理想（セット理論）

集合論の数学的分野では、理想は「小さい」または「無視できる」と考えられる集合の集合です。理想の要素のすべてのサブセットも理想の中になければなりません（これは、理想が小ささの概念であるという考えを成文化します）。理想の任意の2つの要素の結合も理想の中になければなりません。

：より正式に、集合X、私は XにXの冪の空でない部分集合である理想的な、その結果、与えられました

1.∅∈I{\ displaystyle \ emptyset \ in I}

2.A∈I{\ displaystyle A \ in I}およびB⊆A{\ displaystyle B \ subseteq A}の場合、B∈I{\ displaystyle B \ in I}、および

3. A、B∈I{\ displaystyle A、B \ in I}の場合、A∪B∈I{\ displaystyle A \ cup B \ in I}。

一部の著者は、 X自体がIにないという3番目の条件を追加しています。この追加プロパティを持つ理想は、 適切な理想と呼ばれます。

セット理論的な意味での理想は、順序理論での理想であり、関連する順序がセットの包含である。また、それらは、基になるセットのpowersetによって形成されるブールリング上のリング理論的な意味で、まさに理想です。

用語

理想Iの要素は、 I-nullまたはI-negligible 、または理想Iがコンテキストから理解される場合は単にnullまたは無視できると言われます。 Iは Xに理想的である場合、Xのサブセットは、それが私の要素でない場合I陽性 （または単に陽性）であると言われます。 XのすべてのI陽性サブセットのコレクションは、 I +と示されます。

理想の例

一般的な例

任意の集合Xと任意に選択された部分集合B⊆Xため、BのサブセットはX上の理想を形成します。 Xが有限の場合、すべての理想はこの形式です。
任意の集合Xの有限部分集合はX上の理想を形成します。
メジャースペースの場合、メジャーゼロのセット。
任意のメジャースペースに対して、有限メジャーのセット。これには、有限のサブセット（カウントメジャーを使用）と以下の小さなセットが含まれます。

自然数に関する理想

自然数のすべての有限集合の理想は、Finで示されます。
I1 / N {\ displaystyle {\ mathcal {I}} _ {1 / N}で示さ自然数でsummable理想的には 、すべての集合であるような和Σn∈A1n+ 1すなわち自然数の組{\ displaystyle \ sum _ {n \ in A} {\ frac {1} {n + 1}}}は有限です。小さなセットを参照してください。
Z0 {\ displaystyle {\ mathcal {Z}} _ {0}}で表される自然数の漸近的ゼロ密度集合の理想は 、自然数のすべての集合Aのコレクションであり、 nが無限大になる傾向があるようにAに属するnが、ゼロになる傾向があります。（つまり、 Aの漸近密度はゼロです。）

実数の理想

測定の理想は 、すべてのコレクションはAのルベーグ尺度がゼロであるような実数のセットです。
貧弱な理想は、実数の貧弱なセットすべてのコレクションです。

他のセットの理想

λが数えられない共終数の序数である場合、λの非定常イデアルは、定常集合ではないλのすべてのサブセットのコレクションです。この理想は、W。ヒューウッディンによって広く研究されてきました。

理想の運用

以下のための任意の部分集合A⊆X×Yを、以下のようにI及びJは、それぞれの組のXとYの根底に理想与えられ、一つは、私は Y×直積XにJを ×製品を形成します

A∈I×J⟺{x∈X| {y |⟨x、y⟩∈A}∉J}∈I{\ displaystyle A \ in I \ times J \ iff \ {x \ in X | \ {y | \ langle x、y \ rangle \ in A \} \ notin J \} \ in I}

つまり、 x座標の無視できるコレクションだけがy方向の無視できないスライスAに対応する場合、製品の理想ではセットは無視できます。（おそらくより明確：正のスライスに正の数のx座標が対応する場合、製品の理想ではセットは正です。）

Iが設定X上（XのA、Bのサブセットについて）A及びBが同等であることを考慮すると、P（X）、Xの冪に同値関係を誘発理想IFおよびAとBの対称差がある場合にのみIの要素。この等価関係によるP （ X ）の商は、 P （ X ）/ Iで表されるブール代数です（「P of X mod I 」と読みます）。

すべての理想に対して、 デュアルフィルターと呼ばれる対応するフィルターがあります。私は X上で理想的である場合には、Iのデュアルフィルタは、すべてのセットAは、Iの要素であるX \ A、のコレクションです。（ここで、X \ A XにおけるAの相対的補数を示し、それは、していない Xのすべての要素の集合です。）

理想間の関係

IとJがそれぞれXとY上の理想である場合、 IとJは、それらの基礎となるセットの要素の名前を変更する（無視できるセットを無視する）ことを除いて同じ理想である場合、 Rudin–Keisler同型です。より正式には、要件は、セットAとB 、それぞれIとJの要素、および全単射φ： X \ A → Y \ Bであり 、 Xの任意のサブセットCに対して、 CはIのみであるということです。 φの下のCの画像がJにある場合 。

IとJがRudin–Keisler同型である場合、 P （ X ）/ IおよびP （ Y ）/ Jはブール代数として同型です。理想のRudin–Keisler同型によって誘導される商ブール代数の同型は、 自明な同型と呼ばれます。