既約分数
既約分数 （または最低項の 分数または簡約分数 ）は、分子と分母が1（および負の数が考慮される場合は-1）以外の公約数を持たない整数である分数です。換言すれば、画分a/bであれば既約であり、そしてBは 「 既約分数 」 はまた、合理画分を指すことができる、より高い数学で1の最大公約数を有する場合、bは 、すなわち、互いに素である場合にのみ分子と分母が互いに素な多項式になるように。すべての正の有理数は、厳密に1つの方法で既約分数として表すことができます。
同等の定義が便利である場合があります：、bが整数である場合、分数A / Bは 、他の同等の画分c / dのようがない場合に限り、既約です| c | | |または| d | | b |、どこ| | aの絶対値を意味します。 （2つの分数a ⁄ bおよびc ⁄ dは、 ad = bcの場合にのみ等しいか同等です。）
たとえば、1⁄4、5⁄6、および-101⁄100はすべて既約分数です。一方、2⁄4は値が1⁄2に等しく、1⁄2の分子が2⁄4の分子よりも小さいため、2⁄4は還元可能です。
還元可能な分数は、分子と分母の両方を共通の因子で除算することで削減できます。両方を最大公約数で除算すると、最低項まで完全に削減できます。最大公約数を見つけるには、ユークリッドアルゴリズムまたは素因数分解を使用できます。ユークリッドアルゴリズムは、分子と分母が大きすぎて簡単に因数分解できない分数を減らすことができるため、一般的に好まれます。
例
12090 = 129 = 43。{\ displaystyle {\ frac {120} {90}} = {\ frac {12} {9}} = {\ frac {4} {3}} \ ,.}最初のステップでは、両方の数値を10で割った。これは、120と90の両方に共通する係数です。2番目のステップでは、3で割った。4と3は、 1以外の一般的な要因はありません。
また、90と120の最大公約数である30（つまり、gcd（90,120）= 30）を使用することにより、元の分数を1ステップで減らすこともできました。
12090 = 43。{\ displaystyle {\ frac {120} {90}} = {\ frac {4} {3}} \ ,.}どの方法が「手作業」で高速化されるかは、割合と一般的な要因の発見のしやすさに依存します。分母と分子が大きすぎて検査で互いに素であることを保証できない場合、分数が実際に既約であることを保証するには最大の公約数計算が必要です。
一意性
すべての有理数には、正の分母を持つ既約分数として一意の表現があります（ただし、23 = -2-3 {\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}} = {\ tfrac {-2} {-3}}}両方とも既約ですが）。 ab = cd {\ displaystyle {\ tfrac {a} {b}} = {\ tfrac {c} {d}}}はad = bcを意味するため、一意性は整数の一意の素因数分解の結果です。後者は同じ素因数分解を共有する必要がありますが、a {\ displaystyle a}とb {\ displaystyle b}は素因数を共有しないため、a {\ displaystyle a}の素因数セット（多重度あり）はそれらのサブセットですc {\ displaystyle c}およびその逆は、a = c {\ displaystyle a = c}およびb = d {\ displaystyle b = d}を意味します。
用途
任意の有理数が既約分数として一意の表現を持っているという事実は、2の平方根や他の無理数の非合理性のさまざまな証明に利用されます。例えば、一つの証拠は、2の平方根が整数の比として表すことができれば、それは完全に還元表現AB {\ displaystyle {\ tfrac {A}、{B}}}ここで、特になければならないことに注意しますbは可能な限り小さいです。ただし、ab {\ displaystyle {\ tfrac {a} {b}}}は2の平方根に等しいため、2b-aa-b {\ displaystyle {\ tfrac {2b-a} {ab}}}（これをab {\ displaystyle {\ tfrac {a} {b}}}とクロス乗算すると、それらが等しいことを示します）。後者は小さい整数の比率であるため、これは矛盾であり、2つの整数の比率が偽であるため、2の平方根が表現されるという前提は誤りです。
一般化
既約分数の概念は、一意の因数分解ドメインの分数のフィールドに一般化されます。そのようなフィールドの要素は、両方を最大公約数で割ることにより、分母と分子が互いに素である分数として記述できます。これは、フィールド上の有理式に特に当てはまります。特定の要素の既約分数は、分母と分子に同じ可逆要素を乗算するまで一意です。有理数の場合、これは、分子と分母の両方の符号の変化によって関連付けられた、任意の数に2つの既約分数があることを意味します。この曖昧さは、分母を正にすることを要求することにより除去できます。有理関数の場合、分母は同様にモニック多項式である必要があります。
