リュービル関数

リウヴィル関数 、λ（n）で示され、ジョゼフ・リウヴィルにちなんで名付けられたが、数論において重要な機能です。

nが正の整数の場合、λ（ n ）は次のように定義されます。

λ（n）=（− 1）Ω（n）、{\ displaystyle \ lambda（n）=（-1）^ {\ Omega（n）}、\、\！}

ここで、Ω（n）は 、多数（OEISにおけるシーケンスA008836）で計数、Nの素因数の数です。 nが平方なしの場合、つまりn = p1p2⋯pk {\ displaystyle n = p_ {1} p_ {2} \ cdots p_ {k}}の場合、pi {\ displaystyle p_ {i}}はすべてのiおよびpi≠pj∀i≠j {\ displaystyle p_ {i} \ neq p_ {j} \ forall i \ neq j}の場合、メビウス関数と異なる素因数で表される関数の次の代替式があります。カウント関数ω（n）{\ displaystyle \ omega（n）}：

λ（n）=μ（n）=μ2（n）（− 1）ω（n）。{\ displaystyle \ lambda（n）= \ mu（n）= \ mu ^ {2}（n）（-1 ）^ {\ omega（n）}。}

Ω（ n ）は完全に加算的であるため、λは完全に乗法的です。つまり、Ω（ ab ）=Ω（ a ）+Ω（ b ）です。数値1には素因数がないため、Ω（1）= 0であり、したがってλ（1）= 1です。Liouville関数は恒等式を満たします。

| d |nλ（d）= {1 nが完全な正方形の場合、0でなければ{\ displaystyle \ sum _ {d | n} \ lambda（d）= {\ begin {cases} 1＆{\ text {if}} n {\ text {は完全な正方形です}} \\\\＆{\ text {otherwise。}} \ end {cases}}}

リウビル関数のディリクレ逆関数はメビウス関数の絶対値、λ−1（n）= |μ（n）| =μ2（n）、{\ displaystyle \ lambda ^ {-1}（n）= | \ mu（n）| = \ mu ^ {2}（n）、}これは、同等に平方自由整数の特性関数です。 λ（n）μ（n）=μ2（n）{\ displaystyle \ lambda（n）\ mu（n）= \ mu ^ {2}（n）}、およびすべての自然数n

λ（n）= ∑d2 |nμ（nd2）。{\ displaystyle \ lambda（n）= \ sum _ {d ^ {2} | n} \ mu \ left（{\ frac {n} {d ^ {2 }}}\右）。}

シリーズ

リウヴィル関数のディリクレ級数は、リーマンのゼータ関数に関連しています。

ζ（2s）ζ（s）= ∑n =1∞λ（n）ns。{\ displaystyle {\ frac {\ zeta（2s）} {\ zeta（s）}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda（n）} {n ^ {s}}}。

リウビル関数のランベルト級数は

∑n =1∞λ（n）qn1−qn = ∑n =1∞qn2= 12（ϑ3（q）−1）、{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac { \ lambda（n）q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} q ^ {n ^ {2}} = {\ frac {1 } {2}} \ left（\ vartheta _ {3}（q）-1 \ right）、}

ここで、ϑ3（q）{\ displaystyle \ vartheta _ {3}（q）}はヤコビシータ関数です。

加重和関数に関する推測

Pólya予想は、1919年にGeorgePólyaによって行われた予想です。

L（n）= ∑k =1nλ（k）{\ displaystyle L（n）= \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ lambda（k）}（OEISのシーケンスA002819）、

推測では、 n > 1の場合、L（n）≤0{\ displaystyle L（n）\ leq 0}と示されています。これは偽であることが判明しました。最小反例1980年田中稔によって発見、nは= 906150257それ以来、そのL（N）が示されている>0.0618672√nは無限に多くの正の整数のN、それはまた、L同じ方法によって示すことができるが（N）-1.3892783√nは無限に多くの正の整数のためのn。

ε> 0 {\ displaystyle \ varepsilon> 0}の場合、リーマン仮説を仮定すると、合計関数L（x）≡L0（x）{\ displaystyle L（x）\ equiv L_ {0}（x） }は

L（x）= O（xexp⁡（C⋅log1/2⁡（x）（log⁡log⁡x）5/2 +ε））、{\ displaystyle L（x）= O \ left（{\ sqrt { x}} \ exp \ left（C \ cdot \ log ^ {1/2}（x）\ left（\ log \ log x \ right）^ {5/2 + \ varepsilon} \ right）\ right）、}

ここで、C> 0 {\ displaystyle C> 0}は絶対制限定数です。

関連する合計を定義する

T（n）= ∑k =1nλ（k）k。{\ displaystyle T（n）= \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {\ lambda（k）} {k}}。}

T十分大きなn個の ≥nの0（N）≥0（この推測は随時もののパル・トゥランに誤っ-起因する）かどうかをいくつかの時間のために開いていました。これはその後、Haselgrove（1958）によって反証され、 T （ n ）が負の値を無限に頻繁にとることを示しました。この肯定的な予想の確認は、PálTuránによって示されたように、リーマン仮説の証拠につながったでしょう。

汎化

より一般的には、任意のα∈R{\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R}}に対して定義されたLioville関数に対する重み付き総和関数を、正の整数xに対して次のように考えることができます。 （x）：= L0（x）{\ displaystyle L（x）：= L_ {0}（x）}およびT（x）= L1（x）{\ displaystyle T（x）= L_ {1}（x ）}

Lα（x）：= ∑n≤xλ（n）nα。{\ displaystyle L _ {\ alpha}（x）：= \ sum _ {n \ leq x} {\ frac {\ lambda（n）} {n ^ {\ alpha}}}。}

これらのα-1{\ displaystyle \ alpha ^ {-1}}重み付き加算関数は、Mertens関数、またはメビウス関数の重み付き加算関数に関連しています。実際、いわゆる非重み付き、または通常の関数L（x）{\ displaystyle L（x）}は、合計に正確に対応しています。

L（x）= ∑d2≤xM（xd2）= ∑d2≤x∑n≤xd2μ（n）。{\ displaystyle L（x）= \ sum _ {d ^ {2} \ leq x} M \ left（ {\ frac {x} {d ^ {2}}} \ right）= \ sum _ {d ^ {2} \ leq x} \ sum _ {n \ leq {\ frac {x} {d ^ {2} }}} \ mu（n）。}

さらに、これらの関数で述べたように、同様の境界漸近関係を満たします。たとえば、0≤α≤12{\ displaystyle 0 \ leq \ alpha \ leq {\ frac {1} {2}}}の場合は、絶対定数Cα> 0 {\ displaystyle C _ {\ alpha}が存在することがわかります。 > 0}など

Lα（x）= O（x1−αexp⁡（−Cα（log⁡x）3/5（log⁡log⁡x）1/5））。{\ displaystyle L _ {\ alpha}（x）= O \ left （x ^ {1- \ alpha} \ exp \ left（-C _ {\ alpha} {\ frac {（\ log x）^ {3/5}} {（\ log \ log x）^ {1/5} }}\そうそう）。}

Perronの式を適用することにより、または同等のキー（逆）Mellin変換により、

ζ（2α+ 2s）ζ（α+ s）=s⋅∫1∞Lα（x）xs + 1dx、{\ displaystyle {\ frac {\ zeta（2 \ alpha + 2s）} {\ zeta（\ alpha + s）}} = s \ cdot \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {L _ {\ alpha}（x）} {x ^ {s + 1}}} dx、}

次に、逆変換によって反転して、x> 1 {\ displaystyle x> 1}、T≥1{\ displaystyle T \ geq 1}、および0≤α12 {\ displaystyle 0 \ leq \ alpha {\ frac {1} {2}}}

Lα（x）= 12πı∫σ0−ıTσ0 +ıTζ（2α+ 2s）ζ（α+ s）⋅xssds+Eα（x）+Rα（x、T）、{\ displaystyle L _ {\ alpha}（x）= {\ frac {1} {2 \ pi \ imath}} \ int _ {\ sigma _ {0}-\ imath T} ^ {\ sigma _ {0} + \ imath T} {\ frac {\ zeta（2 \ alpha + 2s）} {\ zeta（\ alpha + s）}} \ cdot {\ frac {x ^ {s}} {s}} ds + E _ {\ alpha}（x）+ R _ {\ alpha}（ x、T）、}

ここで、σ0：= 1−α + 1 /log⁡（x）{\ displaystyle \ sigma _ {0}：= 1- \ alpha + 1 / \ log（x）}を取ることができ、残りの項は次のように定義されますそのEα（x）= O（x−α）{\ displaystyle E _ {\ alpha}（x）= O（x ^ {-\ alpha}）}およびRα（x、T）→0 {\ displaystyle R _ {\アルファ}（x、T）\ rightarrow 0} T→∞{\ displaystyle T \ rightarrow \ infty}として。

特に、リーマン仮説（RH）が真であり、ρ= 12 +ıγ{\ displaystyle \ rho = {\ frac {1} {2}} + \で表されるすべての非自明なゼロを仮定するとリーマンゼータ関数のimath \ gamma}は単純であり、任意の0≤α12 {\ displaystyle 0 \ leq \ alpha {\ frac {1} {2}}}およびx≥1{\ displaystyle x \ geq 1}v≤Tv≤v+ 1 {\ displaystyle v \ leqを満たす{Tv}v≥1{\ displaystyle \ {T_ {v} \} _ {v \ geq 1}}の無限シーケンスが存在しますT_ {v} \ leq v + 1}すべてのv

Lα（x）= x1 / 2−α（1−2α）ζ（1/2）+ ∑ |γ| Tvζ（2ρ）ζ ′（ρ）⋅xρ−α（ρ−α）+Eα（x） +Rα（x、Tv）+Iα（x）、{\ displaystyle L _ {\ alpha}（x）= {\ frac {x ^ {1 / 2- \ alpha}} {（1-2 \ alpha）\ zeta （1/2）}} + \ sum _ {| \ gamma | T_ {v}} {\ frac {\ zeta（2 \ rho）} {\ zeta ^ {\ prime}（\ rho）}} \ cdot {\ frac {x ^ {\ rho-\ alpha}} {（\ rho-\ alpha）}} + E _ {\ alpha}（x）+ R _ {\ alpha}（x、T_ {v}）+ I_ { \ alpha}（x）、}

ここで、ますます小さくなる0 ε12−α {\ displaystyle 0 \ varepsilon {\ frac {1} {2}}-\ alpha}

Iα（x）：=12πı⋅xα∫ε+ α−ı∞ε +α+ı∞ζ（2s）ζ（s）⋅xs（s−α）ds、{\ displaystyle I _ {\ alpha}（x） ：= {\ frac {1} {2 \ pi \ imath \ cdot x ^ {\ alpha}}} \ int _ {\ varepsilon + \ alpha-\ imath \ infty} ^ {\ varepsilon + \ alpha + \ imath \ infty} {\ frac {\ zeta（2s）} {\ zeta（s）}} \ cdot {\ frac {x ^ {s}} {（s- \ alpha）}} ds、}

そして、残りの項

Rα（x、T）≪x−α + x1−αlog⁡（x）T + x1−αT1−εlog⁡（x）、{\ displaystyle R _ {\ alpha}（x、T）\ ll x ^ {-\ alpha} + {\ frac {x ^ {1- \ alpha} \ log（x）} {T}} + {\ frac {x ^ {1- \ alpha}} {T ^ {1- \ varepsilon} \ log （バツ）}}、}

もちろん、T→∞{\ displaystyle T \ rightarrow \ infty}として0になる傾向があります。これらの正確な分析式展開は、重み付きメルテンス関数の場合に対応するプロパティと同様のプロパティを共有します。さらに、ζ（1/2）0 {\ displaystyle \ zeta（1/2）0}なので、Lα（x）{\ displaystyle L _ {\ alpha}（x）}からMへの別の類似性があります。 （x）{\ displaystyle M（x）}は、前の式の主要な先行項が、正の自然数xに対するこれらの関数の値の負のバイアスを予測する限りです。