同次座標

数学では、August FerdinandMöbiusが1827年の作品Der barycentrischeCalcülで導入した同次座標または射影座標は、ユークリッド幾何学でデカルト座標が使用されるため、射影幾何学で使用される座標系です。それらには、無限遠の点を含む点の座標を有限座標を使用して表現できるという利点があります。均一な座標を含む数式は、多くの場合、対応するデカルト座標よりも単純で対称的です。同種座標には、コンピューターグラフィックスや3Dコンピュータービジョンなどのさまざまなアプリケーションがあり、アフィン変換、一般に射影変換をマトリックスで簡単に表現できます。

点の同次座標にゼロ以外のスカラーを乗算すると、結果の座標は同じ点を表します。同種の座標は無限大の点にも与えられるため、この拡張を可能にするために必要な座標の数は、考慮される射影空間の次元よりも1つ多くなります。たとえば、射影線上の点を指定するには2つの同次座標が必要であり、射影平面内の点を指定するには3つの同次座標が必要です。

前書き

実際の射影平面は、無限遠点と呼ばれる追加の点が追加されたユークリッド平面と考えることができ、無限遠線という新しい線上にあると見なされます。各方向に対応する無限大の点があり（数値的には線の傾斜によって与えられます）、非公式には原点からその方向に移動する点の限界として定義されます。ユークリッド平面の平行線は、共通の方向に対応する無限遠点で交差すると言われています。ユークリッド平面上の点（ x 、 y ）が与えられると、ゼロ以外の実数Zに対して、トリプル（ xZ 、 yZ 、 Z ）は点の同次座標のセットと呼ばれます。この定義により、3つの同質座標に共通のゼロ以外の係数を乗算すると、同じ点の同質座標の新しいセットが得られます。特に、（ x 、 y 、1）は、点（ x 、 y ）の同次座標系です。たとえば、デカルトポイント（1、2）は、同次座標で（1、2、1）または（2、4、2）として表すことができます。最初の2つの位置を3番目の位置で割ることにより、元のデカルト座標が復元されます。したがって、デカルト座標とは異なり、単一の点は無限に多くの同次座標で表すことができます。

原点（0、0）を通る直線の方程式はnx + my = 0と書くことができます。ここで、 nとmは両方とも0 ではありません。パラメトリック形式ではx = mt 、 y = − ntと書くことができます。 Z = 1 / tとするので、線上の点の座標を書くことができます（ m / Z 、 -n / Z ）。同次座標では、これは（ m 、− n 、 Z ）になります。限界では、 tが無限に近づくにつれて、言い換えれば、点が原点から離れるにつれて、 Zは0に近づき、点の同次座標は（ m 、− n 、0）になります。したがって、（ m 、− n 、0）は、線nx + my = 0の方向に対応する無限遠点の同次座標として定義します。ユークリッド平面の線は、原点を通る線に平行であるため、また、平行線は無限遠で同じ点を持つため、ユークリッド平面の各線上の無限点には同次座標が与えられています。

要約する：

• 射影平面内の任意の点は、三重（X、Y、Z）で表され、 同次座標又はX、Y及びZが全て0でない点の射影座標と呼ばれます。
• 座標に共通の因子を掛けると、同種の座標の特定のセットで表される点は変化しません。
• 逆に、2つの同種の座標セットは、すべての座標にゼロ以外の同じ定数を掛けることによって一方が他方から取得される場合に限り、同じポイントを表します。
• Zが0でない場合、表される点はユークリッド平面の点（ X / Z 、 Y / Z ）です。
• Zが0の場合、表される点は無限遠点です。

トリプル（0、0、0）は省略され、ポイントを表していないことに注意してください。原点は（0、0、1）で表されます。

表記法

一部の著者は、同種座標に異なる表記法を使用して、それらをデカルト座標と区別しやすくしています。代わりに、カンマのコロンの使用は、例えば、（X：Y：Z）の代わりに、（x、y、z）は 、座標の比率を考慮すべきであることを強調する。角括弧は、複数の座標セットが1つのポイントに関連付けられていることを強調しています。一部の著者は、のようにコロンと角括弧の組み合わせを使用しています。

その他の寸法

前のセクションの説明は、平面以外の射影空間にも同様に適用されます。そのため、射影線上の点は、両方がゼロではなく、座標のペア（ x 、 y ）で表される場合があります。この場合、無限遠点は（1、0）です。同様に、射影n空間の点は（ n + 1）タプルで表されます。

その他の射影空間

実数を使用すると、実射影空間の古典的な場合の点の同次座標が得られますが、任意のフィールドを使用できます。特に、複素数は複素射影空間に使用できます。たとえば、複素射影線は2つの同種の複素座標を使用し、リーマン球として知られています。有限フィールドを含む他のフィールドを使用できます。

射影空間の同次座標は、分割リング（スキューフィールド）の要素を使用して作成することもできます。ただし、この場合、乗算は可換ではない可能性があるという事実を考慮するように注意する必要があります。

一般的な環Aについて、 A上の射影線は、左側に作用する同次因子と右側に作用する射影線形群で定義できます。

代替定義

実際の射影平面の別の定義は、等価クラスの観点から与えることができます。 R 3の非ゼロ要素の場合、（ x 1、 y 1、 z 1）〜（ x 2、 y 2、 z 2）を定義して、非ゼロのλがあることを意味するため、（ x 1、 y 1、 z 1）=（λxを 2、λyと 2、λz2）。そして〜は同値関係であり、射影平面はR 3∖{0}の同値類として定義できます。 （ x 、 y 、 z ）が等価クラスpの要素の1つである場合、これらはpの同次座標であると見なされます。

この空間内の行は全てのa、bおよびcがゼロである+ CZ = 0 によってフォーム斧 +の方程式の解の集合であると定義されます。条件ax + by + cz = 0は（ x 、 y 、 z ）の等価クラスにのみ依存するため、方程式は射影平面の点のセットを定義します。マッピング（ x 、 y ）→（ x 、 y 、1）はユークリッド平面から射影平面への包含を定義し、画像の補数はz = 0の点の集合です。これは、定義と補数は、無限遠線と呼ばれます 。

等価クラスpは、原点を除いた原点を通る線です。原点は、前の説明で実際に重要な役割を果たしていないため、射影平面のプロパティを変更せずに元に戻すことができます。これにより、定義に変化が生じます。つまり、射影平面は、原点を通過するR 3の線のセットとして定義され、線の非ゼロ要素（ x 、 y 、 z ）の座標は線の同次座標。これらの線は、射影平面の点として解釈されるようになりました。

繰り返しますが、この議論は他の次元にも同様に当てはまります。したがって、次元nの射影空間は、 R n +1の原点を通る線の集合として定義できます。

均質性

同次座標は点によって一意に決定されるわけではないため、座標（ f （ x 、 y 、 z ）など）で定義された関数は、デカルト座標のように点で定義された関数を決定しません。しかし、曲線を記述するために使用される可能性のある座標で定義された条件f （ x 、 y 、 z ）= 0は、関数が同次である場合、点の条件を決定します。具体的には、次のようなkがあると仮定します。

f（λx、λy、λz）=λkf（x、y、z）。{\ displaystyle f（\ lambda x、\ lambda y、\ lambda z）= \ lambda ^ {k} f（x、y、z） 。\、}

座標のセットは（X、Y、Z）と同じ点を表す場合、それを書き込むことができる（λX、λY、λZ）λのいくつかの非ゼロ値のため。それから

f（x、y、z）=0⟺f（λx、λy、λz）=λkf（x、y、z）= 0。{\ displaystyle f（x、y、z）= 0 \ iff f（\ lambda x、\ lambda y、\ lambda z）= \ lambda ^ {k} f（x、y、z）= 0。}

次数kの多項式g （ x 、 y ）は、 xをx / zに 、 yをy / zに 、 zkを乗算することにより、つまり、

f（x、y、z）= zkg（x / z、y / z）。{\ displaystyle f（x、y、z）= z ^ {k} g（x / z、y / z）。\、 }

結果の関数fは多項式であるため、その領域をz = 0のトリプルに拡張することは理にかなっています。プロセスはz = 1を設定することで逆にできます。

g（x、y）= f（x、y、1）。{\ displaystyle g（x、y）= f（x、y、1）。\、}

方程式f （ x 、 y 、 z ）= 0は、 g （ x 、 y ）= 0の同次形式と考えることができ、ユークリッド平面に制限されると同じ曲線を定義します。たとえば、線ax + by + c = 0の方程式の同次形式は、 ax + by + cz = 0です。

ライン座標と双対性

射影平面の直線の方程式は、 sx + ty + uz = 0として与えられます。ここで、 s 、 t 、 uは定数です。各トリプル（ s 、 t 、 u ）は行を決定し、決定された行はゼロ以外のスカラーで乗算され、 s 、 t 、およびu の少なくとも1つが非ゼロでなければなりません。したがって、トリプル（ s 、 t 、 u ）は、射影平面内の線の同次座標、つまり、点座標ではなく線座標であると見なされる場合があります。 sx + ty + uz = 0の場合、文字s 、 t 、 uが変数として、 x 、 y 、 zが定数として使用される場合、方程式は平面内のすべての線の空間の線の方程式になります。幾何学的には、点（ x 、 y 、 z ）を通過する線のセットを表し、線座標の点の方程式として解釈される場合があります。同様に、3次元空間の平面には、4つの同次座標のセットが与えられる場合があります。

同じ関係sx + ty + uz = 0は、線の方程式または点の方程式と見なすことができます。一般に、点と線の同次座標間に代数的または論理的な違いはありません。したがって、基本要素としてポイントを持つ平面ジオメトリと、基本要素としてラインを持つ平面ジオメトリは、解釈を除いて同等です。これは射影幾何学の双対性の概念につながり、射影幾何学の定理で点と線の役割を交換でき、結果も定理になるという原則です。同様に、射影3空間の点の理論は、射影3空間の平面の理論と二重であり、高次元の場合も同様です。

プリュッカー座標

射影3空間のラインへの座標の割り当ては、ライン上にある2つのポイントの座標またはラインが交差する2つの平面のいずれかである合計8つの座標が必要と思われるため、より複雑です。有用な方法は、ジュリアス・プラッカーに起因し、決定xとして6つの座標のセットを作成し、I Y J - X jの yの 2点の同次座標（X 1、X 2からのI（1≤iは J≤4 ）、 x 3、 x 4）および（ y 1、 y 2、 y 3、 y 4）の行。 Plücker埋め込みは、これを一般化して、次元nの射影空間に任意の次元mの要素の同次座標を作成することです。

ベズーの定理への応用

Bézoutの定理は、2つの曲線の交点の数がそれらの次数の積に等しいことを予測します（代数的に閉じた場を仮定し、交点の多重度をカウントするために特定の規則が続きます）。 Bézoutの定理は、2本の線の交点が1つあると予測し、一般にこれは事実ですが、線が平行の場合、交点は無限になります。この場合、交差点を見つけるために同次座標が使用されます。同様に、Bézoutの定理は、線が2点で円錐と交差することを予測しますが、場合によっては、一方または両方の点が無限であり、それらを見つけるために同次座標を使用する必要があります。たとえば、 y = x 2およびx = 0には、有限（アフィン）平面に1つの交点しかありません。他の交点を見つけるには、方程式を等式yz = x 2およびx = 0に変換します。これにより、 x = yz = 0が生成され、 x 、 y 、 zのすべてが0でないと仮定すると、解はx = y = 0、 z ≠0およびx = z = 0、 y ≠0。この最初の解は、直交座標の有限の交点である点（0、0）です。 2番目の解は、 y軸の方向に対応する同次座標（0、1、0）を提供します。方程式xy = 1およびx = 0の場合、有限の交点はありません。方程式を同次形式に変換すると、 xy = z 2およびx = 0になります。解くと、 z = 0に二重根を持つ方程式z 2 = 0が生成されます。元の方程式から、 x = 0なので、少なくともy ≠0 1つの座標はゼロ以外でなければなりません。したがって、（0、1、0）は、定理と一致する多重度2でカウントされた交点です。

円形ポイント

実数または複素数射影平面における円の方程式の同次形式は、 x 2 + y 2 + 2 axz + 2 byz + c z 2 = 0です。この曲線と無限遠線の交点は、 z =0。これは方程式x 2 + y 2 = 0を生成します。この方程式は複素数で2つの解を持ち、同次座標（1、 i 、0）および（1、− i 、0）を持つ点を生成します。複雑な射影平面。これらの点は、無限遠の円形点と呼ばれ、すべての円の共通点とみなすことができます。これは、円形代数曲線として高次の曲線に一般化できます。

座標系の変更

デカルト座標系での軸の選択がややarbitrary意的であるように、可能なすべてのシステムから同種の座標の単一のシステムを選択することはややarbitrary意的です。したがって、異なるシステムが互いにどのように関連しているかを知ることは有用です。

（ x 、 y 、 z ）を射影平面の点の同次座標とします。固定行列

A =（abcdefghi）、{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} a＆b＆c \\ d＆e＆f \\ g＆h＆i \ end {pmatrix}}、}

非ゼロの行列式で、方程式によって新しい座標系（ X 、 Y 、 Z ）を定義します

（XYZ）= A（xyz）。{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} X \\ Y \\ Z \ end {pmatrix}} = A {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix }}。}

X、YおよびZは、A以降のすべてのゼロでない限り、同一のスカラーによって（x、y、z）を （X、Y、Z）の乗算におけるスカラー結果による乗算、およびX、YおよびZは、全て0にすることはできません特異ではありません。したがって、（ X 、 Y 、 Z ）は、射影平面の同じ点に対する同次座標の新しいシステムです。

重心座標

均一な座標のメビウスの元の定式化は、固定三角形の頂点に配置された3つの点質量のシステムの重心（または重心）として点の位置を指定しました。三角形内の点は正の質量で表され、三角形外の点は負の質量を許可することで表されます。システム内の質量にスカラーを乗算しても重心には影響しないため、これは同次座標系の特殊なケースです。

トリリニア座標

l 、 m 、 nを平面内の3本の線とし、点pの座標X 、 Y 、 Zのセットを、 pからこれら3本の線までの符号付き距離として定義します。これらは、頂点が線のペアワイズ交点である三角形に関して、 pのトライリニア座標と呼ばれます。厳密に言えば、これらは均質ではありません。X 、 Y 、 Zの値は、比例関係だけでなく正確に決定されるためです。ただし、それらの間には線形関係があるため、（ X 、 Y 、 Z ）の倍数が同じポイントを表すことを許可することにより、これらの座標を均一にすることができます。より一般的には、 X 、 Y 、 Zは定数p 、 r 、 qにl 、 m 、 nへの距離を掛けたものとして定義でき、同じ参照三角形を持つ同種の座標系が得られます。実際、これは、どの線も無限遠線ではない場合、平面内の点の同次座標系の最も一般的なタイプです。

コンピューターグラフィックスおよびコンピュータービジョンでの使用

同種座標は、平行移動、回転、スケーリング、透視投影などの一般的なベクトル操作を、ベクトルが乗算される行列として表現できるため、コンピューターグラフィックスで広く使用されています。チェーンルールにより、このような操作のシーケンスを1つのマトリックスに乗算して、単純で効率的な処理を行うことができます。対照的に、デカルト座標を使用すると、平行移動と透視投影は行列乗算として表現できませんが、他の演算は表現できます。最新のOpenGLおよびDirect3Dグラフィックスカードは、同種の座標を利用して、4要素レジスタを備えたベクトルプロセッサを使用して頂点シェーダーを効率的に実装します。

たとえば、透視投影では、空間内の位置は、投影の中心と呼ばれる固定点までの線に関連付けられます。次に、その平面と線の交点を見つけることにより、点が平面にマッピングされます。これにより、3次元オブジェクトが目にどのように見えるかを正確に表現できます。最も単純な状況では、投影の中心が原点であり、ポイントは平面z = 1にマッピングされ、現時点ではデカルト座標で機能します。空間内の特定のポイント（ x 、 y 、 z ）の場合、線と平面が交差するポイントは（ x / z 、 y / z 、1）です。不要なz座標をドロップすると、これは（ x / z 、 y / z ）になります。同次座標では、点（ x 、 y 、 z ）は（ xw 、 yw 、 zw 、 w ）で表され、平面上にマッピングされる点は（ xw 、 yw 、 zw ）で表されるため、投影を表すことができます行列形式で

（100001000010）{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1＆0＆0＆0 \\ 0＆1＆0＆0 \\ 0＆0＆1＆0 \ end {pmatrix}}}

他の幾何学的変換を表す行列は、行列乗算によってこれと相互に組み合わせることができます。その結果、空間の透視投影は、単一のマトリックスとして表現できます。

ノート