マトリックス加算

数学では、 行列の追加は、対応するエントリを一緒に追加することにより2つの行列を追加する操作です。ただし、行列、直接和、クロネッカー和の一種の加算と見なすことのできる他の演算もあります。

エントリごとの合計

2つの行列には、追加する行と列の数が同じでなければなりません。 2つの行列AとBの和は、AとBを行うように行と列の同じ数を有する行列であろう。 AとBの和は、A + Bは 、AとBの対応する要素を追加することによって計算される表記しました。

A + B = + = {\ displaystyle {\ begin {aligned} \ mathbf {A} + \ mathbf {B}＆= {\ begin {bmatrix} a_ {11}＆a_ {12}＆\ cdots＆a_ {1n} \ \ a_ {21}＆a_ {22}＆\ cdots＆a_ {2n} \\\ vdots＆\ vdots＆\ ddots＆\ vdots \\ a_ {m1}＆a_ {m2}＆\ cdots＆a_ {mn} \\\ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} b_ {11}＆b_ {12}＆\ cdots＆b_ {1n} \\ b_ {21}＆b_ {22}＆\ cdots＆b_ {2n} \\\ vdots＆\ vdots ＆\ ddots＆\ vdots \\ b_ {m1}＆b_ {m2}＆\ cdots＆b_ {mn} \\\ end {bmatrix}} \\＆= {\ begin {bmatrix} a_ {11} + b_ {11} ＆a_ {12} + b_ {12}＆\ cdots＆a_ {1n} + b_ {1n} \\ a_ {21} + b_ {21}＆a_ {22} + b_ {22}＆\ cdots＆a_ {2n} + b_ {2n} \\\ vdots＆\ vdots＆\ ddots＆\ vdots \\ a_ {m1} + b_ {m1}＆a_ {m2} + b_ {m2}＆\ cdots＆a_ {mn} + b_ {mn} \\ \ end {bmatrix}} \\\ end {aligned}} \、\！}

例えば：

+ == {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1＆3 \\ 1＆0 \\ 1＆2 \ end {bmatrix}} + {\ begin {bmatrix} 0＆0 \\ 7＆5 \\ 2＆1 \ end {bmatrix}} = {\ begin { bmatrix} 1 + 0＆3 + 0 \\ 1 + 7＆0 + 5 \\ 1 + 2＆2 + 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1＆3 \\ 8＆5 \\ 3＆3 \ end {bmatrix}}}

同じ次元である限り、ある行列を別の行列から減算することもできます。 A - Bは、 Aの対応する要素からBの要素を減算することによって計算され、 AおよびBと同じ次元を持ちます。例えば：

− == {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1＆3 \\ 1＆0 \\ 1＆2 \ end {bmatrix}}-{\ begin {bmatrix} 0＆0 \\ 7＆5 \\ 2＆1 \ end {bmatrix}} = {\ begin { bmatrix} 1-0＆3-0 \\ 1-7＆0-5 \\ 1-2＆2-1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1＆3 \\-6＆-5 \\-1＆1 \ end {bmatrix} }}

直接合計

あまり使用されない別の演算は、直接和です（⊕で示されます）。クロネッカー和もtheで示されていることに注意してください。コンテキストは使用法を明確にする必要があります。 Q×サイズPのnおよびBサイズm×の行列Aの任意の対の直接の合計はとして定義されたサイズの行列（M + P）×（N + Q）であります

A⊕B== {\ displaystyle \ mathbf {A} \ oplus \ mathbf {B} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A}＆{\ boldsymbol {0}} \\ {\ boldsymbol {0}}＆ \ mathbf {B} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} a_ {11}＆\ cdots＆a_ {1n}＆0＆\ cdots＆0 \\\ vdots＆\ ddots＆\ vdots＆\ vdots＆\ ddots＆ \ vdots \\ a_ {m1}＆\ cdots＆a_ {mn}＆0＆\ cdots＆0 \\ 0＆\ cdots＆0＆b_ {11}＆\ cdots＆b_ {1q} \\\ vdots＆\ ddots＆\ vdots＆\ vdots＆\ ddots＆\ vdots \\ 0＆\ cdots＆0＆b_ {p1}＆\ cdots＆b_ {pq} \ end {bmatrix}}}

例えば、

⊕= {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1＆3＆2 \\ 2＆3＆1 \ end {bmatrix}} \ oplus {\ begin {bmatrix} 1＆6 \\ 0＆1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1＆3＆2＆0＆0 \\ 2＆3＆1＆0＆0 \\ 0＆0＆0＆1＆6 \\ 0＆0＆0＆0＆1 \ end {bmatrix}}}

行列の直接和は、特殊なタイプのブロック行列です。特に、正方行列の直接和は、ブロック対角行列です。

互いに素なグラフまたはマルチグラフの和集合の隣接行列は、隣接行列の直接和です。行列の2つのベクトル空間の直接和の要素は、2つの行列の直接和として表すことができます。

一般に、 n個の行列の直接和は次のとおりです。

⨁i= 1nAi =diag⁡（A1、A2、A3、…、An）= {\ displaystyle \ bigoplus _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {A} _ {i} = \ operatorname {diag}（ \ mathbf {A} _ {1}、\ mathbf {A} _ {2}、\ mathbf {A} _ {3}、\ ldots、\ mathbf {A} _ {n}）= {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} _ {1}＆{\ boldsymbol {0}}＆\ cdots＆{\ boldsymbol {0}} \\ {\ boldsymbol {0}}＆\ mathbf {A} _ {2}＆\ cdots ＆{\ boldsymbol {0}} \\\ vdots＆\ vdots＆\ ddots＆\ vdots \\ {\ boldsymbol {0}}＆{\ boldsymbol {0}}＆\ cdots＆\ mathbf {A} _ {n } \\\ end {bmatrix}} \、\！}

ここで、ゼロは実際にはゼロのブロックです。すなわち、ゼロ行列。

クロネッカー合計

クロネッカーの合計は直接の合計とは異なりますが、byでも示されます。これは、クロネッカー積⊗と通常の行列加算を使用して定義されます。 Aは n行n列場合、Bは m行mで及びIK {\ displaystyle \ mathbf {I} _ {kは}} K行列Kの単位行列を示し、次いでクロネッカー和はによって定義されます。

A⊕B=A⊗Im+In⊗B。{\ displaystyle \ mathbf {A} \ oplus \ mathbf {B} = \ mathbf {A} \ otimes \ mathbf {I} _ {m} + \ mathbf {I} _ {n} \ otimes \ mathbf {B}。}