線形化

数学では、 線形化は与えられた点で関数の線形近似を見つけることです。関数の線形近似は、関心のあるポイントの周りの1次のテイラー展開です。動的システムの研究では、線形化は、非線形微分方程式または離散動的システムのシステムの平衡点の局所安定性を評価する方法です。この方法は、工学、物理学、経済学、生態学などの分野で使用されます。

関数の線形化

関数の線形化は線です。通常は、計算の目的で使用できる線です。線形化は、関数の値と勾配に基づいて、任意のx = a {\ displaystyle x = a}で関数y = f（x）{\ displaystyle y = f（x）}の出力を近似するための効果的な方法です。 x = b {\ displaystyle x = b}、f（x）{\ displaystyle f（x）}が{\ displaystyle}（または{\ displaystyle}）で微分可能であり、a {\ displaystyle a}がb {\ displaystyle b}。つまり、線形化は、x = a {\ displaystyle x = a}の近くの関数の出力を近似します。

たとえば、4 = 2 {\ displaystyle {\ sqrt {4}} = 2}。しかし、4.001 = 4 + .001 {\ displaystyle {\ sqrt {4.001}} = {\ sqrt {4 + .001}}}の適切な近似値は何でしょうか？

任意の関数y = f（x）{\ displaystyle y = f（x）}について、既知の微分可能点に近い場合、f（x）{\ displaystyle f（x）}を近似できます。最も基本的な要件は、La（a）= f（a）{\ displaystyle L_ {a}（a）= f（a）}です。ここで、La（x）{\ displaystyle L_ {a}（x）}はx = a {\ displaystyle x = a}でのf（x）{\ displaystyle f（x）}の線形化。方程式の点勾配形式は、点（H、K）{\ displaystyle（H、K）}および勾配M {\ displaystyle M}が与えられると、直線の方程式を形成します。この方程式の一般的な形式は、y-K = M（x-H）{\ displaystyle yK = M（xH）}です。

ポイント（a、f（a））{\ displaystyle（a、f（a））}を使用すると、La（x）{\ displaystyle L_ {a}（x）}はy = f（a）+ M（x −a）{\ displaystyle y = f（a）+ M（xa）}。微分可能な関数は局所的に線形であるため、代替する最適な勾配は、x = a {\ displaystyle x = a}でf（x）{\ displaystyle f（x）}に接する直線の勾配になります。

ローカル線形性の概念は、x = a {\ displaystyle x = a}に任意に近いポイントに最も適用されますが、これらの比較的近いものは線形近似に対して比較的うまく機能します。勾配M {\ displaystyle M}は、最も正確には、x = a {\ displaystyle x = a}での接線の勾配でなければなりません。

視覚的に、添付の図は、x {\ displaystyle x}でのf（x）{\ displaystyle f（x）}の接線を示しています。 f（x + h）{\ displaystyle f（x + h）}では、h {\ displaystyle h}は小さな正または負の値で、f（x + h）{\ displaystyle f（x + h）}はポイント（x + h、L（x + h））{\ displaystyle（x + h、L（x + h））}の接線の値に非常に近い。

x = a {\ displaystyle x = a}での関数の線形化の最終方程式は次のとおりです。

y =（f（a）+ f ′（a）（x−a））{\ displaystyle y =（f（a）+ f'（a）（xa））}

x = a {\ displaystyle x = a}の場合、f（a）= f（x）{\ displaystyle f（a）= f（x）}。 f（x）{\ displaystyle f（x）}の導関数はf ′（x）{\ displaystyle f'（x）}であり、a {でのf（x）{\ displaystyle f（x）}の傾き\ displaystyle a}はf ′（a）{\ displaystyle f'（a）}です。

例

4.001 {\ displaystyle {\ sqrt {4.001}}}を見つけるには、4 = 2 {\ displaystyle {\ sqrt {4}} = 2}という事実を使用できます。 x = a {\ displaystyle x = a}でのf（x）= x {\ displaystyle f（x）= {\ sqrt {x}}}の線形化は、y = a + 12a（x−a）{\ displaystyleです。 y = {\ sqrt {a}} + {\ frac {1} {2 {\ sqrt {a}}}}（xa）}、関数f '（x）= 12x {\ displaystyle f'（x） = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {x}}}}}は、x {で関数f（x）= x {\ displaystyle f（x）= {\ sqrt {x}}}の勾配を定義します\ displaystyle x}。 a = 4 {\ displaystyle a = 4}に代入すると、4での線形化はy = 2 + x−44 {\ displaystyle y = 2 + {\ frac {x-4} {4}}}になります。この場合、x = 4.001 {\ displaystyle x = 4.001}であるため、4.001 {\ displaystyle {\ sqrt {4.001}}}は約2 + 4.001-44 = 2.00025 {\ displaystyle 2 + {\ frac {4.001-4} { 4}} = 2.00025}。真の値は2.00024998に近いため、線形化の近似の相対誤差は100万分の1パーセント未満です。

多変数関数の線形化

点p（a、b）{\ displaystyle p（a、b）}での関数f（x、y）{\ displaystyle f（x、y）}の線形化の方程式は次のとおりです。

f（x、y）≈f（a、b）+∂f（x、y）∂x| a、b（x−a）+∂f（x、y）∂y| a、b（y−b ）{\ displaystyle f（x、y）\ approx f（a、b）+ \ left。{\ frac {\ partial f（x、y）} {\ partial x}} \ right | _ {a、b} （xa）+ \ left。{\ frac {\ partial f（x、y）} {\ partial y}} \ right | _ {a、b}（yb）}

点p {\ displaystyle \ mathbf {p}}での多変数関数f（x）{\ displaystyle f（\ mathbf {x}）}の線形化の一般的な方程式は次のとおりです。

f（x）≈f（p）+∇f|p⋅（x−p）{\ displaystyle f（{\ mathbf {x}}）\ approx f（{\ mathbf {p}}）+ \ left。{ \ nabla f} \ right | _ {\ mathbf {p}} \ cdot（{\ mathbf {x}}-{\ mathbf {p}}）}

ここで、x {\ displaystyle \ mathbf {x}}は変数のベクトルであり、p {\ displaystyle \ mathbf {p}}は対象の線形化ポイントです。

線形化の使用

線形化により、線形システムを研究するためのツールを使用して、特定のポイント付近の非線形関数の動作を分析できます。関数の線形化は、関心のある点の周りのテイラー展開の1次項です。方程式によって定義されるシステムの場合

dxdt = F（x、t）{\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {x}} {dt}} = \ mathbf {F}（\ mathbf {x}、t）}、

線形化されたシステムは

dxdt≈F（x0、t）+ DF（x0、t）⋅（x−x0）{\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {x}} {dt}} \ approx \ mathbf {F}（\ mathbf { x_ {0}}、t）+ D \ mathbf {F}（\ mathbf {x_ {0}}、t）\ cdot（\ mathbf {x}-\ mathbf {x_ {0}}）}

ここで、x0 {\ displaystyle \ mathbf {x_ {0}}}は関心のあるポイントであり、DF（x0）{\ displaystyle D \ mathbf {F}（\ mathbf {x_ {0}}）}はF（のヤコビアンです。 x）{\ displaystyle \ mathbf {F}（\ mathbf {x}）}はx0 {\ displaystyle \ mathbf {x_ {0}}}で評価されます。

安定性分析

自律システムの安定性解析では、双曲線平衡点で評価されたヤコビ行列の固有値を使用して、その平衡の性質を判断できます。これが線形化定理の内容です。時変システムの場合、線形化には追加の正当化が必要です。

ミクロ経済学

ミクロ経済学では、決定規則は線形化への状態空間アプローチの下で近似されます。このアプローチでは、効用最大化問題のオイラー方程式は定常定常状態の周りで線形化されます。次に、結果として得られる動的方程式のシステムに対する独自のソリューションが見つかります。

最適化

数学的最適化では、シンプレックスアルゴリズムなどの線形解法を適用するために、コスト関数と内部の非線形コンポーネントを線形化できます。最適化された結果ははるかに効率的に達成され、グローバル最適として決定論的です。

マルチフィジックス

相互作用する複数の物理フィールドを含むシステムであるマルチフィジックスシステムでは、物理フィールドごとに線形化を実行できます。各フィールドに関するこのシステムの線形化は、Newton-Raphson法などのモノリシック反復解法を使用して解くことができる線形化されたモノリシック方程式システムになります。この例には、電磁場、機械場、音響場のシステムをもたらすMRIスキャナーシステムが含まれます。