半空間（ジオメトリ）

ジオメトリでは、 半空間は平面が3次元ユークリッド空間を分割する2つの部分のいずれかです。より一般的には、 半空間は、超平面がアフィン空間を分割する2つの部分のいずれかです。つまり、超平面に入射しない点は2つの凸集合（つまり、半空間）に分割され、1つの集合の点を他の集合の点に接続する部分空間は超平面と交差する必要があります。

半角スペースは、 開いているか閉じていることができます。 開いた半空間は、アフィン空間から超平面を引くことによって生成された2つの開いた集合のいずれかです。 閉じた半空間は、開いた半空間とそれを定義する超平面の結合です。

空間が2次元の場合、半空間は半平面 （オープンまたはクローズ）と呼ばれます。 1次元空間の半空間は、 光線と呼ばれます。

半空間は、定義する超平面を指定する線形方程式から導出される線形不等式で指定できます。

厳密な線形不等式は、開いた半空間を指定します。

a1x1 + a2x2 +⋯+ anxn> b {\ displaystyle a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} + \ cdots + a_ {n} x_ {n}> b}

厳密でないものは、閉じた半空間を指定します：

a1x1 + a2x2 +⋯+anxn≥b{\ displaystyle a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} + \ cdots + a_ {n} x_ {n} \ geq b}

ここでは、実数a 1、 a 2、...、 a nのすべてがゼロであるとは限りません。

物性

• 半空間は凸集合です。
• 任意の凸集合は、半空間の（おそらく無限の）交差として記述できます。

上半分と下半分のスペース

開いた（閉じた） 上半分の空間は、 x n > 0（≥0）であるようなすべて（ x 1、 x 2、...、 x n ）の半分の空間です。 x nが負（非正）であることを要求することにより、開いた（閉じた） 下半分のスペースも同様に定義されます。