {\ begin {bmatrix}-\ sin（ \ theta）＆\ cos（\ theta）\ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix}-\ sin（\ theta）\\\ cos（\ theta）\ end {bmatrix}} = \ sin ^ { 2}（\ theta）+ \ cos ^ {2}（\ theta）= 1 \\\ end {aligned}}}

前の例を拡張して、すべての直交変換を構築できます。たとえば、次の行列は（R3、⟨⋅、⋅⟩）{\ displaystyle（\ mathbb {R} ^ {3}、\ langle \ cdot、\ cdot \ rangle）}の直交変換を定義します。

、、 {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ cos（\ theta）＆-\ sin（\ theta）＆0 \\\ sin（\ theta）＆\ cos（\ theta）＆0 \\ 0＆0＆1 \ end {bmatrix} }、{\ begin {bmatrix} \ cos（\ theta）＆0＆-\ sin（\ theta）\\ 0＆1＆0 \\\ sin（\ theta）＆0＆\ cos（\ theta）\ end {bmatrix}}、{\ begin {bmatrix} 1＆0＆0 \\ 0＆\ cos（\ theta）＆-\ sin（\ theta）\\ 0＆\ sin（\ theta）＆\ cos（\ theta）\ end {bmatrix}}}