コズルコンプレックス

数学では、ジャン=ルイ・コズルによってリー代数のコホモロジー理論を定義するために、 コズル複合体が最初に導入されました（リー代数コホモロジーを参照）。これは、ホモロジー代数の有用な一般的な構成であることが判明しました。ツールとして、その相同性を使用して、（ローカル）リングの要素セットがM正規シーケンスであるかどうかを判断できます。したがって、モジュールの深さまたは理想である基本的な事実を証明するために使用できます。クルル次元の幾何学的概念に関連しているが異なる幾何学的次元の代数的概念。さらに、特定の状況では、複合体はsyzygiesの複合体です。つまり、モジュールのジェネレーター間の関係、これらの関係間の関係などを伝えます。

定義

Rを可換環、 EをR上の有限ランクrの自由モジュールとします。私たちは、⋀iE{\ displaystyle \ bigwedge ^ {I} E} Eの第i番目の外部電源のために書きます。次に、地図の-linear R所与：E→R {Rへ\ displaystyle S \結腸E \}、Sに関連Koszul複合体は、Rの鎖複合体は-modulesあります。

K∙（s）：0→⋀rE→dr⋀r-1E→⋯→⋀1E→d1R→0 {\ displaystyle K _ {\ bullet}（s）\ colon 0 \ to \ bigwedge ^ {r} E {\オーバーセット{d_ {r}} {\ to}} \ bigwedge ^ {r-1} E \ to \ cdots \ to \ bigwedge ^ {1} E {\ overset {d_ {1}} {\ to}} R \ to 0}、

ここで、差分dk {\ displaystyle d_ {k}}は、 Eの ei {\ displaystyle e_ {i}}によって与えられます。

dk（e1∧⋯∧ek）= ∑i = 1k（−1）i + 1s（ei）e1∧⋯∧ei^∧⋯∧ek{\ displaystyle d_ {k}（e_ {1} \ wedge \ dots \ウェッジe_ {k}）= \ sum _ {i = 1} ^ {k}（-1）^ {i + 1} s（e_ {i}）e_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge {\ widehat { e_ {i}}} \ wedge \ cdots \ wedge e_ {k}}。

上付き文字⋅^ {\ displaystyle {\ widehat {\ cdot}}}は、用語が省略されることを意味します。 （dk∘dk+ 1 = 0 {\ displaystyle d_ {k} \ circ d_ {k + 1} = 0}を表示するのは簡単です。あるいは、このアイデンティティは、Koszul複合体の＃Self-dualityを使用しても続きます。）

⋀1E= E {\ displaystyle \ bigwedge ^ {1} E = E}およびd1 = s {\ displaystyle d_ {1} = s}であることに注意してください。 ⋀rE≃R{\ displaystyle \ bigwedge ^ {r} E \ simeq R};この同型は正準ではありません（たとえば、微分幾何学でのボリューム形式の選択は、そのような同型の例を提供します。）

E = Rr {\ displaystyle E = R ^ {r}}（つまり、順序付けられた基底が選択される）の場合、 R線形マップs：Rr→R {\ displaystyle s \ colon R ^ {r} \ to R}は、 Rの要素（つまり行ベクトル）の有限シーケンスs1、…、sr {\ displaystyle s_ {1}、\ dots、s_ {r}}を与え、次にK∙（s1、 …、sr）= K∙（s）。{\ displaystyle K _ {\ bullet}（s_ {1}、\ dots、s_ {r}）= K _ {\ bullet}（s）。}

Mが有限生成Rモジュールである場合、次のように設定されます。

K∙（s、M）= K∙（s）⊗RM{\ displaystyle K _ {\ bullet}（s、M）= K _ {\ bullet}（s）\ otimes _ {R} M}

これも誘導微分（d⊗1M）（v⊗m）= d（v）⊗m{\ displaystyle（d \ otimes 1_ {M}）（v \ otimes m）= d（v） \ otimes m}。

Koszul複合体のi番目の相同性

Hi⁡（K∙（s、M））=ker⁡（di⊗1M）/im⁡（di +1⊗1M）{\ displaystyle \ operatorname {H} _ {i}（K _ {\ bullet}（s、 M））= \ operatorname {ker}（d_ {i} \ otimes 1_ {M}）/ \ operatorname {im}（d_ {i + 1} \ otimes 1_ {M}）}

i番目のKoszulホモロジーと呼ばれます。たとえば、E = Rr {\ displaystyle E = R ^ {r}}およびs = {\ displaystyle s =}がRにエントリを持つ行ベクトルの場合、d1⊗1M{\ displaystyle d_ {1} \ otimes 1_ {M}}は

s：Mr→M、（m1、…、mr）↦s1m1+⋯+ srmr {\ displaystyle s：M ^ {r} \ to M、\、（m_ {1}、\ dots、m_ {r}）\ mapsto s_ {1} m_ {1} + \ dots + s_ {r} m_ {r}}

など

H0⁡（K∙（s、M））= M /（s1、…、sr）M = R /（s1、…、sr）⊗RM。{\ displaystyle \ operatorname {H} _ {0}（K_ { \ bullet}（s、M））= M /（s_ {1}、\ dots、s_ {r}）M = R /（s_ {1}、\ dots、s_ {r}）\ otimes _ {R} M.}

同様に、

Hr⁡（K∙（s、M））= {m∈M：s1m = s2m =⋯= srm = 0} =HomR⁡（R /（s1、…、sr）、M）。{\ displaystyle \ operatorname { H} _ {r}（K _ {\ bullet}（s、M））= \ {m \ in M：s_ {1} m = s_ {2} m = \ dots = s_ {r} m = 0 \} = \ operatorname {Hom} _ {R}（R /（s_ {1}、\ dots、s_ {r}）、M）。}

低次元のKoszul複合体

可換リングR、Rの要素X、及びR -module Mを与え、Xによる乗算は、Rの準同型は-modules得

M→M。{\ displaystyle M \ to M.}

これを連鎖複合体とみなして（1次と0次に入れ、他の場所にゼロを追加することにより）、K（x、M）{\ displaystyle K（x、M）}で表されます。構造上、相同性は

H0（K（x、M））= M / xM、H1（K（x、M））=AnnM⁡（x）= {m∈M、xm = 0}、{\ displaystyle H_ {0}（K（ x、M））= M / xM、H_ {1}（K（x、M））= \ operatorname {Ann} _ {M}（x）= \ {m \ in M、xm = 0 \}、}

Mのxの消滅者。したがって、Koszul複素数とその相同性は、 xによる乗算の基本的な特性をエンコードします。

この連鎖複合体K •（ x ）は、#Definitionのように、 xに関するRのコズル複合体と呼ばれます。ペア（x、y）∈R2{\ displaystyle（x、y）\ in R ^ {2}}のKoszul複素数は

0→R→d2 R2→d1 R→0、{\ displaystyle 0 \ to R {\ xrightarrow {\ d_ {2} \}} R ^ {2} {\ xrightarrow {\ d_ {1} \}} R \ 0に、}

によって与えられる行列d1 {\ displaystyle d_ {1}}およびd2 {\ displaystyle d_ {2}}

d1 = {\ displaystyle d_ {1} = {\ begin {bmatrix} x＆y \\\ end {bmatrix}}}およびd2 =。{\ displaystyle d_ {2} = {\ begin {bmatrix} -y \\ x \ \\ end {bmatrix}}。}

di {\ displaystyle d_ {i}}が左側に適用されることに注意してください。次数1のサイクルは要素xとyの正確な線形関係になり、境界は自明な関係になります。したがって、最初のKoszulホモロジーH1（ K •（ x 、 y ））は、自明な関係のmod関係を正確に測定します。より多くの要素があれば、高次元のKoszulホモロジーはこれの高レベルバージョンを測定します。

要素x1、x2、…、xn {\ displaystyle x_ {1}、x_ {2}、\ dots、x_ {n}}が規則的なシーケンスを形成する場合、Koszul複合体のより高い相同性モジュールはすべてゼロです。 。

例

kがフィールドで、X1、X2、…、Xd {\ displaystyle X_ {1}、X_ {2}、\ dots、X_ {d}}が不定で、 Rが多項式環kである場合、Koszul複素数K •（ I「sはコンクリートフリーR kの-resolutionを形成するXにX I）。

Koszulホモロジーの特性

Eは Rオーバー有限ランクフリーのモジュールとする、S：E→R R -linear Rの要素をマップとT。 K（s、t）{\ displaystyle K（s、t）}を（s、t）：E⊕R→R {\ displaystyle（s、t）：E \ oplus R \ to R}のKoszul複合体とする。 MをR上の有限生成モジュールとします。

Usingk（E⊕R）=⊕i= 0k∧k−iE⊗∧iR = ∧kE⊕∧k−1E {\ displaystyle \ wedge ^ {k}（E \ oplus R）= \ oplus _ {i = 0} ^ {k} \ wedge ^ {ki} E \ otimes \ wedge ^ {i} R = \ wedge ^ {k} E \ oplus \ wedge ^ {k-1} E}、複合体の正確なシーケンスがあります：

0→K（s）→K（s、t）→K（s）→0 {\ displaystyle 0 \ to K（s）\ to K（s、t）\ to K（s）\ to 0}

ここで、-1およびdK（s）= − dK（s）{\ displaystyle d_ {K（s）} =-d_ {K（s）}}による次数シフトを意味します。注：xkE⊕∧k−1E {\ displaystyle \ wedge ^ {k} E \ oplus \ wedge ^ {k-1} E}の（ x 、 y ）については、

dK（s、t）（（x、y））=（dK（s）x + ty、dK（s）y）。{\ displaystyle d_ {K（s、t）}（（x、y））= （d_ {K（s）} x + ty、d_ {K（s）} y）。}

（ホモロジー代数の言語では、上記はK（s、t）{\ displaystyle K（s、t）}がt：K（s）→K（s）{\ displaystyle t：Kのマッピングコーンであることを意味します（s）\ to K（s）}。）

長く正確な相同配列を取得すると、次のようになります。

⋯→Hi⁡（K（s））→tHi⁡（K（s））→Hi⁡（K（s、t））→Hi-1⁡（K（s））→t⋯。{\ displaystyle \ cdots \ to \ operatorname {H} _ {i}（K（s））{\ overset {t} {\ to}} \ operatorname {H} _ {i}（K（s））\ to \ operatorname {H} _ {i}（K（s、t））\ to \ operatorname {H} _ {i-1}（K（s））{\ overset {t} {\ to}} \ cdots。}

ここで、接続準同型

δ：Hi +1⁡（K（s））=Hi⁡（K（s））→Hi⁡（K（s））{\ displaystyle \ delta：\ operatorname {H} _ {i + 1}（K（ s））= \ operatorname {H} _ {i}（K（s））\ to \ operatorname {H} _ {i}（K（s））}

次のように計算されます。定義により、δ（）= {\ displaystyle \ delta（）=}ここで、 yはxにマッピングされるK（s、t）{\ displaystyle K（s、t）}の要素です。 K（s、t）{\ displaystyle K（s、t）}は直接の合計なので、単純にyを（0、 x ）にすることができます。次に、dK（s、t）{\ displaystyle d_ {K（s、t）}}の初期式は、δ（）= t {\ displaystyle \ delta（）= t}を与えます。

上記の正確なシーケンスは、以下を証明するために使用できます。

rの帰納法による証明r = 1 {\ displaystyle r = 1}の場合、H1⁡（K（x1; M））=AnnM⁡（x1）= 0 {\ displaystyle \ operatorname {H} _ {1}（K（x_ {1} ; M））= \ operatorname {Ann} _ {M}（x_ {1}）= 0}。次に、アサーションがr -1に対して真であると仮定します。上記の正確なシーケンスを使用すると、Hi⁡（K（x1、…、xr; M））= 0 {\ displaystyle \ operatorname {H} _ {i}が表示されます。 （K（x_ {1}、\ dots、x_ {r}; M））= 0}i≥2{\ displaystyle i \ geq 2}の場合。 xr {\ displaystyle x_ {r}}はH0⁡（K（x1、…、xr−1; M））= M /の非ゼロ除数であるため、消失はi = 1 {\ displaystyle i = 1}に対しても有効です。 （x1、…、xr−1）M。{\ displaystyle \ operatorname {H} _ {0}（K（x_ {1}、\ dots、x_ {r-1}; M））= M /（x_ { 1}、\ dots、x_ {r-1}）M。}◻{\ displaystyle \ square}

証明： SおよびSに Sモジュールとして適用された定理により、 K （ y 1、...、 y n ）はS /（ y 1、...、 y n ）のSフリー解像度であることがわかります。 。したがって、定義により、K（y1、…、yn）⊗SM{\ displaystyle K（y_ {1}、\ dots、y_ {n}）\ otimes _ {S} M}のi番目のホモロジーが右です。 -上記の手側。一方、K（y1、…、yn）⊗SM= K（x1、…、xn）⊗RM{\ displaystyle K（y_ {1}、\ dots、y_ {n}）\ otimes _ {S} M = K（X_ {1}、\ドット、X_ {N}）M上のS -module構造の定義によって\ otimes _ {R} M}。 ◻{\ displaystyle \ square}

証明： S = Rとする 。環準同型S→R、Y、I→X iおよびR Yを介してSの -module I先行推論により→0、Hi⁡（K（X1、...、XN）⊗M介しSの -moduleにMを回します）=ToriS⁡（R、M）{\ displaystyle \ operatorname {H} _ {i}（K（x_ {1}、\ dots、x_ {n}）\ otimes M）= \ operatorname {Tor} _ {i } ^ {S}（R、M）}その後

AnnS⁡（ToriS⁡（R、M））⊃AnnS⁡（R）+AnnS⁡（M）⊃（y1、…、yn）+AnnR⁡（M）+（y1−x1、...、yn−xn ）。{\ displaystyle \ operatorname {Ann} _ {S}（\ operatorname {Tor} _ {i} ^ {S}（R、M））\ supset \ operatorname {Ann} _ {S}（R）+ \演算子名{Ann} _ {S}（M）\ supset（y_ {1}、\ dots、y_ {n}）+ \ operatorname {Ann} _ {R}（M）+（y_ {1} -x_ {1 }、...、y_ {n} -x_ {n}）。}◻{\ displaystyle \ square}

ネーター地方の環については、定理の逆が成り立ちます。より一般的には、

証明：2.を示す必要があるだけです。1.を意味し、残りは明確です。 rの帰納法で議論します。 r = 1の場合はすでにわかっています。 x 'が x 1、...、 x r -1を示すものとします。検討する

⋯→H1⁡（K（x '; M））→xrH1⁡（K（x'; M））→H1⁡（K（x1、…、xr; M））= 0→M / x'M→xr ⋯。{\ displaystyle \ cdots \ to \ operatorname {H} _ {1}（K（x '; M））{\ overset {x_ {r}} {\ to}} \ operatorname {H} _ {1} （K（x '; M））\ to \ operatorname {H} _ {1}（K（x_ {1}、\ dots、x_ {r}; M））= 0 \ to M / x'M {\ {x_ {r}} {\ to}} \ cdotsをオーバーセットします。}

最初のxr {\ displaystyle x_ {r}}は単射なので、N = xrN {\ displaystyle N = x_ {r} N}とN =H1⁡（K（x ′; M））{\ displaystyle N = \ operatorname {H} _ {1}（K（x '; M））}。中山の補題により、N = 0 {\ displaystyle N = 0}であるため、 x 'は帰納的仮説による規則的なシーケンスです。 2番目のxr {\ displaystyle x_ {r}}は単射（つまり、非ゼロ除数）であるため、x1、…、xr {\ displaystyle x_ {1}、\ dots、x_ {r}}は通常のシーケンスです。 （注：中山の補題により、要件M /（x1、…、xr）M≠0 {\ displaystyle M /（x_ {1}、\ dots、x_ {r}）M \ neq 0}は自動です。）◻ {\ displaystyle \ square}

Koszul複合体のテンソル積

一般に、 C 、 Dが連鎖複合体である場合、それらのテンソル積C⊗D{\ displaystyle C \ otimes D}は、

（C⊗D）n = ∑i + j =nCi⊗Dj{\ displaystyle（C \ otimes D）_ {n} = \ sum _ {i + j = n} C_ {i} \ otimes D_ {j}}

微分あり：任意の同種の要素x 、 y 、

dC⊗D（x⊗y）= dC（x）⊗y+（− 1）| x |x⊗dD（y）{\ displaystyle d_ {C \ otimes D}（x \ otimes y）= d_ {C}（ x）\ otimes y +（-1）^ {| x |} x \ otimes d_ {D}（y）}

どこ| x | xの次数です。

この構造は、特にKoszul複合施設に適用されます。 E 、 Fを有限ランクの無料モジュールとし、s：E→R {\ displaystyle s \ colon E \ to R}およびt：F→R {\ displaystyle t \ colon F \ to R}を2つのRとする -線形マップ。 K（s、t）{\ displaystyle K（s、t）}を線形マップ（s、t）のコズル複素数とする：E：F→R {\ displaystyle（s、t）\ colon E \ otimes F \ to R}。次に、複合体として、

K（s、t）≃K（s）⊗K（t）。{\ displaystyle K（s、t）\ simeq K（s）\ otimes K（t）。}

これを見るには、外部代数を使用する方が便利です（外部の力とは対照的です）。次数-1 {\ displaystyle -1}の段階的な派生を定義する

ds：∧E→∧E{\ displaystyle d_ {s}：\ wedge E \ to \ wedge E}

必要によって：任意均質要素xについて、ΛEのY、

• ds（x）= s（x）{\ displaystyle d_ {s}（x）= s（x）} | x | = 1 {\ displaystyle | x | = 1}の場合
• ds（x∧y）= ds（x）∧y+（− 1）| x |x∧ds（y）{\ displaystyle d_ {s}（x \ wedge y）= d_ {s}（x）\ wedge y + （-1）^ {| x |} x \ wedge d_ {s}（y）}

ds∘ds= 0 {\ displaystyle d_ {s} \ circ d_ {s} = 0}（程度の帰納法）であり、同種の要素に対するds {\ displaystyle d_ {s}}の動作は、 #Definitionの差分。

これで、grade（E⊕F）=∧E⊗∧F{\ displaystyle \ wedge（E \ oplus F）= \ wedge E \ otimes \ wedge F}がグレードR-モジュールとしてあります。また、冒頭で述べたテンソル積の定義により、

dK（s）⊗K（t）（e⊗1+1⊗f）= dK（s）（e）⊗1+1⊗dK（t）（f）= s（e）+ t（f）= dK （s、t）（e + f）。{\ displaystyle d_ {K（s）\ otimes K（t）}（e \ otimes 1 + 1 \ otimes f）= d_ {K（s）}（e）\ otimes 1 + 1 \ otimes d_ {K（t）}（f）= s（e）+ t（f）= d_ {K（s、t）}（e + f）。}

dK（s）⊗K（t）{\ displaystyle d_ {K（s）\ otimes K（t）}}およびdK（s、t）{\ displaystyle d_ {K（s、t）}}は同じタイプ、これはdK（s）⊗K（t）= dK（s、t）。{\ displaystyle d_ {K（s）\ otimes K（t）} = d_ {K（s、t）}を意味します。 }

特に、

K（x1、x2、…、xr）≃K（x1）⊗K（x2）⊗⋯⊗K（xr）{\ displaystyle K（x_ {1}、x_ {2}、\ dots、x_ {r}） \ simeq K（x_ {1}）\ otimes K（x_ {2}）\ otimes \ cdots \ otimes K（x_ {r}）}。

次の命題は、要素のKoszul複合体が、生成された理想のシーケンスに関する情報をエンコードする方法を示しています。

証明：（簡単ですが、現時点では省略）

アプリケーションとして、Koszulホモロジーの深さ感度を示すことができます。環R上有限生成モジュールMが与えられると、（1）定義により、理想Iに対するMの深さはM上のIのすべての要素が規則的配列の長さのsupremumあります。 depth⁡（I、M）{\ displaystyle \ operatorname {depth}（I、M）}で示されます。 M /（x1、…、xn）M {\ displaystyle M /（x_ {1}、\に非ゼロ除数が含まれていない場合、理想的なIの M正規シーケンスx 1、...、 x nは最大であることを思い出してください。ドット、x_ {n}）M}。

Koszulの相同性は、深さの非常に有用な特性を提供します。

証明：表記を簡単にするために、H（ K （-））をH（-）で記述します。 y 1、...、 y sを理想的なIの最大M正規シーケンスとします。このシーケンスをy _ {\ displaystyle {\ underline {y}}}で示します。まず、l {\ displaystyle l}の帰納法により、Hi⁡（y_、x1、…、xl; M）{\ displaystyle \ operatorname {H} _ {i}（{\ underline {y}} 、x_ {1}、\ dots、x_ {l}; M）}はAnnM /y_M⁡（x1、…、xl）{\ displaystyle \ operatorname {Ann} _ {M / {\ underline {y}} M}です（x_ {1}、\ dots、x_ {l}）} i = l {\ displaystyle i = l}の場合、i> l {\ displaystyle i> l}の場合はゼロです。基本的なケースl = 0 {\ displaystyle l = 0}は、Koszulホモロジーの#Propertiesから明らかです。 Koszul相同性の長い正確なシーケンスと帰納的仮説から、

Hl⁡（y_、x1、…、xl; M）=ker⁡（xl：AnnM /y_M⁡（x1、…、xl−1）→AnnM /y_M⁡（x1、…、xl−1））{\ displaystyle \ operatorname {H} _ {l} \ left（{\ underline {y}}、x_ {1}、\ dots、x_ {l}; M \ right）= \ operatorname {ker} \ left（x_ {l} ：\ operatorname {Ann} _ {M / {\ underline {y}} M}（x_ {1}、\ dots、x_ {l-1}）\ to \ operatorname {Ann} _ {M / {\ underline { y}} M}（x_ {1}、\ dots、x_ {l-1}）\ right）}、

これはAnnM /y_M⁡（x1、…、xl）です。{\ displaystyle \ operatorname {Ann} _ {M / {\ underline {y}} M}（x_ {1}、\ dots、x_ {l}）。 }また、同じ引数により、i> l {\ displaystyle i> l}の消失が保持されます。これで申し立ての証拠が完成しました。

さて、主張と初期の命題から、Hi⁡（x1、…、xn; M）= 0 {\ displaystyle \ operatorname {H} _ {i}（x_ {1}、\ dots、x_ {n} ; M）= 0}すべてのi > n - sに対して 。 n - s = mを結論付けるために、 i = n - sである場合にゼロ以外であることを示すことが残っています。 y _ {\ displaystyle {\ underline {y}}}はIの最大M正規シーケンスであるため、理想IはM / y_M {\ displaystyle M / {\ underline {y}}上のすべてのゼロ除数のセットに含まれます。 M}、モジュールの関連する素数の有限和。したがって、素数の回避により、M / y_M {\ displaystyle M / {\ underline {y}} M}にゼロ以外のvがあり、I⊂p=AnnR⁡（v）{\ displaystyle I \ subset {\ mathfrak { p}} = \ operatorname {Ann} _ {R}（v）}、つまり

0≠v∈AnnM/y_M⁡（I）≃Hn⁡（x1、…、xn、y_; M）= Hn−s⁡（x1、…、xn; M）⊗∧sRs。{\ displaystyle 0 \ neq v \ in \ operatorname {Ann} _ {M / {\ underline {y}} M}（I）\ simeq \ operatorname {H} _ {n} \ left（x_ {1}、\ dots、x_ {n}、 {\ underline {y}}; M \ right）= \ operatorname {H} _ {ns}（x_ {1}、\ dots、x_ {n}; M）\ otimes \ wedge ^ {s} R ^ {s }。}◻{\ displaystyle \ square}

自己二元性

チェーンコンプレックスの代わりにコチェーンコンプレックスを使用するKoszulコンプレックスへのアプローチがあります。結局のところ、これは本質的に同じ複合体になります（Koszul複合体の自己双対性として知られる事実）。

EをリングR上の有限ランクrの自由モジュールとします。次に、 Eの各要素eは、 eによる外部左乗算を発生させます 。

le：∧kE→∧k+ 1E、x↦e∧x。{\ displaystyle l_ {e}：\ wedge ^ {k} E \ to \ wedge ^ {k + 1} E、\、x \ mapsto e \くさびx。}

e∧e= 0 {\ displaystyle e \ wedge e = 0}なので、次のようになります。le∘le= 0 {\ displaystyle l_ {e} \ circ l_ {e} = 0};あれは、

0→R→1↦e∧1E→le∧2E→⋯→∧rE→0 {\ displaystyle 0 \ to R {\ overset {1 \ mapsto e} {\ to}} \ wedge ^ {1} E {\オーバーセット{l_ {e}} {\ to}} \ wedge ^ {2} E \ to \ cdots \ to \ wedge ^ {r} E \ to 0}

無料モジュールのコチェーン複合体です。 Koszul複合体とも呼ばれるこの複合体は、（Eisenbud 1995）で使用されている複合体です。デュアルを取ると、複雑があります：

0→（∧rE）∗→（∧r−1E）∗→⋯→（∧2E）∗→（∧1E）∗→R→0 {\ displaystyle 0 \ to（\ wedge ^ {r} E）^ { *} \ to（\ wedge ^ {r-1} E）^ {*} \ to \ cdots \ to（\ wedge ^ {2} E）^ {*} \ to（\ wedge ^ {1} E）^ {*} \ to R \ to 0}。

同型の使用∧kE≃（∧r−kE）∗ ≃∧r−k（E ∗）{\ displaystyle \ wedge ^ {k} E \ simeq（\ wedge ^ {rk} E）^ {*} \ simeq \ウェッジ^ {rk}（E ^ {*}）}、コンプレックス（∧E、le）{\ displaystyle（\ wedge E、l_ {e}）}は#DefinitionのKoszulコンプレックスと一致します。

つかいます

Koszul複合体は、Banach空間での通勤有界線形演算子のタプルの共同スペクトルを定義するのに不可欠です。