ジェット（数学）

数学では、 ジェットは微分可能な関数fを取り、そのドメインの各点でfの打ち切りテイラー多項式を生成する操作です。これはジェットの定義ですが、ジェットの理論では、これらの多項式を多項式関数ではなく抽象多項式と見なしています。

この記事では、まず、1つの実変数での実数値関数のジェットの概念を探り、次にいくつかの実変数の一般化について説明します。次に、ユークリッド空間間のジェットとジェット空間の厳密な構造を提供します。最後に、マニホールド間のジェットの説明と、これらのジェットを本質的に構築する方法について説明します。このより一般的な文脈では、微分幾何学と微分方程式の理論へのジェットの応用のいくつかを要約しています。

ユークリッド空間間の関数のジェット

ジェットの厳密な定義を与える前に、いくつかの特殊なケースを調べると便利です。

一次元の場合

f：R→R {\ displaystyle f：{\ mathbb {R}} \ rightarrow {\ mathbb {R}}}は、点x0の近傍Uに少なくともk + 1の導関数を持つ実数値関数であると仮定します。 {\ displaystyle x_ {0}}。その後、テイラーの定理により、

f（x）= f（x0）+ f ′（x0）（x−x0）+⋯+ f（k）（x0）k！（x−x0）k + Rk + 1（x）（k + 1）！（x−x0）k + 1 {\ displaystyle f（x）= f（x_ {0}）+ f '（x_ {0}）（x-x_ {0}）+ \ cdots + {\ frac {f ^ {（k）}（x_ {0}）} {k！}}（x-x_ {0}）^ {k} + {\ frac {R_ {k + 1}（x）} {（k + 1 ）！}}（x-x_ {0}）^ {k + 1}}

どこ

| Rk + 1（x）|≤supx∈U| f（k + 1）（x）|。{\ displaystyle | R_ {k + 1}（x）| \ leq \ sup _ {x \ in U} | f ^ {（k + 1）}（x）|。}

次に、点x0 {\ displaystyle x_ {0}}でのfのkジェットが多項式になるように定義されます

（Jx0kf）（z）= f（x0）+ f ′（x0）z +⋯+ f（k）（x0）k！zk。{\ displaystyle（J_ {x_ {0}} ^ {k} f）（z ）= f（x_ {0}）+ f '（x_ {0}）z + \ cdots + {\ frac {f ^ {（k）}（x_ {0}）} {k！}} z ^ {k} 。}

ジェットは通常、変数zの実際の多項式関数ではなく、変数zの抽象多項式と見なされます。言い換えると、 zは不確定変数であり、ジェット間でさまざまな代数演算を実行できます。実際には、ジェットが機能的な依存関係を導き出す基点x0 {\ displaystyle x_ {0}}です。したがって、ジェットは、基点を変えることにより、すべての点で最大でkの次数の多項式を生成します。これは、ジェットと切り捨てられたテイラー級数との間の重要な概念上の区別を示しています。通常、テイラー級数は、その基点ではなく変数に機能的に依存していると見なされます。一方、ジェットは、テイラー級数の代数的性質をその機能的性質から分離します。この分離の理由と適用については、記事の後半で説明します。

ユークリッド空間から別の空間へのマッピング

f：Rn→Rm {\ displaystyle f：{\ mathbb {R}} ^ {n} \ rightarrow {\ mathbb {R}} ^ {m}}は、あるユークリッド空間から少なくとも（ k + 1）導関数。この場合、テイラーの定理は、

f（x）= f（x0）+（Df（x0））⋅（x−x0）+12（D2f（x0））⋅（x−x0）⊗2+⋯⋯+ Dkf（x0）k！⋅（ x−x0）⊗k+ Rk + 1（x）（k + 1）！⋅（x−x0）⊗（k + 1）。{\ displaystyle {\ begin {aligned} f（x）= f（x_ { 0}）+（Df（x_ {0}））\ cdot（x-x_ {0}）+ {}＆{\ frac {1} {2}}（D ^ {2} f（x_ {0}））\ cdot（x-x_ {0}）^ {\ otimes 2} + \ cdots \\＆\ cdots + {\ frac {D ^ {k} f（x_ {0}）} {k！}} \ cdot （x-x_ {0}）^ {\ otimes k} + {\ frac {R_ {k + 1}（x）} {（k + 1）！}} \ cdot（x-x_ {0}）^ { \ otimes（k + 1）}。\ end {aligned}}}

次に、 fのkジェットが多項式になるように定義されます

（Jx0kf）（z）= f（x0）+（Df（x0））⋅z+ 12（D2f（x0））⋅z⊗2+⋯+ Dkf（x0）k！⋅z⊗k{\ displaystyle（J_ {x_ {0}} ^ {k} f）（z）= f（x_ {0}）+（Df（x_ {0}））\ cdot z + {\ frac {1} {2}}（D ^ { 2} f（x_ {0}））\ cdot z ^ {\ otimes 2} + \ cdots + {\ frac {D ^ {k} f（x_ {0}）} {k！}} \ cdot z ^ { \ otimes k}}

R {\ displaystyle {\ mathbb {R}}}で、z =（z1、…、zn）{\ displaystyle z =（z_ {1}、\ ldots、z_ {n}）}の場合。

ジェットの代数的性質

ジェットが運ぶことができる2つの基本的な代数構造があります。最初は製品構造ですが、これは最終的には最も重要ではないことが判明しました。 2番目は、ジェットの構成の構造です。

f、g：Rn→R {\ displaystyle f、g：{\ mathbb {R}} ^ {n} \ rightarrow {\ mathbb {R}}}が実数値関数のペアである場合、ジェットの製品

Jx0kf⋅Jx0kg= Jx0k（f⋅g）。{\ displaystyle J_ {x_ {0}} ^ {k} f \ cdot J_ {x_ {0}} ^ {k} g = J_ {x_ {0}} ^ { k}（f \ cdot g）。}

ここで、ジェットは形式的な多項式であると理解されているため、不定のzを抑制しました。この積は、 z k + 1 {\ displaystyle z ^ {k + 1}}を法とするzの通常の多項式の積です。言い換えれば、それはリングR /（zk + 1）{\ displaystyle {\ mathbb {R}} /（z ^ {k + 1}）}での乗算です。ここで、（zk + 1）{\ displaystyle（z ^ {K + 1}）}次数≥k + 1の均質多項式によって生成された理想的です。

次に、ジェットの構成に移ります。不要な技術を避けるために、原点を原点にマップする関数のジェットを検討します。 f：Rm→Rℓ{\ displaystyle f：{\ mathbb {R}} ^ {m} \ rightarrow {\ mathbb {R}} ^ {\ ell}}およびg：Rn→Rm {\ displaystyle g：{\ mathbb {R}} ^ {n} \ rightarrow {\ mathbb {R}} ^ {m}}、 f （0）= 0およびg （0）= 0、その後f theng：Rn→Rℓ{\ displaystyle f \ circ g：{\ mathbb {R}} ^ {n} \ rightarrow {\ mathbb {R}} ^ {\ ell}}。 ジェットの構成は 、J0kf∘J0kg= J0k（f∘g）によって定義されます。{\ displaystyle J_ {0} ^ {k} f \ circ J_ {0} ^ {k} g = J_ {0} ^ {k} （f \ circ g）。これは、チェーンルールを使用して、これが原点のジェットの空間に対する連想的な非可換操作を構成することを容易に検証します。

実際、 kジェットの構成は、次数> k {\ displaystyle> k}の同種の多項式の理想を法とする多項式の構成にすぎません。

例：

1次元で、f（x）=log⁡（1-x）{\ displaystyle f（x）= \ log（1-x）}およびg（x）= sinx {\ displaystyle g（x）= \ sinとする\、バツ}。それから

（J03f）（x）= − x−x22−x33 {\ displaystyle（J_ {0} ^ {3} f）（x）=-x-{\ frac {x ^ {2}} {2}}-{ \ frac {x ^ {3}} {3}}}（J03g）（x）= x-x36 {\ displaystyle（J_ {0} ^ {3} g）（x）= x-{\ frac {x ^ {3}} {6}}}

そして

（J03f）∘（J03g）= −（x−x36）−12（x−x36）2−13（x−x36）3（modx4）= − x−x22−x36 {\ displaystyle {\ begin {aligned}＆（J_ {0} ^ {3} f）\ circ（J_ {0} ^ {3} g）=-\ left（x-{\ frac {x ^ {3}} {6}} \ right）-{ \ frac {1} {2}} \ left（x-{\ frac {x ^ {3}} {6}} \ right）^ {2}-{\ frac {1} {3}} \ left（x -{\ frac {x ^ {3}} {6}} \ right）^ {3} {\ pmod {x ^ {4}}} \\ = {}＆-x-{\ frac {x ^ {2 }} {2}}-{\ frac {x ^ {3}} {6}} \ end {aligned}}}

ユークリッド空間のある地点でのジェット：厳密な定義

このサブセクションでは、ある点における関数のジェットの2つの異なる厳密な定義に焦点を当て、続いてテイラーの定理について説明します。これらの定義は、後で2つの多様体間の関数のジェットの固有の定義中に役立つことが証明されます。

分析的定義

次の定義では、数学的分析のアイデアを使用してジェットとジェット空間を定義しています。バナッハ空間間の関数、実ドメインまたは複雑なドメイン間の分析関数、p進解析、およびその他の分析領域への平滑化に一般化できます。

C∞（Rn、Rm）{\ displaystyle C ^ {\ infty}（{\ mathbb {R}} ^ {n}、{\ mathbb {R}} ^ {m}）}を滑らかな関数のベクトル空間とするf：Rn→Rm {\ displaystyle f：{\ mathbb {R}} ^ {n} \ rightarrow {\ mathbb {R}} ^ {m}}。 kを非負の整数とし、 pをRn {\ displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {n}}の点とします。我々は同値関係を定義EPK {\ displaystyle E_ {P} ^ {K}}二つの関数fおよびgは、fおよびgは、Pで同じ値を有する場合、Kを注文することと等価であることを宣言することによって、この空間に、その部分の全て導関数は、 k次の導関数まで（およびそれを含む） pで一致します。要するに、f-g = 0 {\ displaystyle fg = 0}からk番目までの場合、f〜g {\ displaystyle f \ sim g \、\！}です。

C∞（Rn、Rm）{\ displaystyle C ^ {\ infty}（{\ mathbb {R}} ^ {n}、{\ mathbb {R}} ^ {m}）のk次のジェット空間 } PでEPK {\ displaystyle E_ {P} ^ {K}}の同値クラスのセットとして定義され、そしてJPK（RN、RM）{\ displaystyle J_ {P} ^ {K}（{で表され\ mathbb {R}} ^ {n}、{\ mathbb {R}} ^ {m}）}。

滑らかな関数f∈C∞（Rn、Rm）{\ displaystyle f \ in C ^ {\ infty}（{\ mathbb {R}} ^ {n}、{\ mathbbのpでのk次ジェット {R}} ^ {m}）}は、Jpk（Rn、Rm）{\ displaystyle J_ {p} ^ {k}（{\ mathbb {R}} ^ {n}のfの等価クラスであると定義されます。 {\ mathbb {R}} ^ {m}）}。

代数幾何学的定義

次の定義では、代数幾何学と可換代数のアイデアを使用して、ジェットとジェット空間の概念を確立しています。この定義は代数幾何学自体の使用には特に適していませんが、滑らかなカテゴリーにキャストされているため、そのような用途に簡単に調整できます。

Cp∞（Rn、Rm）{\ displaystyle C_ {p} ^ {\ infty}（{\ mathbb {R}} ^ {n}、{\ mathbb {R}} ^ {m}）}をベクトル空間とするRnの→Rmの{\ displaystyleのF：{\ mathbb {R} ^ {N}の\ RIGHTARROW {\ mathbb {R} ^ {M}}平滑関数fの細菌のRnの{における点Pの\ displaystyle { \ mathbb {R}} ^ {n}}。 mp {\ displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {p}}をpで消滅する関数の芽からなる理想とする。（これはローカルリングCp∞（Rn、Rm）{\ displaystyle C_ {p} ^ {\ infty}（{\ mathbb {R}} ^ {n}、{\ mathbb {R}} ^の最大の理想です{m}）}。）次に、理想的なmpk + 1 {\ displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {p} ^ {k + 1}}は、 pで k次まで消滅するすべての関数生殖で構成されます。ここで、 pで ジェット空間を定義することができます。

Jpk（Rn、Rm）=Cp∞（Rn、Rm）/ mpk + 1 {\ displaystyle J_ {p} ^ {k}（{\ mathbb {R}} ^ {n}、{\ mathbb {R}} ^ {m}）= C_ {p} ^ {\ infty}（{\ mathbb {R}} ^ {n}、{\ mathbb {R}} ^ {m}）/ {\ mathfrak {m}} _ {p } ^ {k + 1}}

f：Rn→Rm {\ displaystyle f：{\ mathbb {R}} ^ {n} \ rightarrow {\ mathbb {R}} ^ {m}}が滑らかな関数である場合、 fの kジェットを定義できます。 Jpk（Rn、Rm）{\ displaystyle J_ {p} ^ {k}（{\ mathbb {R}} ^ {n}、{\ mathbb {R}} ^ {m}）}の要素としてのpセッティング

Jpkf = f（modmpk + 1）{\ displaystyle J_ {p} ^ {k} f = f {\ pmod {{\ mathfrak {m}} _ {p} ^ {k + 1}}}}

これはより一般的な構成です。 F {\ displaystyle \ mathbb {F}} -space M {\ displaystyle M}の場合、Fp {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {p}}をp {\ displaystyleの構造束の茎とします。 p}そしてmp {\ displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {p}}をローカルリングFp {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {p}}の最大理想値にします。 p {\ displaystyle p}のk番目のジェット空間は、リングJpk（M）= Fp / mpk + 1 {\ displaystyle J_ {p} ^ {k}（M）= {\ mathcal {F}} _と定義されます。 {p} / {\ mathfrak {m}} _ {p} ^ {k + 1}}（mpk + 1 {\ displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {p} ^ {k + 1}}は製品です理想の）。

テイラーの定理

定義に関係なく、テイラーの定理は、Jpk（Rn、Rm）{\ displaystyle J_ {p} ^ {k}（{\ mathbb {R}} ^ {n}、{\ mathbb {R }} ^ {m}）}およびRm /（z1、…、zn）k + 1 {\ displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {m} /（z_ {1}、\ dotsc、z_ {n}） ^ {k + 1}}。そのため、ユークリッドの文脈では、ジェットは通常、この同型の多項式表現で識別されます。

ポイントからポイントへのジェットスペース

ジェットの空間Jpk（Rn、Rm）{\ displaystyle J_ {p} ^ {k}（{\ mathbb {R}} ^ {n}、{\ mathbb {R}} ^ {m}）}を定義しましたポイントp∈Rn{\ displaystyle p \ in {\ mathbb {R}} ^ {n}}で。 f （ p ）= qであるような関数fのジェットで構成されるこれの部分空間

Jpk（Rn、Rm）q = {Jkf∈Jpk（Rn、Rm）∣f（p）= q} {\ displaystyle J_ {p} ^ {k}（{\ mathbb {R}} ^ {n}、{ \ mathbb {R}} ^ {m}）_ {q} = \ left \ {J ^ {k} f \ in J_ {p} ^ {k}（{\ mathbb {R}} ^ {n}、{ \ mathbb {R}} ^ {m}）\ mid f（p）= q \ right \}}

2つの多様体間の関数の噴流

MとNが2つの滑らかな多様体である場合、関数f：M→N {\ displaystyle f：M \ rightarrow N}のジェットをどのように定義しますか？ MとNのローカル座標を使用して、このようなジェットの定義を試みることができます。これの欠点は、ジェットを等変的に定義できないことです。ジェットはテンソルとして変換されません。代わりに、2つのマニホールド間の関数のジェットは、ジェットバンドルに属します。

このセクションでは、実線から多様体への関数の噴流の概念を紹介します。このようなジェットは、ジェットグループの関連バンドルである接線バンドルに類似した繊維バンドルを形成することが証明されています。 2つの滑らかな多様体間の関数のジェットを定義する問題に対処します。このセクションでは、ジェットへの分析的アプローチを採用しています。代数幾何学的アプローチはさらに多くのアプリケーションに適していますが、ここでは体系的に扱うには微妙すぎます。詳細については、jet（代数幾何学）を参照してください。

実線から多様体への関数の噴流

Mが点pを含む滑らかな多様体であると仮定します。 pを通る曲線のジェットを定義します。これにより、以降f （0）= pとなる平滑関数f：R→M {\ displaystyle f：{\ mathbb {R}} \ rightarrow M}を意味します。次のように、同値関係Epk {\ displaystyle E_ {p} ^ {k}}を定義します。 fとgをpを通る曲線のペアとします。その後、 pの近傍Uがある場合、 fおよびgはpの次数kと同等であり、すべての滑らかな関数φ：U→R {\ displaystyle \ varphi：U \ rightarrow {\ mathbb {R }}}、J0k（φ∘f）= J0k（φ∘g）{\ displaystyle J_ {0} ^ {k}（\ varphi \ circ f）= J_ {0} ^ {k}（\ varphi \ circ g ）}。複合関数φ∘f{\ displaystyle \ varphi \ circ f}およびφ∘g{\ displaystyle \ varphi \ circ g}は実際の線からそれ自体への単なるマッピングであるため、これらのジェットは明確に定義されていることに注意してください。この等価関係は、 pでの曲線間のk次の接触と呼ばれることもあります。

我々は今、！F \ \ JKF {\ displaystyle J ^ {K}を付し、{{P} ^ {K} \ displaystyle E_} EPK下Fの同値類であるとPを介してF曲線のk個のデジタル博物館を定義します}またはJ0kf {\ displaystyle J_ {0} ^ {k} f}。 k番目のジェット空間 J0k（R、M）p {\ displaystyle J_ {0} ^ {k}（{\ mathbb {R}}、M）_ {p}}は、 k -jetsのセットです。 pで。

pは Mにわたって変化するように、J0k（R、M）P {\ displaystyle J_ {0} ^ {K}（{\ mathbb {R}}、M）は_ {P}}はM上の繊維束形成：kは -文献でT k Mで示されることが多い（ただし、この表記は混乱を招く場合があります）。 k = 1の場合、1次接線束は通常の接線束T 1 M = TMです。

T k Mが実際に繊維束であることを証明するために、J0k（R、M）p {\ displaystyle J_ {0} ^ {k}（{\ mathbb {R}}、M）の特性を調べることは有益です。ローカル座標の_ {p}}。（ x i ）=（ x 1、...、 x n ）をpの近傍UにあるMのローカル座標系とします。表記を少し乱用しますが、（ x i ）は局所微分同相（xi）：M→Rn {\ displaystyle（x ^ {i}）：M \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n}}と見なすことができます。

請求。 Pを通るfおよびg二つの曲線は、等価モジュロEPK {\ displaystyle E_ {P} ^ {K}}場合にのみJ0k（（XI）∘f）= J0k（（XI）∘g）{\ displaystyle J_ {0 } ^ {k} \ left（（x ^ {i}）\ circ f \ right）= J_ {0} ^ {k} \ left（（x ^ {i}）\ circ g \ right）}。

実際、 n個の関数x 1、...、 x nのそれぞれがMからR {\ displaystyle {\ mathbb {R}}}までの滑らかな関数であるため、部分が明確な場合のみです 。したがって、等価関係Epk {\ displaystyle E_ {p} ^ {k}}の定義により、2つの等価曲線はJ0k（xi∘f）= J0k（xi∘g）{\ displaystyle J_ {0} ^ {k }（x ^ {i} \ circ f）= J_ {0} ^ {k}（x ^ {i} \ circ g）}。逆に、φが近傍のMの滑らかな実数値関数であると仮定します。 p 。すべての滑らかな関数にはローカル座標式があるため、座標の関数としてφを表現できます。特に、 Qがpに近いMの点である場合、φ（Q）=ψ（x1（Q）、…、xn（Q））{\ displaystyle \ varphi（Q）= \ psi（x ^ {1}（Q ）、\ dots、x ^ {n}（Q））} n個の実変数の滑らかな実数値関数ψ に対して 。したがって、2つの曲線fおよびgからpまでについて、φ∘f=ψ（x1∘f、…、xn∘f）{\ displaystyle \ varphi \ circ f = \ psi（x ^ {1} \ circ f、\ドット、x ^ {n} \ circ f）}φ∘g=ψ（x1∘g、…、xn∘g）{\ displaystyle \ varphi \ circ g = \ psi（x ^ {1} \ circ g、\ dots、x ^ {n} \ circ g）}チェーンルールは、クレームのif部分を確立するようになりました。たとえば、 fとgが実変数tの関数である場合、nddt（φ∘f）（t）| t = 0 = ∑i = 1nddt（xi∘f）（t）| t = 0（Diψ）∘f （0）{\ displaystyle \ left。{\ frac {d} {dt}} \ left（\ varphi \ circ f \ right）（t）\ right | _ {t = 0} = \ sum _ {i = 1 } ^ {n} \ left。{\ frac {d} {dt}}（x ^ {i} \ circ f）（t）\ right | _ {t = 0} \（D_ {i} \ psi）\ circ f（0）}これは、 fの代わりにgに対して評価したときに同じ式に等しく、 f （0）= g （0）= pであり、 fとgは座標系でk次の接触にあることを思い出してください（ x i ）。

したがって、表層繊維束T k Mは、各座標近傍で局所的な自明化を認めます。この時点で、この表面張力繊維束が実際に繊維束であることを証明するために、座標の変化の下で非特異な遷移関数を持っていることを確認するだけで十分です。（yi）：M→Rn {\ displaystyle（y ^ {i}）：M \ rightarrow {\ mathbb {R}} ^ {n}}を異なる座標系とし、ρ=（xi）∘（yi）とする−1：Rn→Rn {\ displaystyle \ rho =（x ^ {i}）\ circ（y ^ {i}）^ {-1}：{\ mathbb {R}} ^ {n} \ rightarrow {\ mathbb {R}} ^ {n}}は、ユークリッド空間自体の座標微分同相写像の関連する変化です。 Rn {\ displaystyle {\ mathbb {R}} ^ {n}}のアフィン変換により、一般性を失うことなく、ρ（0）= 0と仮定できます。この仮定では、J0kρ：J0k（Rn、Rn）→J0k（Rn、Rn）{\ displaystyle J_ {0} ^ {k} \ rho：J_ {0} ^ {k}（{\ mathbb {R}} ^ {n}、{\ mathbb {R}} ^ {n}）\ rightarrow J_ {0} ^ {k}（{\ mathbb {R}} ^ {n}、{\ mathbb {R} } ^ {n}）}は、ジェット合成の下での可逆変換です。（ジェットグループも参照してください。）しかし、ρは微分同相写像であるため、ρ−1 {\ displaystyle \ rho ^ {-1}}も滑らかなマッピングです。したがって、

I = J0kI = J0k（ρ∘ρ−1）= J0k（ρ）∘J0k（ρ−1）{\ displaystyle I = J_ {0} ^ {k} I = J_ {0} ^ {k}（\ rho \ circ \ rho ^ {-1}）= J_ {0} ^ {k}（\ rho）\ circ J_ {0} ^ {k}（\ rho ^ {-1}）}

J0kρ{\ displaystyle J_ {0} ^ {k} \ rho}が非特異であることを証明します。さらに、ここではその事実を証明していませんが、スムーズです。

直観的には、これはM上のローカル座標でのテイラー級数に関してpを通る曲線のジェットを表現できることを意味します。

ローカル座標の例：

前に示したように、 pを通る曲線の1ジェットは接線ベクトルです。 Pにおける接線ベクトルは、pで滑らかな実数値関数に作用する一次微分演算子です。ローカル座標では、すべての接線ベクトルの形式は

v = ∑ivi∂∂xi {\ displaystyle v = \ sum _ {i} v ^ {i} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}}}このような接線ベクトルvを与えて、 f xi∘f（t）= tvi {\ displaystyle x ^ {i} \ circ f（t）= tv ^ {i}}によってx i座標系で与えられる曲線であるR→R {\ displaystyle \ varphi \ CIRC F：φは、φ（P）= 0、thenφ∘fとPの近傍で滑らかな関数である場合{\ mathbb {R}} \ RIGHTARROWは{\ mathbb {R} }}は、1ジェットがJ01（φ∘f）（t）= tvi∂ϕ∂xi（p）で与えられる1つの変数の滑らかな実数値関数です。{\ displaystyle J_ {0} ^ {1}（\ varphi \ circ f）（t）= tv ^ {i} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial x ^ {i}}}（p）。}これは、ある点で接線ベクトルを自然に識別できることを証明しますその点を通る曲線の1ジェットで。

点を通る曲線の2ジェットの空間。

点pを中心とするローカル座標系xiでは、 xi （t）= tdxidt（0）+ t22d2xidt2。{\ displaystyle x ^ {i}（tで、曲線f （ t ）の2次Taylor多項式を表現できます。）= t {\ frac {dx ^ {i}} {dt}}（0）+ {\ frac {t ^ {2}} {2}} {\ frac {d ^ {2} x ^ {i}} {dt ^ {2}}}。したがって、 x座標系では、 pを通る曲線の2ジェットは実数のリスト（x˙i、x¨i）で識別されます{\ displaystyle（{\ dot {x}} ^ {i}、{\ ddot {x}} ^ {i}）}。点の接線ベクトル（曲線の1ジェット）と同様に、曲線の2ジェットは、座標遷移関数の適用時に変換則に従います。（ y i ）を別の座標系とします。チェーン規則により、ddtyi（x（t））=∂yi∂xj（x（t））dxjdt（t）d2dt2yi（x（t））=∂2yi∂xj∂xk（x（t））dxjdt（t ）dxkdt（t）+∂yi∂xj（x（t））d2xjdt2（t）{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {d} {dt}} y ^ {i}（x（t））＆= {\ frac {\ partial y ^ {i}} {\ partial x ^ {j}}}（x（t））{\ frac {dx ^ {j}} {dt}}（t）\\ { \ frac {d ^ {2}} {dt ^ {2}}} y ^ {i}（x（t））＆= {\ frac {\ partial ^ {2} y ^ {i}} {\ partial x ^ {j} \、\ partial x ^ {k}}}（x（t））{\ frac {dx ^ {j}} {dt}}（t）{\ frac {dx ^ {k}} {dt }}（t）+ {\ frac {\ partial y ^ {i}} {\ partial x ^ {j}}}（x（t））{\ frac {d ^ {2} x ^ {j}} { dt ^ {2}}}（t）\ end {aligned}}}したがって、変換法則は、 t = 0でこれらの2つの式を評価することによって与えられます。y˙i=∂yi∂xj（0）x˙jy¨i =∂2yi∂xj∂xk（0）x˙jx˙k+∂yi∂xk（0）x¨k。{\ displaystyle {\ begin {aligned}＆{\ dot {y}} ^ {i} = {\ frac {\ partial y ^ {i}} {\ partial x ^ {j}}}（0）{\ dot {x}} ^ {j} \\＆{\ ddot {y}} ^ {i} = { \ frac {\ partial ^ {2} y ^ {i}} {\ partial x ^ {j} \、\ partial x ^ {k}}}（0）{\ dot {x}} ^ {j} {\ドット{x}} ^ {k} + {\ frac {\ partial y ^ {i}} {\ partial x ^ {k}}}（0）{\ ddot {x}} ^ {k}。\ end {整列}}} 2ジェットの変換則は秒であることに注意してください座標遷移関数のオンオーダー。

多様体から多様体への関数の噴流

多様体から多様体への関数の噴流を定義する準備ができました。

MとNが2つの滑らかな多様体であると仮定します。 pをMの点とします。空間Cp∞（M、N）{\ displaystyle C_ {p} ^ {\ infty}（M、N）}を考えます。滑らかなマップf：M→N {\ displaystyle f：M \ rightarrow N}で構成されます。 pの近傍。次のように、Cp∞（M、N）{\ displaystyle C_ {p} ^ {\ infty}（M、N）}で等価関係Epk {\ displaystyle E_ {p} ^ {k}}を定義します。 2つのマップfとgは、すべての曲線γからpに対して同等であると言われます（慣例により、これはマッピングγ：R→M {\ displaystyle \ gamma：{\ mathbb {R}} \ rightarrow M} γ（0）= p {\ displaystyle \ gamma（0）= p}）のように、J0k（f∘γ）= J0k（g∘γ）{\ displaystyle J_ {0} ^ {k}（f \ circ \ gamma）= J_ {0} ^ {k}（g \ circ \ gamma）}の0の近傍。

ジェット空間Jpk（M、N）{\ displaystyle J_ {p} ^ {k}（M、N）}は、Cp∞（M、N）{\ displaystyle C_ {pの同値類のセットであると定義されます} ^ {\ infty}（M、N）}は、同値関係Epk {\ displaystyle E_ {p} ^ {k}}を法として計算します。ターゲット空間Nは代数構造を持つ必要がないため、Jpk（M、N）{\ displaystyle J_ {p} ^ {k}（M、N）}もそのような構造を持つ必要がないことに注意してください。実際、これはユークリッド空間の場合とは対照的です。

f：M→N {\ displaystyle f：M \ rightarrow N}がpの近くで定義された滑らかな関数である場合、 pでのfのkジェット、Jpkf {\ displaystyle J_ {p} ^ {k} f} 、 fモジュロEpk {\ displaystyle E_ {p} ^ {k}}の等価クラスになります。

マルチジェット

ジョンマザーはマルチジェットの概念を紹介しました。大まかに言って、マルチジェットは、異なるベースポイント上のジェットの有限リストです。マザーは、安定したマッピングの研究で使用したマルチジェット横断性定理を証明しました。

セクションのジェット

このサブセクションでは、ベクトルバンドルのローカルセクションのジェットの概念を扱います。このセクションのほとんどすべては、必要な変更を加えて、ファイバーバンドルのローカルセクション、バナッハ多様体上のバナッハ束、ファイバー多様体、またはスキーム上の準コヒーレントシーブの場合に一般化します。さらに、考えられる一般化のこれらの例は、網羅的なものではありません。

Eが、射影π：E→M {\ displaystyle \ pi：E \ rightarrow M}の多様体M上の有限次元の滑らかなベクトルバンドルであると仮定します。 Eのセクションは、滑らかな関数s：M→E {\ displaystyle s：M \ rightarrow E}であり、π∘s{\ displaystyle \ pi \ circ s}はMの恒等自己同型です。点pの近傍にわたる区間Sの噴流は、PにおけるMからEへ、この平滑関数のちょうどジェットです。

pのセクションのジェットのスペースは、Jpk（M、E）{\ displaystyle J_ {p} ^ {k}（M、E）}で示されます。この表記法は、2つの多様体間の関数のより一般的なジェット空間との混乱を招く可能性がありますが、通常、このようなあいまいさは文脈によって排除されます。

多様体から別の多様体への関数のジェットとは異なり、 pのセクションのジェットの空間は、セクション自体のベクトル空間構造から継承されたベクトル空間の構造を保持します。 pがM上で変化するため、ジェット空間Jpk（M、E）{\ displaystyle J_ {p} ^ {k}（M、E）}はM上のベクトルバンドル、Eのk次ジェットバンドルを形成します。 J k （ E ）で示されます。

例：接線バンドルの1次ジェットバンドル。

ある時点でローカル座標で作業します。 Mのpの近傍にあるベクトルフィールドv = vi（x）∂/∂xi{\ displaystyle v = v ^ {i}（x）\ partial / \ partial x ^ {i}}を考えます。 vの1ジェットは、ベクトル場の係数の1次テイラー多項式を取得することによって取得されます。vi（x）= vi（0）+xj∂vi∂xj（0）= vi + vjixj。{\ displaystyle v ^ {i}（x）= v ^ {i}（0）+ x ^ {j} {\ frac {\ partial v ^ {i}} {\ partial x ^ {j}}}（0）= v ^ {i} + v_ {j} ^ {i} x ^ {j}。} x座標では、ある点での1ジェットは実数のリスト（vi、vji）{\ displaystyle（ v ^ {i}、v_ {j} ^ {i}）}。点での接線ベクトルをリスト（ vi ）で識別できるのと同じ方法で、座標遷移の下で特定の変換則に従って、リスト（vi、vji）{\ displaystyle（v ^ { i}、v_ {j} ^ {i}）}は遷移の影響を受けます。 したがって 、別の座標系y iに渡す際の変換則を考慮してください。 wkを y座標のベクトル場vの係数とします。次に、 y座標では、 vの 1ジェットは実数の新しいリスト（wi、wji）{\ displaystyle（w ^ {i}、w_ {j} ^ {i}）}です。 v = wk（y）∂/∂yk= vi（x）∂/∂xi、{\ displaystyle v = w ^ {k}（y）\ partial / \ partial y ^ {k} = v ^ {i}（ x）\ partial / \ partial x ^ {i}、}それに続くのはwk（y）= vi（x）∂yk∂xi（x）。{\ displaystyle w ^ {k}（y）= v ^ {i} （x）{\ frac {\ partial y ^ {k}} {\ partial x ^ {i}}}（x）。} Sowk（0）+yj∂wk∂yj（0）=（vi（0）+ xj∂vi∂xj）∂yk∂xi（x）{\ displaystyle w ^ {k}（0）+ y ^ {j} {\ frac {\ partial w ^ {k}} {\ partial y ^ {j} }}（0）= \ left（v ^ {i}（0）+ x ^ {j} {\ frac {\ partial v ^ {i}} {\ partial x ^ {j}}} \ right）{\ frac {\ partial y ^ {k}} {\ partial x ^ {i}}}（x）}テイラー級数で展開すると、wk =∂yk∂xi（0）vi {\ displaystyle w ^ {k} = {\ frac {\ partial y ^ {k}} {\ partial x ^ {i}}}（0）v ^ {i}} wjk =vi∂2yk∂xi∂xj+vji∂yk∂xi。{\ displaystyle w_ {j} ^ {k} = v ^ {i} {\ frac {\ partial ^ {2} y ^ {k}} {\ partial x ^ {i} \、\ partial x ^ {j}}} + v_ {j} ^ {i} {\ frac {\ partial y ^ {k}} {\ partial x ^ {i}}}。}座標変換関数の変換則は2次であることに注意してください。

ベクトルバンドル間の微分演算子

微分演算子の座標に依存しない説明を参照してください。