補間空間
数学的分析の分野では、 補間空間は他の2つのバナッハ空間の「間にある」空間です。主な用途は、ソボレフ空間であり、整数ではない数の導関数を持つ関数の空間は、整数の導関数を持つ関数の空間から補間されます。
歴史
ベクトル空間の内挿の理論は、後に一般化され、現在ではリース＝トーリンの定理として知られているヨゼフ・マルシンキエヴィッチの観察から始まりました。簡単に言えば、線形関数が特定の空間Lpと特定の空間Lqで連続している場合、pとqの間の中間rについても、空間Lrで連続しています。つまり、 LrはLpとLqの中間の空間です。
ソボレフ空間の開発において、トレース空間は通常の関数空間（整数の導関数を持つ）のどれでもないことが明らかになり、ジャック・ルイ・ライオンズはこれらのトレース空間が実際に非整数度を持つ関数で構成されていることを発見しました微分可能性の。
多くの方法は、フーリエ変換、複素補間、実補間、その他のツールを含む関数のそのような空間を生成するために設計されました（例えば、分数微分を参照）。
補間の設定
XからZへの包含マップが連続するようにXがZの線形部分空間である場合、バナッハ空間Xはハウスドルフ位相ベクトル空間Zに連続的に埋め込まれると言われています。バナッハ空間の互換性のあるカップル （ X 0、 X 1）は、同じハウスドルフ位相ベクトル空間Zに連続して埋め込まれた2つのバナッハ空間X 0およびX 1で構成されます。線形空間Zへの埋め込みにより、
X0∩X1{\ displaystyle X_ {0} \ cap X_ {1}}そして
X0 + X1 = {z∈Z：z = x0 + x1、x0∈X0、x1∈X1}。{\ displaystyle X_ {0} + X_ {1} = \ left \ {z \ in Z：z = x_ { 0} + x_ {1}、\ x_ {0} \ in X_ {0}、\、x_ {1} \ in X_ {1} \ right \}。}補間は、それは、X 0およびX 1は、大きなスペースZに占める特定の相対位置から不可欠な方法で依存のみX 0とX 1の同型（もアイソメトリック）等価クラスに依存しません
一つは、によってX 0∩のX 1及びX 0 + X 1上のノルムを定義することができ
‖x‖X0∩X1：= max（‖x‖X0、‖x‖X1）、{\ displaystyle \ | x \ | _ {X_ {0} \ cap X_ {1}}：= \ max \ left（\ left \ | x \ right \ | _ {X_ {0}}、\ left \ | x \ right \ | _ {X_ {1}} \ right）、}‖x‖X0+ X1：= inf {‖x0‖ X0 +‖x1‖X1：x = x0 + x1、x0∈X0、x1∈X1}。{\ displaystyle \ | x \ | _ {X_ {0} + X_ {1}}：= \ inf \ left \ {\ left \ | x_ {0} \ right \ | _ {X_ {0}} + \ left \ | x_ {1} \ right \ | _ {X_ {1}} \：\ x = x_ {0} + x_ { 1}、\; x_ {0} \ in X_ {0}、\; x_ {1} \ in X_ {1} \ right \}。}これらの規範を備えた交差点と合計がバナッハ空間です。次のインクルージョンはすべて連続しています。
X0∩X1⊂X0、X1⊂X0+ X1。{\ displaystyle X_ {0} \ cap X_ {1} \ subset X_ {0}、\ X_ {1} \ subset X_ {0} + X_ {1}。内挿は、 X 0とX 1の中間の空間である空間Xのファミリーを研究します。
X0∩X1⊂X⊂X0+ X1、{\ displaystyle X_ {0} \ cap X_ {1} \ subset X \ subset X_ {0} + X_ {1}、}ここで、2つの包含マップは連続しています。
このような状況の例は、2つのバナッハ空間を連続的測度収束のトポロジーを備えた実際のライン上の測定機能、の空間Zに埋め込まれた一対（L 1（R）、L∞（R））、あります。この状況では、1つの≤Pさ ≤∞のためのスペースのLp（R） は 、L 1（R） およびL∞（R）との間の中間です。より一般的には、
Lp0（R）∩Lp1（R）⊂Lp（R）⊂Lp0（R）+ Lp1（R）、1≤p0≤p≤p1≤∞の場合、{\ displaystyle L ^ {p_ {0}}（\ mathbf {R}）\ cap L ^ {p_ {1}}（\ mathbf {R}）\ subset L ^ {p}（\ mathbf {R}）\ subset L ^ {p_ {0}}（\ mathbf {R }）+ L ^ {p_ {1}}（\ mathbf {R}）、\ \ {\ text {when}} \ \ 1 \ leq p_ {0} \ leq p \ leq p_ {1} \ leq \ infty 、}連続注入の場合、所定の条件下で、 Lp （ R ）はL p 0（ R ）とL p 1（ R ）の中間になります。
定義。 2つの互換性のあるカップル（ X 0、 X 1）および（ Y 0、 Y 1）が与えられた場合、 補間ペアは次の2つのプロパティを持つバナッハ空間のカップル（ X 、 Y ）です。- 空間XはX 0とX 1の中間であり、 YはY 0とY 1の中間です。
- Lは、X 0 + X 1からY 1まで連続X 0 Y 0及びX 1をマップY 0 + Y 1、どんな線形演算子である場合、それはまた、YにXを連続的にマッピングします。
次のような定数Cが存在する場合、補間ペア（ X 、 Y ）は指数θ （0 θ 1）であると言われます
‖L‖X、Y≤C‖L‖X0、Y01−θ‖L‖X1、Y1θ{\ displaystyle \ | L \ | _ {X、Y} \ leq C \ | L \ | _ {X_ {0} 、Y_ {0}} ^ {1- \ theta} \; \ | L \ | _ {X_ {1}、Y_ {1}} ^ {\ theta}}上記のすべての演算子Lに対して。表記|| L || X 、 Yは、 XからYへのマップとしてのLのノルムです。 C = 1の場合、（ X 、 Y ）は指数θの正確な補間ペアであると言います。
複雑な補間
スカラーが複素数の場合、複素解析関数のプロパティを使用して補間空間が定義されます。バナッハ空間の互換性のあるカップル（ X 0、 X 1）が与えられると、線形空間F（X0、X1）{\ displaystyle {\ mathcal {F}}（X_ {0}、X_ {1}）}はすべての関数で構成されますF：C→X 0 + X 1、S = {Z 0 再（Z）1}上の分析であること、S = ON連続{Z：0≤のRe（Z）≤1}、及びそのためのすべて次のサブセットが制限されています。
{F（z）は 、Z∈S}⊂X 0 + X 1、{F（IT）：T∈R}⊂X 0、{F（ これ + 1）T∈R}⊂X 1。F（X0、X1）{\ displaystyle {\ mathcal {F}}（X_ {0}、X_ {1}）}は標準のバナッハ空間です
‖f‖F（X0、X1）= max {supt∈R‖f（it）‖X0、supt∈R‖f（1 + it）‖X1}。{\ displaystyle \ | f \ | _ {{\ mathcal {F}}（X_ {0}、X_ {1}）} = \ max \ left \ {\ sup _ {t \ in \ mathbf {R}} \ | f（it）\ | _ {X_ {0} }、\; \ sup _ {t \ in \ mathbf {R}} \ | f（1 + it）\ | _ {X_ {1}} \ right \}。}定義。 0 θ 1の場合、 複素補間空間 （ X 0、 X 1） θは、関数の前の空間でfが変化するとき、すべての値f （ θ ）で構成されるX 0 + X 1の線形部分空間です。
（X0、X1）θ= {x∈X0+ X1：x = f（θ）、f∈F（X0、X1）}。{\ displaystyle（X_ {0}、X_ {1}）_ {\ theta} = \ left \ {x \ in X_ {0} + X_ {1}：x = f（\ theta）、\; f \ in {\ mathcal {F}}（X_ {0}、X_ {1}）\右\}。}複素補間空間（ X 0、 X 1） θのノルムは、
‖x‖θ= inf {‖f‖F（X0、X1）：f（θ）= x、f∈F（X0、X1）}。{\ displaystyle \ \ | x \ | _ {\ theta} = \ inf \ left \ {\ | f \ | _ {{\ mathcal {F}}（X_ {0}、X_ {1}）} \：\ f（\ theta）= x、\; f \ in {\ mathcal {F}}（X_ {0}、X_ {1}）\ right \}。}この標準を備えた複素補間空間（ X 0、 X 1） θはバナッハ空間です。
定理。バナッハ空間の2つの互換性のあるカップル（ X 0、 X 1）および（ Y 0、 Y 1）が与えられた場合、ペア（（ X 0、 X 1） θ 、（ Y 0、 Y 1） θ ）は、指数θ、つまり、 T ： X 0 + X 1→ Y 0 + Y 1がXjからYjに境界付けられた線形演算子である場合、 j = 0、1、Tは（ X 0、 X 1） θに境界付けられます（ Y 0、 Y 1） θおよび‖T‖θ≤‖T‖01−θ‖T‖1θ。{\ displaystyle \ | T \ | _ {\ theta} \ leq \ | T \ | _ {0} ^ {1- \ theta} \ | T \ | _ {1} ^ {\ theta}。}Lp空間のファミリー（複素数値の関数で構成される）は、複素補間の下でうまく機能します。 （Rは 、Σは、μ）を任意の尺度空間がある場合、1つの≤P 0、P 1≤∞及び0 θ1、次いで、もし
（Lp0（R、Σ、μ）、Lp1（R、Σ、μ））θ= Lp（R、Σ、μ）、1p = 1−θp0 +θp1、{\ displaystyle \ left（L ^ {p_ {0 }}（R、\ Sigma、\ mu）、L ^ {p_ {1}}（R、\ Sigma、\ mu）\ right）_ {\ theta} = L ^ {p}（R、\ Sigma、\ mu）、\ qquad {\ frac {1} {p}} = {\ frac {1- \ theta} {p_ {0}}} + {\ frac {\ theta} {p_ {1}}}、}規範の平等で。この事実は、リース＝トーリンの定理と密接に関連しています。
実際の補間
実際の補間方法を導入するには、2つの方法があります。補間空間の例を実際に識別するときに最初に使用される最も一般的な方法は、K法です。 2番目のメソッドであるJメソッドは、パラメーターθが（0、1）にある場合、Kメソッドと同じ補間空間を与えます。 J方式とK方式が一致することは、補間空間の双対の研究にとって重要です。基本的に、K方式によって構築された補間空間の双対は、J方式によって双対から構築される空間のようです。下記参照。
K法
実数の内挿のKメソッドは、実数の体R上のバナッハ空間に使用できます。
定義。 （ X 0、 X 1）を互換性のあるBanachスペースのカップルにします。 トンのための> 0と、すべてのx∈X 0 + X 1、聞かせて
K（x、t; X0、X1）= inf {‖x0‖X0+t‖x1‖X1：x = x0 + x1、x0∈X0、x1∈X1}。{\ displaystyle K（x、t; X_ { 0}、X_ {1}）= \ inf \ left \ {\ left \ | x_ {0} \ right \ | _ {X_ {0}} + t \ left \ | x_ {1} \ right \ | _ { X_ {1}}：\ x = x_ {0} + x_ {1}、\; x_ {0} \ in X_ {0}、\、x_ {1} \ in X_ {1} \ right \}。 }2つのスペースの順序を変更すると、次の結果になります。
K（x、t; X0、X1）= tK（x、t−1; X1、X0）。{\ displaystyle K（x、t; X_ {0}、X_ {1}）= tK \ left（x、 t ^ {-1}; X_ {1}、X_ {0} \ right）。}させる
‖x‖θ、q; K =（∫0∞（t−θK（x、t; X0、X1））qdtt）1q、0 θ1,1≤q∞、‖x‖θ、∞; K = supt> 0t−θK（x、t; X0、X1）、0≤θ≤1。{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ | x \ | _ {\ theta、q; K}＆= \ left （\ int _ {0} ^ {\ infty} \ left（t ^ {-\ theta} K（x、t; X_ {0}、X_ {1}）\ right）^ {q} \、{\ tfrac {dt} {t}} \ right）^ {\ frac {1} {q}}、&& 0 \ theta 1,1 \ leq q \ infty、\\\ | x \ | _ {\ theta、\ infty; K}＆= \ sup _ {t> 0} \; t ^ {-\ theta} K（x、t; X_ {0}、X_ {1}）、&& 0 \ leq \ theta \ leq 1. \ end {aligned}}}実際の補間のK-方法は、Kθ、Q取ることからなる（X 0、X 1）のように全てのxからなるX 0 + X 1の線形部分空間であることが|| x || θ 、 q ; K ∞。
例（; L 1、Lの ∞T、F）を明示的に計算することができる重要な例は、機能Kカップル （L 1（R、Σ、μ）、Lは ∞（R、Σ、μ））、のことです。測度μはσ有限と想定されます。この文脈において、関数fを切断する最良の方法∈L 1 + Lの ∞2つの関数の和として> 0一部sがに、tの関数として選択される0∈L 1及びf 1∈Lが ∞であり、fは F 1（x）はすべてのx∈Rによってために与えられたとします
f1（x）= {f（x）| f（x）| s、sf（x）| f（x）|そうでない場合{\ displaystyle f_ {1}（x）= {\ begin {cases} f（x ）＆| f（x）| s、\\ {\ frac {sf（x）} {| f（x）|}}＆{\ text {otherwise}} \ end {cases}}}sの最適な選択は、式につながります
K（f、t; L1、L∞）=∫0tf∗（u）du、{\ displaystyle K \ left（f、t; L ^ {1}、L ^ {\ infty} \ right）= \ int _ {0} ^ {t} f ^ {*}（u）\、du、}ここで、f *がfの減少再配置です。
Jメソッド
Kメソッドと同様に、Jメソッドは実際のバナッハ空間に使用できます。
定義。 （ X 0、 X 1）を互換性のあるBanachスペースのカップルにします。 T> 0のため、すべてのベクトルのx∈X 0∩X 1のために、せ
J（x、t; X0、X1）= max（‖x‖X0、t‖x‖X1）。{\ displaystyle J（x、t; X_ {0}、X_ {1}）= \ max \ left（ \ | x \ | _ {X_ {0}}、t \ | x \ | _ {X_ {1}} \ right）。}場合X 0 + X 1のベクトルxは補間空間Jを θ、Q（X 0、X 1）に属し、それはのように書くことができる場合にのみ
x =∫0∞v（t）dtt、{\ displaystyle x = \ int _ {0} ^ {\ infty} v（t）\、{\ frac {dt} {t}}、}V（t）が 0∩X 1となるようにXの値を用いて測定可能です
Φ（v）=（∫0∞（t−θJ（v（t）、t; X0、X1））qdtt）1q ∞。{\ displaystyle \ Phi（v）= \ left（\ int _ {0} ^ {\ infty} \ left（t ^ {-\ theta} J（v（t）、t; X_ {0}、X_ {1}）\ right）^ {q} \、{\ tfrac {dt} { t}} \ right）^ {\ frac {1} {q}} \ infty。}Jの θ、Q（X 0、X 1）におけるxのノルムは、次式によって与えられます。
‖x‖θ、q; J：= infv {Φ（v）：x =∫0∞v（t）dtt}。{\ displaystyle \ | x \ | _ {\ theta、q; J}：= \ inf _ {v} \ left \ {\ Phi（v）\：\ x = \ int _ {0} ^ {\ infty} v（t）\、{\ tfrac {dt} {t}} \ right \} }補間方法の関係
0 θ 1の場合、2つの実際の補間方法は同等です。
定理。 （ X 0、 X 1）を互換性のあるBanachスペースのカップルにします。もし0 θ1,1≤Qさ ≤∞、次いでJθ、Q（X0、X1）=Kθ、Q（X0、X1）、{\ displaystyleのJ _ {\シータ、Q}（X_ {0}、X_ { 1}）= K _ {\ theta、q}（X_ {0}、X_ {1}）、}ノルムの等価性。定理は、除外されていない縮退した場合を対象としています。たとえば、 X 0とX 1が直接和を形成する場合、交差点とJ空間はヌル空間であり、単純な計算ではK空間もヌルであることが示されます。
0 θ 1の場合、同等のレノーニングまで、パラメーターθおよびqを使用した実際の補間法によって得られたバナッハ空間について話すことができます。この実際の補間空間の表記は（ X 0、 X 1） θ 、 qです。ひとつある
（X0、X1）θ、q =（X1、X0）1-θ、q、0 θ1,1≤q≤∞。{\ displaystyle（X_ {0}、X_ {1}）_ {\ theta 、q} =（X_ {1}、X_ {0}）_ {1- \ theta、q}、\ qquad 0 \ theta 1,1 \ leq q \ leq \ infty。}θの所与の値に対して、実際の補間空間は、Qと共に増加0 θ1,1≤Qの ≤rは ≤∞、以下の連続的な包含が成立する場合：
（X0、X1）θ、q⊂（X0、X1）θ、r。{\ displaystyle（X_ {0}、X_ {1}）_ {\ theta、q} \ subset（X_ {0}、X_ {1 }）_ {\ theta、r}。} 定理。所与0 θ1、1つの≤Q≤∞と互換性のある2つのカップル（X 0、X 1）及び（Y 0、Y 1）、組（（X 0、X 1）θ、qは 、（Y 0、 Y 1） θ 、 q ）は、指数θの正確な補間ペアです。複雑な補間空間は通常、実際の補間法によって与えられる空間の1つと同型ではありません。ただし、一般的な関係があります。
定理。 （ X 0、 X 1）を互換性のあるBanachスペースのカップルにします。 0 θ 1の場合、（X0、X1）θ、1⊂（X0、X1）θ⊂（X0、X1）θ、∞。{\ displaystyle（X_ {0}、X_ {1}）_ {\ theta、1} \ subset（X_ {0}、X_ {1}）_ {\ theta} \ subset（X_ {0}、X_ {1}）_ {\ theta、\ infty}。}例X 0 = C （）およびX 1 = C 1（）の場合、連続微分可能な関数の空間、（ θ 、∞）補間法、0 θ 1の場合、ヘルダー空間C 0、指数のθ θ。これは、このカップルのK-機能K （ f 、 t ; X 0、 X 1）が次と等しいためです。
sup {| f（u）|、| f（u）−f（v）| 1 + t-1 | u−v | ：u、v∈}。{\ displaystyle \ sup \ left \ {| f（u）|、\、{\ frac {| f（u）-f（v）|} {1 + t ^ {-1} | uv |}} \：\ u、v \ in \ right \}。}ここで興味深いのは、値0 t 1のみです。
Lp空間間の実際の補間により、ローレンツ空間のファミリーが得られます。 0 θ1と1≤q個の ≤の∞を仮定すると、1があります。
（L1（R、Σ、μ）、L∞（R、Σ、μ））θ、q = Lp、q（R、Σ、μ）、ここで1p = 1−θ、{\ displaystyle \ left（L ^ {1}（\ mathbf {R}、\ Sigma、\ mu）、L ^ {\ infty}（\ mathbf {R}、\ Sigma、\ mu）\ right）_ {\ theta、q} = L ^ { p、q}（\ mathbf {R}、\ Sigma、\ mu）、\ qquad {\ text {where}} {\ tfrac {1} {p}} = 1- \ theta、}同等の基準を持つ。これは、ハーディの不等式と、この互換性のあるカップルの上記のK関数の値から得られます。 q = pの場合、ローレンツ空間L p 、 pはLpに等しくなり、レノーミングまで続きます。 q =∞の場合、ローレンツ空間L p 、∞はweak- Lpに等しくなります。
反復定理
互換性のあるカップルの中間空間X（ X 0、 X 1）は、次の場合にクラスθであると言われます。
（X0、X1）θ、1⊂X⊂（X0、X1）θ、∞、{\ displaystyle（X_ {0}、X_ {1}）_ {\ theta、1} \ subset X \ subset（X_ {0 }、X_ {1}）_ {\ theta、\ infty}、}連続注射で。すべての実際の補間スペース横（X 0、X 1）θ、パラメータθ及び1≤Qさ ≤∞、複雑な補間空間（X 0、X 1）θは、互換性のカップルのクラスθの中間空間があると、Q（X 0、 X 1）。
繰り返し定理は、本質的に、パラメーターθで補間すると、何らかの方法で、凸の組み合わせa =（1- θ ） x 0 + θx1 ：を形成するように振る舞うと言います：組み合わせ。
定理。 0、1、互換性カップルの中間空間とする（X 0、X 1）、クラスθ0とそれぞれθ1と0 θ0≠θ1 1、0 θ1,1≤ Q≤∞は、一方が（A0、A1）を有し、θ、Q =（X0、X1）η、qは、η=（1-θ）θ0+θθ1。{\ displaystyle（A_ {0}、A_ {1}）_ {\ theta、q} =（X_ {0}、X_ {1}）_ {\ eta、q}、\ qquad \ eta =（1- \ theta）\ theta _ {0} + \ theta \ theta _ { 1}。}A 0 =（ X 0、 X 1） θ0 、 q 0とA 1 =（ X 0、 X 1） θ1 、 q 1の間で実際の方法で補間する場合、 θ0とθ1の問題。また、 A 0とA 1は、それぞれパラメーターθ0とθ1を使用して、 X 0とX 1の間の複雑な補間空間にすることができます。
複雑な方法の反復定理もあります。
定理。 （X 0、X 1）は、複雑なバナッハ空間の互換性カップルであるとすると、X 1、そのX 0∩はX 0に緻密であり、X 1 0 =（X 0、X 1）とすると仮定θ0とA 0≤θ0≤θ1≤1は、さらに、そのX 0∩X 1を想定1 =（X 0、X 1）θ1は、すべての0≤θ≤1に対して、0そして1∩で密です（（X0、X1）θ0、（X0、X1）θ1）θ=（X0、X1）η、η=（1−θ）θ0+θθ1。{\ displaystyle \ left（\ left（X_ {0}、X_ {1} \ right）_ {\ theta _ {0}}、\ left（X_ {0}、X_ {1} \ right）_ {\ theta _ {1}} \ right）_ {\ theta} =（ X_ {0}、X_ {1}）_ {\ eta}、\ qquad \ eta =（1- \ theta）\ theta _ {0} + \ theta \ theta _ {1}。}密度条件が常に満たされたときX 0⊂X 1又はX 1⊂X 0。
二元性
ましょう（X 0、X 1）互換性カップルである、と仮定するX 0∩X 1は、この場合、X 0及びX 1に密である、（連続的な）デュアルXjの{\ displaystyle Xからの制限マップ「_ Xjのの{J}}、J = 0、1、X 0∩X 1の二重には一対一です。双対のペア（X0 '、X1'）{\ displaystyle \ left（X '_ {0}、X' _ {1} \ right）}は、双対に連続して埋め込まれた互換性のあるカップル（ X 0∩ X 1） '。
複素補間法の場合、次の双対性の結果が保持されます。
定理。複合体のその後の二重、（X 0、X 1）は、複雑なバナッハ空間の互換性のカップルとすると、X 0およびX 1は反射的であればX 1そのX 0∩はX 0にし、X 1で密であると仮定補間空間は、双対を補間することによって得られます、（（X0、X1）θ） '=（X0'、X1 '）θ、0 θ1。{\ displaystyle（（X_ {0}、X_ {1}）_ {\ theta}） '= \ left（X' _ {0}、X '_ {1} \ right）_ {\ theta}、\ qquad 0 \ theta 1。}一般に、双対空間（ X 0、 X 1） θは（X0 '、X1'）θ、{\ displaystyle \ left（X '_ {0}、X' _ {1} \ right）と等しくなります^ {\ theta}、}複雑なメソッドのバリアントによって定義されたスペース。上部θ法と下部θ法は一般的に一致しませんが、 X 0、 X 1の少なくとも1つが反射空間である場合は一致します。
実際の内挿法では、パラメーターqが有限であるという条件で双対性が保持されます。
定理。 0 θ 1、1≤q ∞および（ X 0、 X 1）互換性のある実際のバナッハ空間のカップルとします。 0∩X 1は、X 0およびその後X 1（（X0、X1）θ、Q） '=（X0'、X1 '）θ、Q'は、{\ displaystyleの\左（\左に緻密であるXを仮定（X_ {0}、X_ {1} \ right）_ {\ theta、q} \ right） '= \ left（X' _ {0}、X '_ {1} \ right）_ {\ theta、q '}、}ここで1q' = 1−1q。{\ displaystyle {\ tfrac {1} {q '}} = 1-{\ tfrac {1} {q}}。}個別の定義
関数tー →K（x、t）は （それが増加しているが、1 / Tの K（x、t）が減少している）、Kθの定義、QノルムベクトルのN、以前によって与え定期的に変化するので整数は、シリーズで指定された定義と同等です。この系列は、（0、∞）を、メジャーd t / tに対して等しい質量の部分（2 n 、2 n +1）に分割することによって取得されます
‖x‖θ、q;K≃（∑n∈Z（2−θnK（x、2n; X0、X1））q）1q。{\ displaystyle \ | x \ | _ {\ theta、q; K} \ simeq \ left（\ sum _ {n \ in \ mathbf {Z}} \ left（2 ^ {-\ theta n} K \ left（x、2 ^ {n}; X_ {0}、X_ {1} \ right）\ right）^ {q} \ right）^ {\ frac {1} {q}}。}X 0がX 1に連続して埋め込まれている特別な場合、負のインデックスnを持つ系列の部分を省略することができます。この場合、X→Kの各機能（X、2 Nであり; X 0、X 1）X 1で同等のノルムを定義します。
補間空間（ X 0、 X 1） θ 、 qは、バナッハ空間のシーケンスのeach q-和の「対角部分空間」です（それぞれがX 0 + X 1と同型）。 Qは、（X 0、X 1）の二重有限である場合したがって、θ、qはのために、以下の式を導く1 / P + 1 / Q = 1、、双対のℓPは -sumの商であります離散Jθを 、（X 0、X 1）θのデュアル機能X」のp個のノルム、Q：
‖x′‖θ、p;J≃inf{（∑n∈Z（2θnmax（‖xn′‖X0 ′、2-n‖xn′‖X1′））p）1p：x ′= ∑n∈Zxn′ }。{\ displaystyle \ | x '\ | _ {\ theta、p; J} \ simeq \ inf \ left \ {\ left（\ sum _ {n \ in \ mathbf {Z}} \ left（2 ^ { \ theta n} \ max \ left（\ left \ | x '_ {n} \ right \ | _ {X' _ {0}}、2 ^ {-n} \ left \ | x '_ {n} \ right \ | _ {X '_ {1}} \ right）\ right）^ {p} \ right）^ {\ frac {1} {p}} \：\ x' = \ sum _ {n \ in \ mathbf {Z}} x '_ {n} \ right \}。}N -離散Jの θのための通常の式は、p個のノルムをNに変更したものです。
離散的な定義により、いくつかの質問の研究が容易になります。その中で、すでに述べたデュアルの識別があります。他のそのような質問は、線形演算子のコンパクトさまたは弱いコンパクトさです。ライオンズとピートレは次のことを証明しました：
定理。線形演算子TがX 0からバナッハ空間Yにコンパクトであり、 X 1からYに制限されている場合、Tは（ X 0、 X 1） θからqに圧縮され、0 θ 1、1≤qの場合 ≤∞。Davis、Figiel、Johnson、Pełczyńskiは、次の結果の証明に補間を使用しました。
定理。 2つのバナッハ空間の間の有界線形演算子は、反射空間を考慮する場合にのみ、コンパクトに弱くなります。一般的な補間方法
離散的な定義に使用ℓQは無条件基準で任意の配列空間Yに置き換えることができるスペース、および重量のKθ、Qのために使用されている= 2-θnと 、BN = 2（1-θ）N、 -norm、一般的な重みに置き換えることができます
an、bn> 0、∑n =1∞min（an、bn）∞。{\ displaystyle a_ {n}、b_ {n}> 0、\ \ \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ min（a_ {n}、b_ {n}）\ infty。}補間空間K （ X 0、 X 1、 Y 、{ an }、{ bn }）は、 X 0 + X 1のベクトルxから成り、次のようになります。
‖x‖K（X0、X1）= supm≥1‖∑n = 1manK（x、bnan; X0、X1）yn‖Y∞、{\ displaystyle \ | x \ | _ {K（X_ {0}、 X_ {1}）} = \ sup _ {m \ geq 1} \ left \ | \ sum _ {n = 1} ^ {m} a_ {n} K \ left（x、{\ tfrac {b_ {n} } {a_ {n}}}; X_ {0}、X_ {1} \ right）\、y_ {n} \ right \ | _ {Y} \ infty、}ここで、{ yn }はYの無条件基底です。この抽象メソッドは、たとえば次の結果の証明に使用できます。
定理。無条件基底を持つバナッハ空間は、対称基底を持つ空間の補完部分空間と同型です。
ソボレフ空間とベソフ空間の補間
R n上のソボレフ空間とベソフ空間に対していくつかの補間結果が利用可能です。
Hpss∈R、1≤p≤∞Bp、qss∈R、1≤p、q≤∞{\ displaystyle {\ begin {aligned}＆H_ {p} ^ {s} && s \ in \ mathbf {R}、1 \ leq p \ leq \ infty \\＆B_ {p、q} ^ {s} && s \ in \ mathbf {R}、1 \ leq p、q \ leq \ infty \ end {aligned}}}これらの空間は、R上の測定機能のスペースN S≥0、及びs 0がセクションの残りの部分については、次の設定との表記が使用されるR Nで焼戻し分布です。
0 θ1,1≤p、p0、p1、q、q0、q1≤∞、s、s0、s1εR、sθ=（1−θ）s0 +θs1,1pθ= 1−θp0 +θp1,1qθ = 1−θq0 +θq1。{\ displaystyle {\ begin {aligned} 0＆\ theta 1、\\ 1＆\ leq p、p_ {0}、p_ {1}、q、q_ {0}、q_ {1 } \ leq \ infty、\\ s、＆s_ {0}、s_ {1} \ in \ mathbf {R}、\\ s _ {\ theta}＆=（1- \ theta）s_ {0} + \ theta s_ {1}、\\ {\ frac {1} {p _ {\ theta}}}＆= {\ frac {1- \ theta} {p_ {0}}} + {\ frac {\ theta} {p_ {1 }}}、\\ {\ frac {1} {q _ {\ theta}}}＆= {\ frac {1- \ theta} {q_ {0}}} + {\ frac {\ theta} {q_ {1 }}}。\ end {aligned}}}複雑な補間は、ソボレフ空間クラスHps {\ displaystyle H_ {p} ^ {s}}（ベッセルポテンシャル空間）およびベソフ空間でうまく機能します。
（Hp0s0、Hp1s1）θ=Hpθsθ、s0≠s1,1 p0、p1 ∞。（Bp0、q0s0、Bp1、q1s1）θ=Bpθ、qθsθ、s0≠s1。{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ left（H_ {p_ {0}} ^ {s_ {0}}、H_ {p_ {1}} ^ {s_ {1}} \ right）_ {\ theta}＆= H_ {p _ {\ theta}} ^ {s _ {\ theta}}、&& s_ {0} \ neq s_ {1}、1 p_ {0}、p_ {1} \ infty。\\\ left（B_ {p_ {0}、q_ {0} } ^ {s_ {0}}、B_ {p_ {1}、q_ {1}} ^ {s_ {1}} \ right）_ {\ theta}＆= B_ {p _ {\ theta}、q _ {\ theta }} ^ {s _ {\ theta}}、&& s_ {0} \ neq s_ {1}。\ end {aligned}}}ソボレフ空間間の実際の補間は、 s 0 = s 1の場合を除き、ベソフ空間を与える場合があります
（Hp0s、Hp1s）θ、pθ=Hpθs。{\ displaystyle \ left（H_ {p_ {0}} ^ {s}、H_ {p_ {1}} ^ {s} \ right）_ {\ theta、p_ { \ theta}} = H_ {p _ {\ theta}} ^ {s}。}s 0≠ s 1であるがp 0 = p 1の場合、ソボレフ空間間の実際の補間によりベソフ空間が得られます。
（Hps0、Hps1）θ、q = Bp、qsθ、s0≠s1。{\ displaystyle \ left（H_ {p} ^ {s_ {0}}、H_ {p} ^ {s_ {1}} \ right）_ {\ theta、q} = B_ {p、q} ^ {s _ {\ theta}}、\ qquad s_ {0} \ neq s_ {1}。}また、
（Bp、q0s0、Bp、q1s1）θ、q = Bp、qsθ、s0≠s1。（Bp、q0s、Bp、q1s）θ、q = Bp、qθs。（Bp0、q0s0、Bp1、q1s1）θ、qθ =Bpθ、qθsθ、s0≠s1、pθ=qθ。{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ left（B_ {p、q_ {0}} ^ {s_ {0}}、B_ {p、q_ {1} } ^ {s_ {1}} \ right）_ {\ theta、q}＆= B_ {p、q} ^ {s _ {\ theta}}、&& s_ {0} \ neq s_ {1}。\\\ left （B_ {p、q_ {0}} ^ {s}、B_ {p、q_ {1}} ^ {s} \ right）_ {\ theta、q}＆= B_ {p、q _ {\ theta}} ^ {s}。\\\ left（B_ {p_ {0}、q_ {0}} ^ {s_ {0}}、B_ {p_ {1}、q_ {1}} ^ {s_ {1}} \右）_ {\ theta、q _ {\ theta}}＆= B_ {p _ {\ theta}、q _ {\ theta}} ^ {s _ {\ theta}}、&& s_ {0} \ neq s_ {1}、p_ {\ theta} = q _ {\ theta}。\ end {aligned}}}
