中心

幾何学では、三角形の内心は 、三角形の配置またはスケールとは無関係であるように、任意の三角形に対して定義された点三角形の中心です。中心は、三角形の内角二等分線が交差する点、三角形の辺から等距離の点、三角形の内側軸とグラスファイア変換の最内点の接合点、および三角形の内接円の中心点。

重心、外心、および正心と合わせて、古代ギリシア人に知られている4つの三角形の中心の1つであり、一般的にオイラー線上にない唯一の中心です。それは、クラークキンバリングのトライアングルセンターの百科事典で最初にリストされたセンターX（1）であり、トライアングルセンターの乗法グループのアイデンティティ要素です。

3つ以上の辺を持つポリゴンの場合、接線ポリゴン（ポリゴンの各辺に接する内接円を持つポリゴン）に対してのみ中心が存在します。この場合、中心はこの円の中心であり、すべての側面から等しく離れています。

定義と構築

三角形の3つの内角二等分線が単一の点で出会うのは、ユークリッド幾何学の定理です。 ユークリッド原論では、ブックIVの命題4は、この点でも、三角形の内接円の中心であることを証明しています。内接円自体は、中心から三角形の辺の1つに垂線を落とし、そのセグメントを半径とする円を描くことで構築できます。

中心は、三角形の辺を形成する3本の線分、およびそれらの線分を含む3本の線から等距離にあります。これは、線分から等しく離れた唯一の点ですが、指定された三角形の外接円の中心を形成する、中心線から等しく離れた3つの点があります。インセンターとエクスセンターは一緒にオルソセントリックシステムを形成します。

多角形の中心軸は、多角形の最近傍が一意ではないポイントのセットです。これらのポイントは、多角形の2つ以上の辺から等距離にあります。内側軸を計算する1つの方法は、グラスファイア変換を使用することです。この変換では、それぞれがポリゴンから一定の距離にあるオフセットカーブの連続シーケンスを形成します。内側軸は、これらの曲線の頂点によってトレースされます。三角形の場合、内側軸は角度の二等分線の3つのセグメントで構成され、三角形の頂点を最も内側のオフセットカーブ上の一意のポイントである中心に接続します。異なるタイプのオフセットカーブから同様の方法で定義された直線状のスケルトンは、凸多角形の中心軸と一致するため、中心に接合点があります。

証明

{BAC {\ displaystyle \ angle {BAC}}とBC¯{\ displaystyle {\ overline {BC}}}}の二等分はD {\ displaystyle D}で、LetABC {\ displaystyle \ angle { ABC}}およびAC¯{\ displaystyle {\ overline {AC}}} E {\ displaystyle E}、AD¯{\ displaystyle {\ overline {AD}}}およびBE¯{\ displaystyle {\ overline { BE}}}はI {\ displaystyle {I}}で会います。

そして、CI→{\ displaystyle {\ overrightarrow {CI}}}とAB¯{\ displaystyle {\ overline {AB}}}をF {\ displaystyle {F}}で会いましょう。

次に、CI¯{\ displaystyle {\ overline {CI}}}が∠ACB{\ displaystyle \ angle {ACB}}の二等分であることを証明する必要があります。

△ACF {\ displaystyle \ triangle {ACF}}で、AC¯：AF¯=CI¯：IF¯{\ displayline {\ overline {AC}}：{\ overline {AF}} = {\ overline {CI}} ：{\ overline {IF}}}。

△BCF {\ displaystyle \ triangle {BCF}}では、BC¯：CF¯=CI¯：IF¯{\ displaystyle {\ overline {BC}}：{\ overline {CF}} = {\ overline {CI}} ：{\ overline {IF}}}。

したがって、AC¯：AF¯=BC¯：CF¯{\ displaystyle {\ overline {AC}}：{\ overline {AF}} = {\ overline {BC}}：{\ overline {CF}}} AC¯：BC¯=AF¯：CF¯{\ displaystyle {\ overline {AC}}：{\ overline {BC}} = {\ overline {AF}}：{\ overline {CF}}}

つまり、CF¯{\ displaystyle {\ overline {CF}}}は∠ACB{\ displaystyle \ angle {ACB}}の二等分です。

三角形の辺と頂点との関係

トリリニア座標

三角形のポイントのトライリニア座標は、三角形の辺までの距離の比率を示します。中心のトライリニア座標は次で与えられます

1：1：1。{\ displaystyle \ 1：1：1。}

三角形の中心のコレクションには、トライリニア座標の座標ごとの乗算の下でグループの構造が与えられます。このグループでは、インセンターがアイデンティティ要素を形成します。

重心座標

三角形のポイントの重心座標は、そのポイントが三角形の頂点位置の加重平均になるような重みを与えます。中心の重心座標は

a：b：c {\ displaystyle \ a：b：c}

ここで、a {\ displaystyle a}、b {\ displaystyle b}、およびc {\ displaystyle c}は、三角形の辺の長さ、または同等に（サインの法則を使用して）

sin⁡（A）：sin⁡（B）：sin⁡（C）{\ displaystyle \ sin（A）：\ sin（B）：\ sin（C）}

ここで、A {\ displaystyle A}、B {\ displaystyle B}、およびC {\ displaystyle C}は、3つの頂点の角度です。

デカルト座標

中心のデカルト座標は、周囲に対する三角形の辺の長さを使用した3つの頂点の座標の加重平均です。つまり、上記の重心座標を使用して、1に合計するように正規化されています。 （重みは正であるため、上記のように中心は三角形の内側にあります。）3つの頂点が（xA、yA）{\ displaystyle（x_ {A}、y_ {A}）}、（xB、yB）にある場合{\ displaystyle（x_ {B}、y_ {B}）}、および（xC、yC）{\ displaystyle（x_ {C}、y_ {C}）}、およびこれらの頂点の反対側の長さはa {\ displaystyle a}、b {\ displaystyle b}、およびc {\ displaystyle c}の場合、インセンターは

（axA + bxB + cxCa + b + c、ayA + byB + cyCa + b + c）= a（xA、yA）+ b（xB、yB）+ c（xC、yC）a + b + c。{\ displaystyle {\ bigg（} {\ frac {ax_ {A} + bx_ {B} + cx_ {C}} {a + b + c}}、{\ frac {ay_ {A} + by_ {B} + cy_ { C}} {a + b + c}} {\ bigg）} = {\ frac {a（x_ {A}、y_ {A}）+ b（x_ {B}、y_ {B}）+ c（x_ {C}、y_ {C}）} {a + b + c}}。}

頂点までの距離

三角形ABCの中心をIとして示すと 、中心から頂点までの距離と三角形の辺の長さの組み合わせは、式に従います

IA⋅IACA⋅AB+IB⋅IBAB⋅BC+IC⋅ICBC⋅CA= 1。{\ displaystyle {\ frac {IA \ cdot IA} {CA \ cdot AB}} + {\ frac {IB \ cdot IB} { AB \ cdot BC}} + {\ frac {IC \ cdot IC} {BC \ cdot CA}} = 1。}

さらに、

IA⋅IB⋅IC= 4Rr2、{\ displaystyle IA \ cdot IB \ cdot IC = 4Rr ^ {2}、}

ここで、 Rとrはそれぞれ三角形の円周と半径です。

関連する構造

その他のセンター

中心から重心までの距離は、三角形の最長中央値の長さの3分の1未満です。

幾何学のオイラーの定理により、内心Iから外心Oまでの二乗距離は

OI2 = R（R−2r）、{\ displaystyle OI ^ {2} = R（R-2r）、}

ここで、 Rおよびrは、それぞれ円周および半径です。したがって、円周は半径の少なくとも2倍であり、等辺の場合にのみ平等です。 198

9点円の中心から中心Nまでの距離は

IN = 12（R-2r）12R。{\ displaystyle IN = {\ frac {1} {2}}（R-2r）{\ frac {1} {2}} R。}

中心からオルソセンターHまでの二乗距離は

IH2 =2r2-4R2cos⁡Acos⁡Bcos⁡C。{\ displaystyle IH ^ {2} = 2r ^ {2} -4R ^ {2} \ cos A \ cos B \ cos C.}

不等式は次のとおりです。

IG HG、IH HG、IG IO、2IN IO。{\ displaystyle IG HG、\ quad IH HG、\ quad IG IO、\ quad 2IN IO。}

中心は、内側の三角形（頂点が辺の中間点である三角形）のネーゲル点であるため、この三角形の内側にあります。逆に、三角形のネーゲル点は、その反相補三角形の中心です。

中心は、重心GとオルソセンターH （オルソセントロイドディスク）を結ぶ直径のディスクの内部になければなりませんが、9ポイントの中心と一致することはできません。 （ Gに近い）。直交重心円盤内のその他の点は、一意の三角形の中心です。

オイラー線

三角形のオイラー線は、他の点の中でも特に、その外心、重心、および直交中心を通る線です。一般に、中心はオイラー線上にありません。これは、二等辺三角形の場合のみオイラー線上にあり、オイラー線は三角形の対称軸と一致し、すべての三角形の中心を含みます。

中心からオイラー線までの距離をd 、最長中央値の長さをv 、最長辺の長さをu 、外接半径をR 、 直交中心から外心までのオイラー線分セグメントの長さをE、およびSなどの半周、以下の不等式が成り立ちます。

ds du dv 13; {\ displaystyle {\ frac {d} {s}} {\ frac {d} {u}} {\ frac {d} {v}} {\ frac {1} {3}};} d 13e; {\ displaystyle d {\ frac {1} {3}} e;} d 12R。{\ displaystyle d {\ frac {1} {2}} R。}

エリアおよび境界スプリッター

三角形の領域とその周囲の両方を半分に分割する三角形を通る線は、三角形の中心を通過します。領域を半分に分割する中心を通るすべての線は、境界線も半分に分割します。三角形には、これらの線が1本、2本、または3本あります。

角度二等分線からの相対距離

XをAの内角二等分線上の可変点とします。次に、 X = I （中心）は、その角度二等分線に沿って比率BXCX {\ displaystyle {\ tfrac {BX} {CX}}}を最大化または最小化します。