双曲線群

グループ理論では、より正確には幾何学的群論では、 双曲線群 （ 単語双曲線群またはグロモフ双曲線群とも呼ばれる）は、古典的な双曲線幾何から抽象化された特定の特性を満たす単語メトリックを備えた有限生成グループです。双曲線群の概念は、ミハイル・グロモフ（1987）によって導入および開発されました。インスピレーションは、既存のさまざまな数学理論から得られました：双曲線幾何学だけでなく、低次元トポロジー（特に、双曲線リーマン表面の基本グループに関するMax Dehnの結果、および3次元トポロジーのより複雑な現象）、および組み合わせグループ理論。 1987年の非常に影響力のある（1000件を超える引用）章で、Gromovは幅広い研究プログラムを提案しました。双曲群の理論におけるアイデアと基礎資料は、ジョージ・モストウ、ウィリアム・サーストン、ジェームズ・W・キャノン、エリヤフ・リップス、および他の多くの研究からも生まれています。

定義

G {\ displaystyle G}を有限生成グループとし、X {\ displaystyle X}をジェネレーターの有限集合S {\ displaystyle S}に関するCayleyグラフとします。セットX {\ displaystyle X}にはグラフメトリック（エッジの長さは1で、2つの頂点間の距離は、それらを接続するパスのエッジの最小数です）が与えられ、長さの空間になります。 X {\ displaystyle X}がGromovの意味で双曲線空間である場合、グループG {\ displaystyle G}は双曲線であると言われます。まもなく、これは、右の図に示すように、X {\ displaystyle X}の三角形がδ{\ displaystyle \ delta} -thinになるようなδ> 0 {\ displaystyle \ delta> 0}が存在することを意味します（スペースはδ{\ displaystyle \ delta} -hyperbolicと呼ばれます）。

先験的に、この定義は有限生成セットS {\ displaystyle S}の選択に依存します。これはそうではないということは、次の2つの事実からわかります。

• 2つの有限生成セットに対応するCayleyグラフは、常に互いに等尺性です。
• 測地線のグロモフ双曲線空間に対して準等尺な測地線空間は、それ自体がグロモフ双曲線です。

したがって、有限集合で生成されたグループG {\ displaystyle G}が生成セットを参照せずに双曲線であることを合法的に話すことができます。一方、δ{\ displaystyle \ delta}-双曲線空間に対して準等尺な空間はそれ自体δ '{\ displaystyle \ delta'}-いくつかのδ '> 0 {\ displaystyle \ delta'>に対して双曲線です0}しかし、後者は元のδ{\ displaystyle \ delta}と準アイソメトリの両方に依存するため、G {\ displaystyle G}がδ{\ displaystyle \ delta}-双曲線であると言っても意味がありません。

備考

Svarc--Milnor補題は、適切な長さの空間Y {\ displaystyle Y}でグループG {\ displaystyle G}が適切に不連続かつコンパクトな商（このようなアクションはしばしば幾何学と呼ばれます）で適切に動作する場合、 、およびG {\ displaystyle G}のCayleyグラフは、Y {\ displaystyle Y}に対して準等尺です。したがって、適切な双曲線空間に幾何学的な作用がある場合にのみ、グループは（有限生成および）双曲線になります。

G'⊂G{\ displaystyle G '\ subset G}が有限のインデックスを持つサブグループである場合（つまり、セットG / G' {\ displaystyle G / G '}が有限である場合）、包含は準アイソメトリを誘導しますG '{\ displaystyle G'}の（局所的に有限な）Cayleyグラフの頂点から、G {\ displaystyle G}の（同じ）Cayleyグラフへ。したがって、G {\ displaystyle G '}が双曲線であるのは、G {\ displaystyle G}自体がそうである場合に限ります。より一般的には、2つのグループが通約可能である場合、一方が双曲線であるのは、他方が双曲線である場合に限ります。

例

初等双曲群

双曲線群の最も単純な例は有限群です（そのケイリーグラフは直径が有限であるため、δ{\ displaystyle \ delta}-この直径に等しいδ{\ displaystyle \ delta}の双曲線です）。

別の非常に単純な例は、無限循環グループZ {\ displaystyle \ mathbb {Z}}によって与えられます（生成セット{1} {\ displaystyle \ {1 \}}三角形は線分であるため、Cayleyグラフは0 {\ displaystyle 0} -hyperbolic）。また、事実上周期的なグループ（有限インデックスのZ {\ displaystyle \ mathbb {Z}}のコピーを含む）も双曲型である、たとえば無限二面体グループです。

このクラスのグループのメンバーは、多くの場合、 基本双曲線グループと呼ばれます （用語は双曲線面のアクションの用語から適合されています）。

無料のグループおよび木に作用するグループ

S = {a1、…、an} {\ displaystyle S = \ {a_ {1}、\ ldots、a_ {n} \}}を有限集合とし、F {\ displaystyle F}を集合を生成する自由グループとしますS {\ displaystyle S}。その場合、S {\ displaystyle S}に対するF {\ displaystyle F}のCayleyグラフは、局所的に有限なツリーであり、したがって0双曲線空間です。したがって、F {\ displaystyle F}は双曲線群です。

より一般的には、ローカル有限ツリー上で適切に不連続に動作するグループG {\ displaystyle G}（このコンテキストでは、頂点のG {\ displaystyle G}のスタビライザーが有限であることを意味します）は双曲線です。実際、これは、G {\ displaystyle G}がコンパクトな商とSvarc-Milnor補題で動作する不変サブツリーを持っているという事実から得られます。このようなグループは実際には事実上フリーであり（つまり、有限インデックスの有限生成フリーサブグループを含む）、双曲性の別の証拠を提供します。

興味深い例は、モジュラーグループG = SL2（Z）{\ displaystyle G = \ mathrm {SL} _ {2}（\ mathbb {Z}）}です。これは、関連する1スケルトンによって指定されたツリーに作用します双曲線面のテッセレーションで、インデックス6の有限インデックスフリーサブグループ（2つのジェネレーター上）があります（たとえば、2を法とする恒等式に還元されるG {\ displaystyle G}の行列のセットはそのようなグループです）。この例の興味深い特徴に注目してください：双曲線空間（双曲線面）で適切に不連続に動作しますが、アクションはコンパクトではありません（実際、G {\ displaystyle G}は双曲線面に対して準等尺ではありません ）。

フクシアングループ

モジュラーグループの例を一般化すると、フクシアングループは双曲平面上で適切に不連続なアクションを許可するグループです（同様に、SL2（R）{\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {2}（\ mathbb {R }）}）。双曲線平面はδ{\ displaystyle \ delta}-双曲線空間であるため、Svarc-Milnor補題は、共コンパクトなフックス群が双曲線であることを示しています。

そのような例は、負のオイラー特性の閉じた表面の基本的なグループです。実際、これらの表面は、ポアンカレ-ケーベ均一化定理によって暗示されるように、双曲平面の商として取得できます。

ココンパクトフクシアングループの例の別のファミリーは、三角形グループによって与えられます。有限数を除くすべてが双曲線です。

負の曲率

閉じた表面の例を一般化すると、厳密に負の断面曲率を持つコンパクトなリーマン多様体の基本群は双曲線です。たとえば、署名（n、1）{\ displaystyle（n、1）}の形式の直交またはユニタリグループのココンパクトラティスは双曲線です。

CAT（k）空間で幾何学的な動作を認めるグループによって、さらに一般化されます。以前の構造のいずれとも通約不可能な例があります（たとえば、双曲線の建物に幾何学的に作用するグループ）。

小さなキャンセルグループ

小さなキャンセル条件を満たすプレゼンテーションを持つグループは双曲線です。これは、上記のような幾何学的な起源を持たない例のソースを提供します。実際、双曲線群の初期の開発の動機の1つは、小さな相殺のより幾何学的な解釈を与えることでした。

ランダムグループ

ある意味では、大きな定義関係を持つ「最も」有限に提示されたグループは双曲線です。これが何を意味するかの定量的ステートメントについては、ランダムグループを参照してください。

非例

• 双曲線ではないグループの最も単純な例は、自由ランク2のアーベル群Z2 {\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {2}}です。実際、ユークリッド平面に対して準等尺性であり、双曲線ではないことが容易にわかります（たとえば、ホモロジーの存在のため）。
• より一般的には、サブグループとしてZ2 {\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {2}}を含むグループは双曲線ではありません。特に、上位の半単純なリー群と非自明な結び目の補数の基本群π1（S3∖K）{\ displaystyle \ pi _ {1}（S ^ {3} \ setminus K）}のラティスはこのカテゴリに分類されるため、双曲線ではありません。これは、閉じた双曲線曲面のクラスグループをマッピングする場合にも当てはまります。
• Baumslag-SolitarグループB（M、N）と、いくつかのB（M、N）と同型のサブグループを含む任意の基は、双曲に失敗する（B（1,1）= Z2 {\ displaystyle \ mathbb {Z} ^以来{2}}、これは前の例を一般化します）。
• ランク1の単純なLieグループの不均一格子は、そのグループがSL2（R）{\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {2}（\ mathbb {R}）}（同値関連する対称空間は双曲平面です）。この例は、双曲線結び目グループによって与えられます。もう1つは、SL2（−1）{\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {2}（{\ sqrt {-1}}）}などのBianchiグループです。

物性

代数的性質

• 双曲群は、Titsの選択肢を満たします。それらは、事実上可解であるか（この可能性は基本双曲線群によってのみ満たされる）、または非アーベル自由群と同型のサブグループを持ちます。
• 非基本双曲線群は非常に強い意味で単純ではありません。G{\ displaystyle G}が非基本双曲線であれば、H {\ displaystyle Hのような無限サブグループH◃G{\ displaystyle H \ triangleleft G}が存在します}とG / H {\ displaystyle G / H}は両方とも無限です。
• 残差有限ではない双曲線群が存在するかどうかは不明です。

幾何学的プロパティ

• 非基本（無限であり、実質的に周期的ではない）双曲線群は、常に指数関数的な成長率を持ちます（これは、おっぱいの代替の結果です）。
• 双曲線群は線形等周不等式を満たします。実際、これは双曲性の特徴です。

ホモロジー特性

• 双曲線群は常に有限に提示されます。実際、収縮可能で、グループが幾何学的に作用するF型である複合体（Rips complex）を明示的に構築できます。グループがねじれのない場合、作用は自由であり、グループが有限のコホモロジー次元を持つことを示します。
• 2002年、I。Mineyevは、双曲群が、境界コホモロジーと通常のコホモロジーの比較マップがすべての次数で、または同等に次数2で全射的である有限生成グループであることを示しました。

アルゴリズムのプロパティ

• 双曲線群には、解ける言葉の問題があります。それらはバイオートおよび自動です。実際、それらは非常に測地的に自動化されています。つまり、グループに自動構造があり、単語アクセプターが受け入れる言語はすべての測地線語のセットです。
• 2010年に、双曲線群には決定可能な顕著な同型の問題があることが示されました。これは、同型性の問題、軌道の問題（特に共役性の問題）、ホワイトヘッドの問題がすべて決定可能であることを意味することは注目に値します。
• キャノンとスウェンソンは、無限遠に2球を持つ双曲群が自然な細分化規則を持つことを示しました。これはキャノンの推測に関連しています。

汎化

比較的双曲線群

比較的双曲線群は、双曲線群を一般化するクラスです。 非常に大まかにG {\ displaystyle G}は、適切な双曲線空間X {\ displaystyle X}で適切に不連続なアクション（ 必ずしもコンパクトではない ）を適切に認める場合、サブグループのコレクションG {\ displaystyle {\ mathcal {G}}}に対して双曲線これは、X {\ displaystyle X}の境界上に「あり」、境界上の点のG {\ displaystyle G}内のスタビライザーはG {\ displaystyle {\ mathcal {G}}}内のサブグループです。これは、X {\ displaystyle X}とX {\ displaystyle X}のG {\ displaystyle G}のアクションの両方が基本的でない場合（特にX {\ displaystyle X}が無限である場合：たとえば、すべてのグループが相対的に双曲線単一ポイントでのアクションを介してそれ自体に！）。

このクラスの興味深い例には、特に、ランク1の半単純なリー群の非一様格子、たとえば、有限体積の非コンパクト双曲線多様体の基本群が含まれます。非例は、上位のLieグループとマッピングクラスグループのラティスです。

円筒状双曲線群

さらに一般的な概念は、非直線的双曲線群の概念です。メトリック空間X {\ displaystyle X}上のグループG {\ displaystyle G}のアクションの非直線性は、アクションの適切な不連続性の弱体化です。

グループは、（ 必ずしも適切ではない ）グロモフ双曲型空間で非基本的なアシルインドリカル作用を認める場合、非円筒型双曲型であると言われます。この概念には、曲線群に対するアクションを介したクラスグループのマッピングが含まれます。上位のLieグループの格子は、（まだ！）非円筒的双曲線ではありません。

CAT（0）グループ

別の方向では、上記の例の曲率に関する仮定を弱めることができます。CAT （0）グループは、CAT（0）空間で幾何学的な動作を許可するグループです。これには、ユークリッド結晶群および高ランクのリー群の均一格子が含まれます。

CAT（0）ではない双曲線群が存在するかどうかはわかりません。

ノート