9点中心

ジオメトリでは、 9点の中心は三角形の中心であり、三角形の配置やスケールに依存しない方法で特定の三角形から定義される点です。三角形の9つの重要なポイントを通過する円である9点円の中心であるため、いわゆる：3つのエッジの中点、3つの標高の足、および正中線の中間点そして、3つの頂点のそれぞれ。 9ポイントのセンターは、クラークキンバリングのトライアングルセンターの百科事典でポイントX（5）としてリストされています。

物性

9点の中心Nは、その三角形の直交中心Hと外心Oの中点にある三角形のオイラー線上にあります。重心Gも同じ線上にあり、直交中心から外心への道の2/3です。

NO = NH = 3NG。{\ displaystyle NO = NH = 3NG。}

したがって、これらの4つの三角形の中心のいずれか2つがわかっている場合、他の2つの三角形の位置はそれらから決定できます。

アンドリュー・ギナンドは1984年に、現在オイラーの三角形決定問題として知られているものの一部として、これらの中心の位置が未知の三角形に与えられた場合、三角形の中心は直交重心円（セグメントを持つ円直径として重心からオルソセンターまで）。この円の内側で中心になれない唯一の点は9点の中心であり、円の他のすべての内部点は一意の三角形の中心です。

9点の中心から中心までの距離Iは、

IN 12IO、{\ displaystyle IN {\ tfrac {1} {2}} IO、} IN = 12（R-2r）R2、{\ displaystyle IN = {\ tfrac {1} {2}}（R -2r）{\ frac {R} {2}}、}2R⋅IN= OI2、{\ displaystyle 2R \ cdot IN = OI ^ {2}、}

ここで、 Rとrはそれぞれ、円周と半径です。

9点の中心は、指定された三角形の内側の三角形の外心、指定された三角形の直交三角形の外心、およびオイラー三角形の外心です。より一般的には、9点円を定義する9点のうち3点から定義される三角形の外心です。

9点の中心は、三角形の3つの頂点とそのオルソセンターの4つの点の重心にあります。

オルソセントリックシステムによって形成される4つの三角形のオイラー線（それぞれが他の3つのポイントに頂点を持つ三角形のオルソセンターとなる4つのポイントのセット）は、すべての三角形に共通の9ポイントの中心で同時に発生します。：p.111

9点の円を定義する9つの点のうち、頂点とオルソセンターの間の線分の3つの中点は、9点の中心に関する三角形の中点の反射です。したがって、9ポイントの中心は、内側の三角形をオイラーの三角形に、またはその逆にマッピングするポイント反射の中心を形成します。

レスターの定理によれば、9点の中心は、他の3つの点と同じ共通円上にあります。2つのフェルマー点と外心です。

Kosnitaの定理に関連付けられた三角形の中心である三角形のKosnita点は、9点中心の等角共役です。

座標

9点中心のトライリニア座標は

cos⁡（B−C）：cosC（C−A）：cos⁡（A−B）=cos⁡A+2cos⁡Bcos⁡C：cos⁡B+2cos⁡Ccos⁡A：cos⁡C+2cos⁡ Acos⁡B= cos⁡A−2sin⁡Bsin⁡C：cos⁡B−2sin⁡Csin⁡A：cos⁡C−2sin⁡Asin⁡B = bc：ca：ab。{\ displaystyle {\ begin {aligned}＆ \ cos（BC）：\ cos（CA）：\ cos（AB）\\ = {}＆\ cos A + 2 \ cos B \ cos C：\ cos B + 2 \ cos C \ cos A：\ cos C +2 \ cos A \ cos B \\ = {}＆\ cos A-2 \ sin B \ sin C：\ cos B-2 \ sin C \ sin A：\ cos C-2 \ sin A \ sin B \ \ = {}＆bc：ca：ab。\ end {aligned}}}

9点中心の重心座標は次のとおりです。

acos⁡（B−C）：bcos⁡（C−A）：ccos⁡（A−B）= a2（b2 + c2）−（b2−c2）2：b2（c2 + a2）−（c2−a2） 2：c2（a2 + b2）−（a2-b2）2。{\ displaystyle {\ begin {aligned}＆a \ cos（BC）：b \ cos（CA）：c \ cos（AB）\\ = {} ＆a ^ {2}（b ^ {2} + c ^ {2}）-（b ^ {2} -c ^ {2}）^ {2}：b ^ {2}（c ^ {2} + a ^ {2}）-（c ^ {2} -a ^ {2}）^ {2}：c ^ {2}（a ^ {2} + b ^ {2}）-（a ^ {2}- b ^ {2}）^ {2}。\ end {aligned}}}

したがって、頂点の角度のうち2つが互いに90°以上異なる場合にのみ、重心座標の1つは負であるため、9点の中心は三角形の外側にあります。