直交座標

数学では、 直交座標はd座標q =（ q 1、 q 2、...、 q d ）のセットとして定義され、座標面はすべて直角で交わる（注：上付き文字は指数ではなくインデックスです）。特定の座標q kの座標面は、 q kが定数である曲線、曲面、または超曲面です。たとえば、3次元のデカルト座標（ x 、 y 、 z ）は直交座標系です。座標面x =定数、 y =定数、およびz =定数は互いに直角に交わる平面であるため、つまり、垂直です。直交座標は、曲線座標の特殊ですが非常に一般的なケースです。

動機

通常、ベクトル演算と物理法則は直交座標で導出するのが最も簡単ですが、非直交直交座標は、さまざまな問題、特に量子力学の場の理論、流体の流れで生じるような境界値の問題の解決に代わりに使用されることがよくあります。電気力学、プラズマ物理学、化学種または熱の拡散。

非直交座標の主な利点は、問題の対称性に一致するように選択できることです。たとえば、地面（または他の障壁）から遠く離れた爆発による圧力波はデカルト座標の3D空間に依存しますが、圧力は主に中心から遠ざかるので、球面座標では問題はほぼ1次元になります（圧力波は主に時間と中心からの距離にのみ依存するため）。別の例は、直線円管内の（遅い）流体です：デカルト座標では、偏微分方程式を含む（難しい）2次元境界値問題を解かなければなりませんが、円筒座標では、問題は通常の微分で1次元になります偏微分方程式ではなく方程式。

一般的な曲線座標の代わりに直交座標を好む理由は、単純さです。座標が直交していない場合、多くの問題が発生します。たとえば、直交座標では、変数の分離によって多くの問題を解決できます。変数の分離は、複雑なd次元の問題をdの 1次元の問題に変換する数学的手法であり、既知の関数の観点から解くことができます。多くの方程式は、ラプラス方程式またはヘルムホルツ方程式に縮小できます。ラプラスの方程式は、13の直交座標系（トロイダルを除く以下の表にリストされている14）で分離可能で、ヘルムホルツの方程式は11の直交座標系で分離可能です。

直交座標のメトリックテンソルに非対角項が含まれることはありません。言い換えれば、無限小の2乗距離ds 2は、無限小の2乗座標変位のスケーリングされた合計として常に記述できます。

ds2 = ∑k = 1d（hkdqk）2 {\ displaystyle ds ^ {2} = \ sum _ {k = 1} ^ {d} \ left（h_ {k} \、dq ^ {k} \ right）^ { 2}}

ここで、 dは次元とスケーリング関数（またはスケール係数）です。

hk（q）= def gkk（q）= | ek | {\ displaystyle h_ {k}（\ mathbf {q}）\ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ sqrt {g_ { kk}（\ mathbf {q}）}} = | \ mathbf {e} _ {k} |}

メトリックテンソルの対角成分の平方根、または以下で説明するローカル基底ベクトルek {\ displaystyle \ mathbf {e} _ {k}}の長さに等しくなります。これらのスケーリング関数h iは、勾配、ラプラシアン、発散、カールなどの新しい座標で微分演算子を計算するために使用されます。

2次元の直交座標系を生成する簡単な方法は、デカルト座標（ x 、 y ）の標準的な2次元グリッドの等角写像によるものです。複素数z = x + iyは、実座標xおよびyから形成できます。ここで、 iは虚数単位を表します。ゼロでない複素導関数を持つ正則関数w = f （ z ）は、等角写像を生成します。結果の複素数がw = u + ivと書かれている場合、定数xとyの元の線がしたように、定数uとvの曲線は直角に交差します。

3次元以上の直交座標は、直交する2次元座標系から、新しい次元（ 円筒座標 ）に投影するか、対称軸の1つを中心に2次元システムを回転させることで生成できます。ただし、楕円座標など、2次元システムを投影または回転しても取得できない3次元の他の直交座標系があります。より一般的な直交座標は、いくつかの必要な座標面から開始し、それらの直交軌道を考慮することで取得できます。

基底ベクトル

共変基底

デカルト座標では、基底ベクトルは固定（定数）です。曲線座標のより一般的な設定では、空間内の点は座標によって指定され、そのような点ごとに、一般に一定ではない基底ベクトルのセットがバインドされます。これは一般に曲線座標の本質であり、非常に重要な概念。直交座標を区別するのは、基底ベクトルは異なりますが、互いに対して常に直交しているということです。言い換えると、

ei⋅ej= 0ifi≠j {\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ cdot \ mathbf {e} _ {j} = 0 \ quad {\ text {if}} \ quad i \ neq j}

これらの基底ベクトルは、定義上、1つの座標を変更し、他の座標を固定して得られる曲線の接線ベクトルです。

ei =∂r∂qi{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} = {\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial q ^ {i}}}}

ここで、 rはある点で、 q iは基底ベクトルが抽出される座標です。つまり、1つの座標を除くすべての座標を固定することで曲線が得られます。固定されていない座標はパラメトリックカーブのように変化し、パラメータ（変化する座標）に対する曲線の導関数はその座標の基底ベクトルです。

ベクトルは必ずしも同じ長さではないことに注意してください。座標のスケール係数として知られる便利な関数は、単純に基底ベクトルe ^ i {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {i}}の長さhi {\ displaystyle h_ {i}}です（下の表を参照してください）。スケール係数はラメ係数と呼ばれることもありますが、線形弾性でよく知られているいくつかの係数には同じ名前が付けられているため、この用語は避けるのが最善です。

正規化された基底ベクトルは、帽子で表記され、長さで割ることによって取得されます。

e ^ i = eihi = ei | ei | {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {i} = {\ frac {{\ mathbf {e}} _ {i}} {h_ {i} }} = {\ frac {{\ mathbf {e}} _ {i}} {\ left | {\ mathbf {e}} _ {i} \ right |}}}

ベクトル場は、基底ベクトルまたは正規化基底ベクトルに関して、そのコンポーネントによって指定される場合があり、どちらの場合を意味するかを確認する必要があります。正規化された基底のコンポーネントは、量を明確にするためにアプリケーションで最も一般的です（たとえば、接線速度にスケール係数を掛けたものではなく、接線速度を扱いたい場合があります）。派生では、正規化された基底はより複雑であるため、あまり一般的ではありません。

反変基底

上に示した基底ベクトルは共変基底ベクトルです（ベクトルと共変するため）。直交座標の場合、反変基底ベクトルは共変ベクトルと同じ方向にありますが、長さは逆数であるため、見つけるのは簡単です（このため、基底ベクトルの2つのセットはそれぞれに対して逆であると言われていますその他）：

ei = e ^ ihi = eihi2 {\ displaystyle \ mathbf {e} ^ {i} = {\ frac {{\ hat {\ mathbf {e}}} _ {i}} {h_ {i}}} = {\ frac {\ mathbf {e} _ {i}} {h_ {i} ^ {2}}}}

これは、定義により、ei⋅ej=δij{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ cdot \ mathbf {e} ^ {j} = \ delta _ {i} ^ {j}}という事実から得られます。 、クロネッカーデルタを使用。ご了承ください：

e ^ i = eihi = hiei = e ^ i {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {i} = {\ frac {\ mathbf {e} _ {i}} {h_ {i}} } = h_ {i} \ mathbf {e} ^ {i} = {\ hat {\ mathbf {e}}} ^ {i}}

現在、一般的に、直交座標におけるベクトルを記述するために使用される三つの異なる基準セットに直面する：共変基底E I、反変基底E I、正規化基底E I。ベクトルは客観的な量であり、そのアイデンティティはどの座標系にも依存しないことを意味しますが、ベクトルのコンポーネントはベクトルがどの基底で表されるかに依存します。

混乱を避けるため、 e i基底に関するベクトルxの成分はx iとして表され、 e i基底に関する成分はx iとして表されます。

x = ∑ixiei = ∑ixiei {\ displaystyle \ mathbf {x} = \ sum _ {i} x ^ {i} \ mathbf {e} _ {i} = \ sum _ {i} x_ {i} \ mathbf { e} ^ {i}}

インデックスの位置は、コンポーネントの計算方法を表します（上側のインデックスをべき乗と混同しないでください）。合計記号Σ（大文字のシグマ）とすべての基底ベクトル（ i = 1、2、...、 d ）の合計を示す合計範囲はしばしば省略されることに注意してください。コンポーネントは次のように簡単に関連付けられます。

hi2xi = xi {\ displaystyle h_ {i} ^ {2} x ^ {i} = x_ {i}}

正規化された基底に関して、ベクトルコンポーネントに使用する際立った表記法はありません。この記事では、ベクトルコンポーネントに添え字を使用し、コンポーネントが正規化された基準で計算されることに注意します。

ベクトル代数

ベクトルの加算と否定は、複雑なことなくデカルト座標のようにコンポーネントごとに行われます。他のベクトル演算では、追加の考慮事項が必要になる場合があります。

ただし、これらの操作はすべて、ベクトルフィールド内の2つのベクトルが同じポイントにバインドされていることを前提としていることに注意してください（つまり、ベクトルのテールが一致する）。基底ベクトルは一般に直交座標で変化するため、2つのベクトルが追加され、そのコンポーネントが空間の異なる点で計算される場合、異なる基底ベクトルを考慮する必要があります。

ドット積

デカルト座標のドット積（正規直交基底セットを持つユークリッド空間）は、単に成分の積の合計です。直交座標では、2つのベクトルxとyの内積は、ベクトルの成分が正規化された基準で計算されると、このよく知られた形式を取ります。

x⋅y= ∑ixie ^ i⋅∑jyje ^ j = ∑ixiyi {\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y} = \ sum _ {i} x_ {i} {\ hat {\ mathbf {e }}} _ {i} \ cdot \ sum _ {j} y_ {j} {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {j} = \ sum _ {i} x_ {i} y_ {i}}

これは、ある時点で正規化された基底がデカルト座標系を形成できるという事実の直接的な結果です。基底セットは正規直交です。

共変ベースまたは反変ベースのコンポーネントの場合、

x⋅y= ∑ihi2xiyi = ∑ixiyihi2 = ∑ixiyi = ∑ixiyi {\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y} = \ sum _ {i} h_ {i} ^ {2} x ^ {i} y ^ {i} = \ sum _ {i} {\ frac {x_ {i} y_ {i}} {h_ {i} ^ {2}}} = \ sum _ {i} x ^ {i} y_ { i} = \ sum _ {i} x_ {i} y ^ {i}}

これは、コンポーネント形式でベクトルを書き出し、基底ベクトルを正規化し、ドット積を取得することで簡単に導き出すことができます。たとえば、2Dの場合：

x⋅y=（x1e1 + x2e2）⋅（y1e1 + y2e2）=（x1h1e ^ 1 + x2h2e ^ 2）⋅（y1e ^ 1h1 + y2e ^ 2h2）= x1y1 + x2y2 {\ displaystyle {\ begin {aligned} \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y}＆= \ left（x ^ {1} \ mathbf {e} _ {1} + x ^ {2} \ mathbf {e} _ {2} \ right）\ cdot \ left（y_ {1} \ mathbf {e} ^ {1} + y_ {2} \ mathbf {e} ^ {2} \ right）\\＆= \ left（x ^ {1} h_ {1} {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {1} + x ^ {2} h_ {2} {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {2} \ right）\ cdot \ left（y_ {1} {\ frac {{\ hat {\ mathbf {e}}} ^ {1}} {h_ {1}}} + y_ {2} {\ frac {{\ hat {\ mathbf {e}}} ^ {2 }} {h_ {2}}} \ right）= x ^ {1} y_ {1} + x ^ {2} y_ {2} \ end {aligned}}}

正規化された共変と反変の基底が等しいという事実が使用されています。

クロス積

3Dデカルト座標の外積は次のとおりです。

x×y =（x2y3−x3y2）e ^ 1 +（x3y1−x1y3）e ^ 2 +（x1y2−x2y1）e ^ 3 {\ displaystyle \ mathbf {x} \ times \ mathbf {y} =（x_ {2 } y_ {3} -x_ {3} y_ {2}）{\ hat {\ mathbf {e}}} _ {1} +（x_ {3} y_ {1} -x_ {1} y_ {3}） {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {2} +（x_ {1} y_ {2} -x_ {2} y_ {1}）{\ hat {\ mathbf {e}}} _ {3} }

上記の式は、成分が正規化された基準で計算される場合、直交座標では有効なままです。

共変または反変の基底を持つ直交座標で外積を作成するには、基底ベクトルを単純に正規化する必要があります。次に例を示します。

x×y = ∑ixiei×∑jyjej = ∑ixihie ^ i×∑jyjhje ^ j {\ displaystyle \ mathbf {x} \ times \ mathbf {y} = \ sum _ {i} x ^ {i} \ mathbf {e } _ {i} \ times \ sum _ {j} y ^ {j} \ mathbf {e} _ {j} = \ sum _ {i} x ^ {i} h_ {i} {\ hat {\ mathbf { e}}} _ {i} \ times \ sum _ {j} y ^ {j} h_ {j} {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {j}}

書かれて展開された

x×y =（x2y3−x3y2）h2h3h1e1 +（x3y1−x1y3）h1h3h2e2 +（x1y2−x2y1）h1h2h3e3 {\ displaystyle \ mathbf {x} \ times \ mathbf {y} =（x ^ {2} y ^ {3}- x ^ {3} y ^ {2}）{\ frac {h_ {2} h_ {3}} {h_ {1}}} \ mathbf {e} _ {1} +（x ^ {3} y ^ { 1} -x ^ {1} y ^ {3}）{\ frac {h_ {1} h_ {3}} {h_ {2}}} \ mathbf {e} _ {2} +（x ^ {1} y ^ {2} -x ^ {2} y ^ {1}）{\ frac {h_ {1} h_ {2}} {h_ {3}}} \ mathbf {e} _ {3}}

非直交座標および高次元への一般化を単純化する外積の簡潔な表記は、スケール係数がすべて1に等しくない場合、ゼロと1以外のコンポーネントを持つLevi-Civitaテンソルで可能です。

ベクトル計算

分化

ある点からの微小な変位を見ると、明らかに

dr = ∑i∂r∂qidqi = ∑ieidqi {\ displaystyle d \ mathbf {r} = \ sum _ {i} {\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial q ^ {i}}} \ 、dq ^ {i} = \ sum _ {i} \ mathbf {e} _ {i} \、dq ^ {i}}

定義により、関数の勾配は満たす必要があります（ ƒがテンソルの場合、この定義は真のままです）

df =∇f⋅dr⇒df= ∇f⋅∑ieidqi {\ displaystyle df = \ nabla f \ cdot d \ mathbf {r} \ quad \ Rightarrow \ quad df = \ nabla f \ cdot \ sum _ {i} \ mathbf {e} _ {i} \、dq ^ {i}}

したがって、del演算子は次のようになります。

∇= ∑iei∂∂qi {\ displaystyle \ nabla = \ sum _ {i} \ mathbf {e} ^ {i} {\ frac {\ partial} {\ partial q ^ {i}}}}

そして、これは、一般的な曲線座標ではたまたま真実です。勾配やラプラシアンなどの量は、この演算子の適切な適用をたどります。

基底ベクトル式

D rと正規化基底ベクトルE Iから、次のように構成することができます。

差動要素	ベクトル	スカラー
行要素	曲線qiを調整する正接ベクトル： dℓ= hidqie ^ i =∂r∂qidqi{\ displaystyle d {\ boldsymbol {\ ell}} = h_ {i} dq ^ {i} {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {i} = {\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial q ^ {i}}} dq ^ {i}}	無限の長さ dℓ=dr⋅dr=（h1dq1）2+（h2dq2）2+（h3dq3）2 {\ displaystyle d \ ell = {\ sqrt {d \ mathbf {r} \ cdot d \ mathbf {r}}} = {\ sqrt {（h_ {1} \、dq ^ {1}）^ {2} +（h_ {2} \、dq ^ {2}）^ {2} +（h_ {3} \、dq ^ {3} ）^ {2}}}}
表面要素	座標面の法線qk =定数： dS =（hidqie ^ i）×（hjdqje ^ j）= dqidqj（∂r∂qi×∂r∂qj）= hihjdqidqje ^ k {\ displaystyle {\ begin {aligned} d \ mathbf {S}＆=（h_ { i} dq ^ {i} {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {i}）\ times（h_ {j} dq ^ {j} {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {j} ）\\＆= dq ^ {i} dq ^ {j} \ left（{\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial q ^ {i}}} \ times {\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial q ^ {j}}} \ right）\\＆= h_ {i} h_ {j} dq ^ {i} dq ^ {j} {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {k} \ end {aligned}}}	無限小面 dSk = hihjdqidqj {\ displaystyle dS_ {k} = h_ {i} h_ {j} \、dq ^ {i} \、dq ^ {j}}
ボリューム要素	なし	無限小のボリューム dV = |（h1dq1e ^ 1）⋅（h2dq2e ^ 2）×（h3dq3e ^ 3）| = | e ^1⋅e^ 2×e ^ 3 | h1h2h3dq1dq2dq3 = Jdq1dq2dq3 = h1h2h3dq1dq2dq3 \ = |（h_ {1} \、dq ^ {1} {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {1}）\ cdot（h_ {2} \、dq ^ {2} {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {2}）\ times（h_ {3} \、dq ^ {3} {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {3}）| \\＆= | {\ hat { \ mathbf {e}}} {1} \ cdot {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {2} \ times {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {3} | h_ {1} h_ {2} h_ {3} \、dq ^ {1} \、dq ^ {2} \、dq ^ {3} \\＆= J \、dq ^ {1} \、dq ^ {2} \、 dq ^ {3} \\＆= h_ {1} h_ {2} h_ {3} \、dq ^ {1} \、dq ^ {2} \、dq ^ {3} \ end {aligned}}}

どこ

J = |∂r∂q1⋅（∂r∂q2×∂r∂q3）| = |∂（x、y、z）∂（q1、q2、q3）| = h1h2h3 {\ displaystyle J = \ left | { \ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial q ^ {1}}} \ cdot \ left（{\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial q ^ {2}}} \ times {\ frac {\ partial \ mathbf {r}} {\ partial q ^ {3}}} \ right）\ right | = \ left | {\ frac {\ partial（x、y、z）} {\ partial（ q ^ {1}、q ^ {2}、q ^ {3}）}} \ right | = h_ {1} h_ {2} h_ {3}}

は、ヤコビアンの行列式です。これは、直交座標での微小立方体d x d y d zから微小曲線体積への体積変形の幾何学的解釈を持ちます。

統合

上記の線要素を使用すると、ベクトルFのパスP {\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {P}}}に沿った線積分は次のようになります。

∫PF⋅dr= ∫P∑iFiei⋅∑jejdqj = ∑i∫PFidqi {\ displaystyle \ int _ {\ mathcal {P}} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {r} = \ int _ {\ mathcal {P}} \ sum _ {i} F_ {i} \ mathbf {e} ^ {i} \ cdot \ sum _ {j} \ mathbf {e} _ {j} \、dq ^ {j} = \ sum _ {i} \ int _ {\ mathcal {P}} F_ {i} \、dq ^ {i}}

1つの座標qk定数を保持することで記述される表面の面積の無限小要素は次のとおりです。

dA = ∏i≠kdsi = ∏i≠khidqi {\ displaystyle dA = \ prod _ {i \ neq k} ds_ {i} = \ prod _ {i \ neq k} h_ {i} \、dq ^ {i} }

同様に、ボリューム要素は次のとおりです。

dV = ∏idsi = ∏ihidqi {\ displaystyle dV = \ prod _ {i} ds_ {i} = \ prod _ {i} h_ {i} \、dq ^ {i}}

大きな記号Π（大文字のPi）は、大きなΣが合計を示すのと同じ方法で製品を示します。すべてのスケール係数の積がヤコビ行列式であることに注意してください。

例として、 q 1 = 定数表面S {\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {S}}}上のベクトル関数Fの表面積分は次のとおりです。

∫SF⋅dA=∫SF⋅n^ dA =∫SF⋅e^ 1 dA =∫SF1h2h3h1dq2dq3{\ displaystyle \ int _ {\ mathcal {S}} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {A} = \ int _ {\ mathcal {S}} \ mathbf {F} \ cdot {\ hat {\ mathbf {n}}} \ dA = \ int _ {\ mathcal {S}} \ mathbf {F} \ cdot {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {1} \ dA = \ int _ {\ mathcal {S}} F ^ {1} {\ frac {h_ {2} h_ {3}} {h_ {1}}} \、dq ^ {2} \、dq ^ {3}}

F 1 / h 1は表面の法線Fの成分であることに注意してください。

3次元の微分演算子

これらの操作はアプリケーションでは一般的であるため、このセクションのすべてのベクトルコンポーネントは、正規化された基底に関して表示されます。Fi=F⋅e^ i {\ displaystyle F_ {i} = \ mathbf {F} \ cdot {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {i}}。

オペレーター	表現
スカラー場の勾配	∇ϕ = e ^ 1h1∂ϕ∂q1 + e ^ 2h2∂ϕ∂q2 + e ^ 3h3∂ϕ∂q3 {\ displaystyle \ nabla \ phi = {\ frac {{\ hat {\ mathbf {e}}} _ {1}} {h_ {1}}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial q ^ {1}}} + {\ frac {{\ hat {\ mathbf {e}}} _ {2} } {h_ {2}}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial q ^ {2}}} + {\ frac {{\ hat {\ mathbf {e}}} _ {3}} {h_ {3}}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial q ^ {3}}}}
ベクトル場の発散	∇⋅F= 1h1h2h3 {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F} = {\ frac {1} {h_ {1} h_ {2} h_ {3}}} \ left}
ベクトル場のカール	∇×F = e ^ 1h2h3 + e ^ 2h3h1 + e ^ 3h1h2 = 1h1h2h3 | h1e ^ 1h2e ^ 2h3e ^3∂∂q1∂∂q2∂∂q3h1F1h2F2h3F3| {\ displaystyle {\ begin {aligned} \ nabla \ times \ mathbf {F}＆= {\ frac {{\ hat {\ mathbf {e}}} _ {1}} {h_ {2} h_ {3}}} \ left + {\ frac {{\ hat {\ mathbf {e }}} _ {2}} {h_ {3} h_ {1}}} \ left \\＆+ {\ frac {{\ hat {\ mathbf {e}}} _ {3}} {h_ {1} h_ {2}}} \ left = {\ frac {1} {h_ {1} h_ {2} h_ {3}}} {\ begin {vmatrix} h_ {1} {\ hat {\ mathbf {e}} } _ {1}＆h_ {2} {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {2}＆h_ {3} {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {3} \\ {\ dfrac {\部分的な} {\ partial q ^ {1}}}＆{\ dfrac {\ partial} {\ partial q ^ {2}}}＆{\ dfrac {\ partial} {\ partial q ^ {3}}} \\ h_ {1} F_ {1}＆h_ {2} F_ {2}＆h_ {3} F_ {3} \ end {vmatrix}} \ end {aligned}}}
スカラー場のラプラシアン	∇2ϕ = 1h1h2h3 {\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi = {\ frac {1} {h_ {1} h_ {2} h_ {3}}} \ left}

上記の式は、H = h1h2h3 {\ displaystyle H = h_ {1} h_ {2} h_ {3}}を定義し、繰り返しインデックスの合計を想定して、Levi-Civitaシンボルを使用してよりコンパクトな形式で記述できます。

オペレーター	表現
スカラー場の勾配	（∇ϕ）k = e ^ khk∂ϕ∂qk {\ displaystyle（\ nabla \ phi）_ {k} = {\ frac {{\ hat {\ mathbf {e}}} _ {k}} {h_ { k}}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial q ^ {k}}}}
ベクトル場の発散	∇⋅F=1H∂∂qk（HhkFk）{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F} = {\ frac {1} {H}} {\ frac {\ partial} {\ partial q ^ {k}} } \ left（{\ frac {H} {h_ {k}}} F_ {k} \ right）}
ベクターフィールドのカール（3Dのみ）	∇×F = hke ^ kHϵijk∂∂qi（hjFj）{\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {F} = {\ frac {h_ {k} {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {k}} {H}} \ epsilon _ {ijk} {\ frac {\ partial} {\ partial q ^ {i}}} \ left（h_ {j} F_ {j} \ right）}
スカラー場のラプラシアン	∇2ϕ =1H∂∂qk（Hhk2∂ϕ∂qk）{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi = {\ frac {1} {H}} {\ frac {\ partial} {\ partial q ^ {k }}} \ left（{\ frac {H} {h_ {k} ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial q ^ {k}}} \ right）}

直交座標表

通常のデカルト座標の他に、他のいくつかの座標を以下に示します。間隔表記は、座標列のコンパクト化のために使用されます。

曲線線形座標（ q 1、 q 2、 q 3）	デカルトからの変換（ x 、 y 、 z ）	スケール係数
球面極座標 （r、θ、ϕ）∈0、∞）××0,2π）{\ displaystyle（r、\ theta、\ phi）\ in 0、\ infty）\ times \ times 0,2 \ pi）}	x = rsin⁡θcos⁡ϕy = rsin⁡θsin⁡ϕz =rcos⁡θ{\ displaystyle {\ begin {aligned} x＆= r \ sin \ theta \ cos \ phi \\ y＆= r \ sin \ theta \ sin \ phi \\ z＆= r \ cos \ theta \ end {aligned}}}	h1 = 1h2 = rh3 =rsin⁡θ{\ displaystyle {\ begin {aligned} h_ {1}＆= 1 \\ h_ {2}＆= r \\ h_ {3}＆= r \ sin \ theta \ end {整列}}}
円筒極座標 （r、ϕ、z）∈0、∞）×0,2π）×（−∞、∞）{\ displaystyle（r、\ phi、z）\ in 0、\ infty）\ times 0,2 \ pi） \ times（-\ infty、\ infty）}	x = rcos⁡ϕy = rsin⁡ϕz = z {\ displaystyle {\ begin {aligned} x＆= r \ cos \ phi \\ y＆= r \ sin \ phi \\ z＆= z \ end {aligned}}}	h1 = h3 = 1h2 = r {\ displaystyle {\ begin {aligned} h_ {1}＆= h_ {3} = 1 \\ h_ {2}＆= r \ end {aligned}}}
放物線の円筒座標 （u、v、z）∈（−∞、∞）×0、∞）×（−∞、∞）{\ displaystyle（u、v、z）\ in（-\ infty、\ infty）\ times 0、 \ infty）\ times（-\ infty、\ infty）}	x = 12（u2−v2）y = uvz = z {\ displaystyle {\ begin {aligned} x＆= {\ frac {1} {2}}（u ^ {2} -v ^ {2}）\\ y＆ = uv \\ z＆= z \ end {aligned}}}	h1 = h2 = u2 + v2h3 = 1 {\ displaystyle {\ begin {aligned} h_ {1}＆= h_ {2} = {\ sqrt {u ^ {2} + v ^ {2}}} \\ h_ { 3}＆= 1 \ end {aligned}}}
放物線座標 （u、v、ϕ）∈0、∞）×0、∞）×0,2π）{\ displaystyle（u、v、\ phi）\ in 0、\ infty）\ times 0、\ infty）\ times 0 、2 \ pi）}	x = uvcos⁡ϕy = uvsin⁡ϕz = 12（u2-v2）{\ displaystyle {\ begin {aligned} x＆= uv \ cos \ phi \\ y＆= uv \ sin \ phi \\ z＆= {\ frac {1 } {2}}（u ^ {2} -v ^ {2}）\ end {aligned}}}	h1 = h2 = u2 + v2h3 = uv {\ displaystyle {\ begin {aligned} h_ {1}＆= h_ {2} = {\ sqrt {u ^ {2} + v ^ {2}}} \\ h_ { 3}＆= uv \ end {aligned}}}
放物面座標 （λ、μ、ν）λb2 μa2 ν{\ displaystyle {\ begin {aligned}＆（\ lambda、\ mu、\ nu）\\＆\ lambda b ^ {2} \ mu a ^ {2} \ nu \ end {aligned}}}	x2qi−a2 + y2qi−b2 = 2z + qi {\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {q_ {i} -a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {q_ {i} -b ^ {2}}} = 2z + q_ {i}} ここで、（q1、q2、q3）=（λ、μ、ν）{\ displaystyle（q_ {1}、q_ {2}、q_ {3}）=（\ lambda、\ mu、\ nu）}	hi = 12（qj−qi）（qk−qi）（a2-qi）（b2-qi）{\ displaystyle h_ {i} = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {（q_ {j} -q_ {i}）（q_ {k} -q_ {i}）} {（a ^ {2} -q_ {i}）（b ^ {2} -q_ {i}）}}}}
楕円座標 （λ、μ、ν）λc2 b2 a2、c2 μb2 a2、c2 b2 νa2、{\ displaystyle {\ begin {aligned}＆（\ lambda、\ mu、\ nu ）\\＆\ lambda c ^ {2} b ^ {2} a ^ {2}、\\＆c ^ {2} \ mu b ^ {2} a ^ {2}、\\ ＆c ^ {2} b ^ {2} \ nu a ^ {2}、\ end {aligned}}}	x2a2-qi + y2b2-qi + z2c2-qi = 1 {\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2} -q_ {i}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2} -q_ {i}}} + {\ frac {z ^ {2}} {c ^ {2} -q_ {i}}} = 1} ここで、（q1、q2、q3）=（λ、μ、ν）{\ displaystyle（q_ {1}、q_ {2}、q_ {3}）=（\ lambda、\ mu、\ nu）}	hi = 12（qj−qi）（qk−qi）（a2-qi）（b2-qi）（c2-qi）{\ displaystyle h_ {i} = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt { \ frac {（q_ {j} -q_ {i}）（q_ {k} -q_ {i}）} {（a ^ {2} -q_ {i}）（b ^ {2} -q_ {i} ）（c ^ {2} -q_ {i}）}}}}
楕円円筒座標 （u、v、z）∈0、∞）×0,2π）×（−∞、∞）{\ displaystyle（u、v、z）\ in 0、\ infty）\ times 0,2 \ pi）\回（-\ infty、\ infty）}	x =acosh⁡ucos⁡vy=asinh⁡usin⁡vz= z {\ displaystyle {\ begin {aligned} x＆= a \ cosh u \ cos v \\ y＆= a \ sinh u \ sin v \\ z＆= z \ end {aligned}}}	h1 = h2 =asinh2⁡u+sin2⁡vh3= 1 {\ displaystyle {\ begin {aligned} h_ {1}＆= h_ {2} = a {\ sqrt {\ sinh ^ {2} u + \ sin ^ {2 } v}} \\ h_ {3}＆= 1 \ end {aligned}}}
回転楕円体座標 （ξ、η、ϕ）∈0、∞）××0,2π）{\ displaystyle（\ xi、\ eta、\ phi）\ in 0、\ infty）\ times \ times 0,2 \ pi）}	x = asinh⁡ξsin⁡ηcos⁡ϕy = asinh⁡ξsin⁡ηsin⁡ϕz =acosh⁡ξcos⁡η{\ displaystyle {\ begin {aligned} x＆= a \ sinh \ xi \ sin \ eta \ cos \ phi \\ y＆ = a \ sinh \ xi \ sin \ eta \ sin \ phi \\ z＆= a \ cosh \ xi \ cos \ eta \ end {aligned}}}	h1 = h2 =asinh2⁡ξ+sin2⁡ηh3=asinh⁡ξsin⁡η{\ displaystyle {\ begin {aligned} h_ {1}＆= h_ {2} = a {\ sqrt {\ sinh ^ {2} \ xi + \ sin ^ {2} \ eta}} \\ h_ {3}＆= a \ sinh \ xi \ sin \ eta \ end {aligned}}}
回転楕円体座標 （ξ、η、ϕ）∈0、∞）××0,2π）{\ displaystyle（\ xi、\ eta、\ phi）\ in 0、\ infty）\ times \ left \ times 0,2 \ pi） }	x = acosh⁡ξcos⁡ηcos⁡ϕy = acosh⁡ξcos⁡ηsin⁡ϕz =asinh⁡ξsin⁡η{\ displaystyle {\ begin {aligned} x＆= a \ cosh \ xi \ cos \ eta \ cos \ phi \\ y＆ = a \ cosh \ xi \ cos \ eta \ sin \ phi \\ z＆= a \ sinh \ xi \ sin \ eta \ end {aligned}}}	h1 = h2 =asinh2⁡ξ+sin2⁡ηh3=acosh⁡ξcos⁡η{\ displaystyle {\ begin {aligned} h_ {1}＆= h_ {2} = a {\ sqrt {\ sinh ^ {2} \ xi + \ sin ^ {2} \ eta}} \\ h_ {3}＆= a \ cosh \ xi \ cos \ eta \ end {aligned}}}
双極円筒座標 （u、v、z）∈0,2π）×（−∞、∞）×（−∞、∞）{\ displaystyle（u、v、z）\ in×0、∞）×\ times 0、\ infty ）\ times×0、∞）×\ times 0、\ infty）\ times 0,2 \ pi）}	x = asin⁡ucos⁡ϕcosh⁡v−cos⁡uy = asin⁡usin⁡ϕcosh⁡v−cos⁡uz = asinh⁡vcosh⁡v−cos⁡u {\ displaystyle {\ begin {aligned} x＆= {\ frac { a \ sin u \ cos \ phi} {\ cosh v- \ cos u}} \\ y＆= {\ frac {a \ sin u \ sin \ phi} {\ cosh v- \ cos u}} \\ z＆= {\ frac {a \ sinh v} {\ cosh v- \ cos u}} \ end {aligned}}}	h1 = h2 =acosh⁡v-cos⁡uh3=asin⁡ucosh⁡v-cos⁡u{\ displaystyle {\ begin {aligned} h_ {1}＆= h_ {2} = {\ frac {a} {\ cosh v- \ cos u}} \\ h_ {3}＆= {\ frac {a \ sin u} {\ cosh v- \ cos u}} \ end {aligned}}}
円錐座標 （λ、μ、ν）ν2b2 μ2a2λ∈0、∞）{\ displaystyle {\ begin {aligned}＆（\ lambda、\ mu、\ nu）\\＆\ nu ^ {2} b ^ {2} \ mu ^ {2} a ^ {2} \\＆\ lambda \ in 0、\ infty）\ end {aligned}}}	x =λμνaby=λa（μ2-a2）（ν2-a2）a2-b2z =λb（μ2-b2）（ν2-b2）a2-b2 {\ displaystyle {\ begin {aligned} x＆= {\ frac {\ lambda \ mu \ nu} {ab}} \\ y＆= {\ frac {\ lambda} {a}} {\ sqrt {\ frac {（\ mu ^ {2} -a ^ {2}）（\ nu ^ { 2} -a ^ {2}）} {a ^ {2} -b ^ {2}}}} \\ z＆= {\ frac {\ lambda} {b}} {\ sqrt {\ frac {（\ mu ^ {2} -b ^ {2}）（\ nu ^ {2} -b ^ {2}）} {a ^ {2} -b ^ {2}}}} \ end {aligned}}}	h1 = 1h22 =λ2（μ2-v2）（μ2-a2）（b2-μ2）h32 =λ2（μ2-ν2）（ν2-a2）（ν2-b2）{\ displaystyle {\ begin {aligned} h_ {1 }＆= 1 \\ h_ {2} ^ {2}＆= {\ frac {\ lambda ^ {2}（\ mu ^ {2}-\ nu ^ {2}）} {（\ mu ^ {2} -a ^ {2}）（b ^ {2}-\ mu ^ {2}）}} \\ h_ {3} ^ {2}＆= {\ frac {\ lambda ^ {2}（\ mu ^ { 2}-\ nu ^ {2}）} {（\ nu ^ {2} -a ^ {2}）（\ nu ^ {2} -b ^ {2}）}} \ end {aligned}}}