カッパ曲線
幾何学では、 カッパ曲線またはGutschovenの曲線は、ギリシャ文字ϰ（カッパ）に似た2次元の代数曲線です。カッパ曲線は、1662年頃にジェラード・ファン・ガッツホーフェンによって最初に研究されました。数学の歴史において、曲線の正接を決定するための初歩的な計算法のIsaac Barrowの適用の最初の例の1つとして記憶されています。アイザック・ニュートンとヨハン・ベルヌーイは、その後この曲線の研究を続けました。
デカルト座標系を使用すると、次のように表現できます。
x2（x2 + y2）= a2y2 {\ displaystyle x ^ {2}（x ^ {2} + y ^ {2}）= a ^ {2} y ^ {2}}または、パラメトリック方程式を使用して、
x =asint、y =asinttant。{\ displaystyle {\ begin {aligned} x＆= a \ sin t、\\ y＆= a \ sin t \ tan t。\ end {aligned}}}極座標では、その方程式はさらに単純です。
r =atanθ。{\ displaystyle r = a \ tan \ theta。}x =±a {\ displaystyle x = \ pm a}に2つの垂直漸近線があり、右の図に青い破線で示されています。
カッパ曲線の曲率：
κ（θ）= 8（3−sin2θ）sin4θa（sin2（2θ）+4）32。{\ displaystyle \ kappa（\ theta）= {\ frac {8（3- \ sin ^ {2 } \ theta）\ sin ^ {4} \ theta} {a（\ sin ^ {2}（2 \ theta）+4）^ {\ frac {3} {2}}}}。接線角度：
ϕ（θ）= −arctan（12sin（2θ））。{\ displaystyle \ phi（\ theta）=-\ arctan \ left（{\ tfrac {1} {2}} \ sin（2 \ theta）\右）。}無限小を介した接線
カッパカーブの接線は、微分および無限小算術の基本規則を使用して幾何学的に決定することもできます。 xとyが変数であり、aが定数であると仮定します。カッパ曲線の定義から、
x2（x2 + y2）−a2y2 = 0 {\ displaystyle x ^ {2}（x ^ {2} + y ^ {2}）-a ^ {2} y ^ {2} = 0}今、私たちの場所のわずかな変更は、左側の値も変更する必要があるので、
d（x2（x2 + y2）−a2y2）= 0 {\ displaystyle d（x ^ {2}（x ^ {2} + y ^ {2}）-a ^ {2} y ^ {2}）= 0 }差分の配布と適切なルールの適用、
d（x2（x2 + y2））− d（a2y2）= 0 {\ displaystyle d（x ^ {2}（x ^ {2} + y ^ {2}））-d（a ^ {2} y ^ {2}）= 0}（2xdx）（x2 + y2）+ x2（2xdx + 2ydy）−a22ydy = 0 {\ displaystyle（2xdx）（x ^ {2} + y ^ {2}）+ x ^ {2 }（2xdx + 2ydy）-a ^ {2} 2ydy = 0}（4x3 + 2xy2）dx +（2yx2−2a2y）dy = 0 {\ displaystyle（4x ^ {3} + 2xy ^ {2}）dx +（2yx ^ {2} -2a ^ {2} y）dy = 0} x（2x2 + y2）dx + y（x2−a2）dy = 0 {\ displaystyle x（2x ^ {2} + y ^ {2}）dx + y（x ^ {2} -a ^ {2}）dy = 0} x（2x2 + y2）y（a2−x2）= dydx {\ displaystyle {\ frac {x（2x ^ {2} + y ^ {2}）} {y（a ^ {2} -x ^ {2}）}} = {\ frac {dy} {dx}}}デリバティブ
関数関係y（x）の現代的な概念を使用して暗黙の微分を適用すると、点（x、y）でのカッパ曲線への接線の勾配は次のようになります。
2x（x2 + y2）+ x2（2x + 2ydydx）= 2a2ydydx {\ displaystyle 2x（x ^ {2} + y ^ {2}）+ x ^ {2}（2x + 2y {\ frac {dy} {dx }}）= 2a ^ {2} y {\ frac {dy} {dx}}} 2x（x2 + y2）+ x2（2x + 2ydydx）= 2a2ydydx {\ displaystyle 2x（x ^ {2} + y ^ { 2}）+ x ^ {2}（2x + 2y {\ frac {dy} {dx}}）= 2a ^ {2} y {\ frac {dy} {dx}}} 2x3 + 2xy2 + 2x3 = 2a2ydydx− 2x2ydydx {\ displaystyle 2x ^ {3} + 2xy ^ {2} + 2x ^ {3} = 2a ^ {2} y {\ frac {dy} {dx}}-2x ^ {2} y {\ frac {dy } {dx}}} 4x3 + 2xy2 =（2a2y−2x2y）dydx {\ displaystyle 4x ^ {3} + 2xy ^ {2} =（2a ^ {2} y-2x ^ {2} y）{\ frac { dy} {dx}}} 2x3 + xy2a2y−x2y = dydx {\ displaystyle {\ frac {2x ^ {3} + xy ^ {2}} {a ^ {2} yx ^ {2} y}} = {\ frac {dy} {dx}}}外部リンク
- ヴァイスシュタイン、エリックW.「カッパカーブ」。 MathWorld 。
- 曲線で遊ぶためのJavaアプレット
- オコナー、ジョンJ。ロバートソン、エドマンドF.、「カッパカーブ」、 MacTutor数学史アーカイブ 、セントアンドリュース大学。
