有限球対称群のリスト
3次元のポイントグループ
畳み込み対称
Cs、（*）
=
巡回対称
Cnv、（* nn）
=
二面対称
Dnh、（* n22）
=多面体グループ、、（* n32）
四面体対称性
Td、（* 332）
=
八面体対称性
あ、（* 432）
=
二十面体対称性
ああ、（* 532）
=
オーブ。シェーン。 Con。コックス。オード。ファンド。
ドメイン23 3.3 332 TT +
= + 12 m3 43 3 * 2 Th±T 24 43m 33 * 332 Td TO
= 24八面体対称Intl Geo Orb。シェーン。 Con。コックス。オード。ファンド。
ドメイン432 4.3 432 OO +
= 3,3
= 3,3+ 60 532 / m 53 * 532 Ih±I 120
畳み込み対称
Cs、（*）
=
巡回対称
Cnv、（* nn）
=
二面対称
Dnh、（* n22）
=多面体グループ、、（* n32）
四面体対称性
Td、（* 332）
=
八面体対称性
あ、（* 432）
=
二十面体対称性
ああ、（* 532）
=
有限球対称群は、3次元の点群とも呼ばれます。三角形の基本領域を持つ2つの基本対称クラスがあります。2面体、サイクリック、4面体、8面体、および20面体の対称性です。
この記事では、グループをSchoenflies表記、Coxeter表記、orbifold表記、および順序別にリストします。 John Conwayは、1つまたは2つの大文字と整数の添字でラベル付けされたグループの四元数代数構造に基づいて、Schoenflies表記のバリエーションを使用します。グループの順序は、プラスまたはマイナスの記号「±」が中央反転を意味する記号の順序が2倍にならない限り、下付き文字として定義されます。
ヘルマン・モーガン記法（国際記法）も提供されています。合計32個の結晶学グループは、要素順序2、3、4、6のサブセットです。
畳み込み対称
4つのインボリューショングループがあります：対称性なし（C1）、反射対称性（Cs）、2重回転対称性（C2）、および中心点対称性（Ci）。
| 国際 | ジオ 5 + | 1 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 2 | 22 | D1 = C2 | D2 = C2 | + | 2 | |
| 1 | 22 | × | Ci = S2 | CC2 | 2 | ||
| 2 = m | 1 | * | Cs = C1v = C1h | ±C1 = CD2 | 2 |
巡回対称
n = 2以上の4つの無限循環対称ファミリーがあります。 （ nは対称性がない特別な場合として1になる場合があります）
| 国際 | ジオ | オーブ。 | シェーン。 | Con。 | コックス。 | オード。 | ファンド。 ドメイン |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 4 | 42 | 2× | S4 | CC4 | 4 | ||
| 2 / m | 22 | 2 * | C2h = D1d | ±C2 =±D2 | 4 |
| 国際 | ジオ | オーブ。 | シェーン。 | Con。 | コックス。 | オード。 | ファンド。 ドメイン |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 3 4 5 6 n | 2 3 4 5 6 n | 22 33 44 55 66 nn | C2 C3 C4 C5 C6 Cn | C2 C3 C4 C5 C6 Cn | + + + + + + | 2 3 4 5 6 n | |
| 2mm 3m 4mm 5m 6mm nm（nは奇数） nmm（nは偶数） | 2 3 4 5 6 n | * 22 * 33 * 44 * 55 * 66 * nn | C2v C3v C4v C5v C6v Cnv | CD4 CD6 CD8 CD10 CD12 CD2n | 4 6 8 10 12 2n | ||
| 3 8 5 12 - | 62 82 10.2 12.2 2n.2 | 3× 4× 5× 6× n× | S6 S8 S10 S12 S2n | ±C3 CC8 ±C5 CC12 CC2n /±Cn | 6 8 10 12 2n | ||
| 3 / m = 6 4 / m 5 / m = 10 6 / m n / m | 32 42 52 62 n2 | 3 * 4 * 5 * 6 * n * | C3h C4h C5h C6h Cnh | CC6 ±C4 CC10 ±C6 ±Cn / CC2n | 6 8 10 12 2n |
二面対称
n = 2以上の無限の2面対称性ファミリが3つあります（ nは特別な場合として1になる場合があります）。
| 国際 | ジオ | オーブ。 | シェーン。 | Con。 | コックス。 | オード。 | ファンド。 ドメイン |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 222 | 2.2 | 222 | D2 | D4 | + | 4 | |
| 42m | 42 | 2 * 2 | D2d | DD8 | 8 | ||
| うーん | 22 | * 222 | D2h | ±D4 | 8 |
| 国際 | ジオ | オーブ。 | シェーン。 | Con。 | コックス。 | オード。 | ファンド。 ドメイン |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 32 422 52 622 | 3.2 4.2 5.2 6.2 n.2 | 223 224 225 226 22n | D3 D4 D5 D6 Dn | D6 D8 D10 D12 D2n | + + + + + | 6 8 10 12 2n | |
| 3m 82m 5m 12.2m | 62 82 10.2 12.2 n2 | 2 * 3 2 * 4 2 * 5 2 * 6 2 * n | D3d D4d D5d D6d Dnd | ±D6 DD16 ±D10 DD24 DD4n /±D2n | 12 16 20 24 4n | ||
| 6m2 4 / mmm 10m2 6 / mmm | 32 42 52 62 n2 | * 223 * 224 * 225 * 226 * 22n | D3h D4h D5h D6h Dnh | DD12 ±D8 DD20 ±D12 ±D2n / DD4n | 12 16 20 24 4n |
多面体対称性
多面体対称には3つのタイプがあります。四面体対称、八面体対称、および二十面体対称で、これらの対称性を持つ三角形の面の正多面体にちなんで名付けられました。
四面体対称Intl Geoオーブ。シェーン。 Con。コックス。オード。ファンド。
ドメイン23 3.3 332 TT +
= + 12 m3 43 3 * 2 Th±T 24 43m 33 * 332 Td TO
= 24八面体対称Intl Geo Orb。シェーン。 Con。コックス。オード。ファンド。
ドメイン432 4.3 432 OO +
= 3,3
= 3,3+ 60 532 / m 53 * 532 Ih±I 120
