嘘型のグループ

数学、特にグループ理論では、リー型の句グループは通常、有限体の値を持つ還元線形代数群の有理点群に密接に関連する有限群を指します。 Lieタイプのフレーズグループには、広く受け入れられている正確な定義はありませんが、 Lieタイプの有限単純グループの重要なコレクションには正確な定義があり、有限単純グループの分類のほとんどのグループを構成します。

コンパクトなリー群は実数体上の簡約線形代数群の有理点とみなされるため、「リー群の群」という名前は（無限）リー群との密接な関係に起因します。デュードネ（1971）とカーター（1989）は、リー型のグループの標準的な参照です。

クラシックグループ

この問題に対する最初のアプローチは、Jordan（1870）による有限およびその他の分野でのいわゆる古典的グループの定義と詳細な研究でした。これらのグループは、LE DicksonとJeanDieudonnéによって研究されました。 Emil Artinは、偶然のケースを分類する目的で、そのようなグループの順序を調査しました。

古典的なグループは、大まかに言って、特別な線形、直交、シンプレクティック、またはユニタリのグループです。これらにはいくつかの小さなバリエーションがあり、派生サブグループまたは中央商を取得することによって与えられ、後者は射影線形グループを生成します。それらは、実数で構築されるのとほぼ同じ方法で、有限体（または他の任意のフィールド）で構築できます。これらは、ChevalleyおよびSteinbergグループのシリーズA n 、B n 、C n 、D n 、2A n 、2D nに対応します。

シュヴァレーグループ

シュヴァレー群は有限体上のリー群と考えることができます。この理論は、代数群の理論、およびリー代数に関するChevalley（1955）の研究によって明らかにされ、それによってChevalley群の概念が分離されました。シュヴァレーは、すべての複雑な単純リー代数（または、それらの普遍的な包絡代数）のシュヴァレー基底（一種の積分形式ですが、有限体上）を構築しました。これは、整数上の対応する代数群を定義するために使用できます。特に、彼は任意の有限フィールドの値でポイントを取ることができました。リー代数A n 、B n 、C n 、D nの場合、これはよく知られた古典群を与えましたが、彼の構成は例外的なリー代数E6、E7、E8、F4、およびG2に関連する群も与えました。タイプG2（ Dicksonグループと呼ばれることもあります）は、Dickson（1905）によって既に構築されており、E6はDickson（1901）によって構築されています。

スタインバーググループ

Chevalleyの構成は、既知の古典的グループのすべてを与えたわけではありません。ユニタリグループと非分割直交グループを省略しました。スタインバーグ（1959）は、これらのグループと2つの新しいファミリー3D4、2E6を与えたChevalleyの構造の修正を発見しました。2番目のグループは、ティッツ（1958）によって異なる視点からほぼ同時に発見されました。この構造は、一般線形グループからユニタリグループの通常の構造を一般化します。

ユニタリグループは次のように発生します。複素数上の一般線形グループには、ダイキンダイアグラムA n （転置逆行列の取得に対応）を逆にすることによって与えられるダイアグラム自己同型 、および複素共役を取ることによって与えられるフィールド自己同型があります。ユニタリグループは、これら2つの自己同型の積の不動点のグループです。

同様に、多くのChevalleyグループは、ダイキン図の自己同型によって誘導される図自己同型と、有限体の自己同型によって誘導される体自己同型を持っています。ユニタリの場合と同様に、スタインバーグは図とフィールド自己同型の積の不動点をとることによりグループのファミリーを構築しました。

これらは：

ユニタリ群 2A N、Nのオーダー2同型から。
さらに、直交群 2D N、Dの順番2同型からN。
E6の順序2自己同型からの新しいシリーズ2E6。
D4の順序3自己同型からの新しいシリーズ3D4。

タイプ3D4のグループは、複素数には次数3の自己同型がないため、実数に類似するものはありません。D4ダイアグラムの対称性もまた、試行錯誤を引き起こします。

鈴木–グループ

鈴木（1960）は、既知の代数群とは一見無関係に思える新しい無限群の群を発見しました。 Ree（1960、1961）は、代数群B2が特性2で「余分な」自己同型性を持ち、その正方形がフロベニウス自己同型性であることを知っていました。彼は、特性2の有限体がフロベニウス写像である正方形の自己同型を持っている場合、スタインバーグの構造の類似体が鈴木グループを与えたことを発見しました。そのような自己同型を持つフィールドは22 n +1のフィールドであり、対応するグループは鈴木グループです。

2B2（22 n +1）= Suz（22 n +1）。

（厳密に言えば、グループSuz（2）は単純ではないため、鈴木グループとしてはカウントされません。それは20次のフロベニウスグループです。）Reeは、2つの新しい類似家族を見つけることができました。

2F4（22 n +1）

そして

2G2（32 n +1）

F4およびG2が特性2および3に余分な自己同型を持つという事実を使用した単純なグループの（大まかに言えば、特性pでは、ダイアグラム自己同型をとるとき、ダイキン図の多重度pの結合上の矢印を無視できます）タイプ2F4の最小グループ2F4（2）は単純ではありませんが、 Titsグループ （数学者Jacques Titsにちなんで名付けられた）と呼ばれる単純なインデックス2のサブグループがあります。タイプ2G2の最小グループ2G2（3）は単純ではありませんが、A3（8）と同型のインデックス3の単純な通常のサブグループがあります。有限単純群の分類では、リー群

2G2（32 n +1）

構造を明示的に特定するのが最も難しいものです。これらのグループは、最初の近代的な散発的なグループの発見にも役割を果たしました。彼らはq = 3 nの形式Z / 2 Z ×PSL（2、 q ）のインボリューションセントラライザーを持ち、同様の形式Z / 2 Z ×PSL（2、5）のインボリューションセントラライザーでグループを調査することにより、Jankoは散発的なグループJ 1。

鈴木グループは、3で割り切れない順序を持つ唯一の有限の非アーベル単純グループです。22（2 n +1）（22（2 n +1）+ 1）（2（2 n +1）-1 ）。

有限単純群との関係

リー型の有限群は、周期群、対称群、交代群の後に数学で考慮される最初の群の1つであり、1830年代にエヴァリストガロアによって構築されたPSL（2、 p ）リー型の有限群の体系的な探索は、射影特殊線形群PSL（2、 q ）はq ≠2、3に対して単純であるというカミールジョーダンの定理から始まりました。この定理は、高次元の射影群に一般化され、重要な無限族を与えます有限の単純グループのPSL（ n 、 q ）。他の古典的なグループは、20世紀の初めにレナードディクソンによって研究されました。 1950年代、クロード・シュヴァレーは、適切な再定式化の後、半単純なリー群に関する多くの定理が、任意のフィールドk上の代数群の類似体を認め、現在のシュヴァレー群と呼ばれるものの構築につながっていることに気付きました。さらに、コンパクトで単純なリー群の場合のように、対応する群は抽象的な群としてほとんど単純であることが判明しました（ 乳単純性定理 ）。 19世紀以降、他の有限単純グループ（たとえば、Mathieuグループ）が存在することが知られていましたが、徐々にすべての有限単純グループが、Chevalleyの構造の適切な拡張と周期的および交互グループによって説明できるという信念が形成されました。さらに、例外である散発的なグループは、リー型の有限グループと多くの特性を共有しており、特に、おっぱいの意味でのジオメトリに基づいて構築および特性化できます。

信念は定理になりました–有限単純群の分類。有限単純グループのリストを調べると、有限体上のリー型のグループには、巡回グループ、交互グループ、おっぱいグループ、および26の散発的な単純グループ以外のすべての有限単純グループが含まれていることがわかります。

嘘型の小グループ

一般に、単純に接続された単純な代数群の準同型写像に関連付けられた有限群は、単純群の普遍的な中心拡大であるため、完全であり、自明なSchur乗数を持ちます。ただし、上記のファミリの最小グループの一部は、完全ではないか、「予想」より大きいSchur乗数を持っています。

グループが完全ではない場合には、

A1（2）= SL（2、2）6次の可解（3点の対称群）
A1（3）= SL（2、3）オーダー24の可解（4ポイントの交互グループの二重カバー）
2A2（4）可解
B2（2）完全ではありませんが、6ポイントの対称グループと同型なので、その派生サブグループはインデックス2を持ち、360次の単純なものです。
2B2（2）= Suz（2）20次の可解（フロベニウス群）
2F4（2）完全ではありませんが、派生グループはインデックス2を持ち、単純なおっぱいグループです。
G2（2）完全ではありませんが、派生グループのインデックスは2で、順序は6048です。
2G2（3）完全ではありませんが、派生グループのインデックスは3であり、504次の単純なグループです。

グループは完全であるが、Schur乗数が予想よりも大きい場合があります。

A1（4）Schur乗数には余分なZ / 2 Zがあるため、単純なグループのSchur乗数には1ではなく次数2があります。
A1（9）Schur乗数には余分なZ / 3 Zがあるため、単純グループのSchur乗数には2ではなく6があります。
A2（2）Schur乗数には余分なZ / 2 Zがあるため、単純グループのSchur乗数には1ではなく次数2があります。
A2（4）Schur乗数には追加のZ / 4 Z × Z / 4 Zがあるため、単純グループのSchur乗数の順序は3ではなく48です。
A3（2）Schur乗数には余分なZ / 2 Zがあるため、単純グループのSchur乗数には1ではなく次数2があります。
B3（2）= C3（2）Schur乗数には余分なZ / 2 Zがあるため、単純なグループのSchur乗数には1ではなく次数2があります。
B3（3）Schur乗数には余分なZ / 3 Zがあるため、単純なグループのSchur乗数の順序は2ではなく6です。
D4（2）Schur乗数には余分なZ / 2 Z × Z / 2 Zがあるため、単純なグループのSchur乗数は1ではなく4次です。
F4（2）Schur乗数には余分なZ / 2 Zがあるため、単純なグループのSchur乗数には1ではなく次数2があります。
G2（3）Schur乗数には余分なZ / 3 Zがあるため、単純グループのSchur乗数には1ではなく次数3があります。
G2（4）Schur乗数には余分なZ / 2 Zがあるため、単純なグループのSchur乗数には1ではなく次数2があります。
2A3（4）Schur乗数には余分なZ / 2 Zがあるため、単純グループのSchur乗数には1ではなく次数2があります。
2A3（9）Schur乗数には余分なZ / 3 Z × Z / 3 Zがあるため、単純なグループのSchur乗数の順序は4ではなく36です。
2A5（4）Schur乗数には余分なZ / 2 Z × Z / 2 Zがあるため、単純なグループのSchur乗数の順序は3ではなく12です。
2E6（4）Schur乗数には余分なZ / 2 Z × Z / 2 Zがあるため、単純なグループのSchur乗数の順序は3ではなく12です。
2B2（8）Schur乗数には余分なZ / 2 Z × Z / 2 Zがあるため、単純なグループのSchur乗数には1ではなく4次があります。

リー型のさまざまな小さなグループ（および交互のグループ）の間には、「偶然の」同型が多数あります。たとえば、グループSL（2、4）、PSL（2、5）、および5点の交互グループはすべて同型です。

これらの例外の完全なリストについては、有限単純グループのリストを参照してください。これらの特別なプロパティの多くは、特定の散発的な単純グループに関連しています。

交互のグループは、1つの要素を持つフィールド上のリー型のグループであるかのように動作する場合があります。いくつかの小さな交互グループも例外的な特性を持っています。通常、交互グループには2次の外側自己同型グループがありますが、6ポイントの交互自己グループには4次の外部自己同型グループがあります。通常、交互グループには2次のSchur乗数があります。次数6のSchur乗数。

表記の問題

リー型の有限群には標準的な表記法はなく、文献にはそれらの表記法の互換性がなく混乱しやすいシステムが多数含まれています。

単純なグループPSL（ n 、 q ）は、通常、代数群PSL（ n ）のF q値の点のグループPSL（ n 、 F q ）と同じではありません。問題は、SL（ n ）→PSL（ n ）などの代数群の全射マップが、（代数的に閉じていない）いくつかのフィールドの値を持つ対応する群の全射マップを必ずしも誘導しないことです。有限体の値を持つ他の代数群の点にも同様の問題があります。
タイプA n -1のグループは、PSL（ n 、 q ）（射影特殊線形グループ）またはL （ n 、 q ）で示される場合があります。
タイプC nのグループは、Sp（2 n 、 q ）（シンプレクティックグループ）または（紛らわしいことに）Sp（ n 、 q ）で示されることがあります。
タイプD nのグループ（「直交」グループ）の表記は特にわかりにくいです。使用されている一部の記号は、O（N、Q）、Oです- （N、Q）、PSO（nは 、Q）、ΩN（Q）が、これらが対応し、まさにグループと言うことはできないので、多くの慣習があります明示的に指定せずに。問題の原因は、単純なグループが直交グループOでも射影特殊直交グループPSOではなく、PSOのサブグループであり、それに応じて古典的な表記法がないことです。特に厄介なトラップは、ATLASなどのいくつかの著者は、直交群が、対応する単純群ではないグループのためにO（N、Q）を使用することです。彼の定義は、n≤4のための簡単で、したがって同じ表記がn≥5に一致する若干異なるグループのために使用することができるではなく、低次元ではないが表記Ω、PΩは、ジャン・デュドネによって導入されました。
Steinbergグループの場合、一部の著者は、他の著者が2A n （ q ）で示すグループに対して2A n （ q 2）（など）を記述します。問題は、次の2つのフィールドが関係することです。1つは次数q 2で、その固定フィールドは次数qであり、人々は記法に含めるべきさまざまなアイデアを持っています。「2A n （ q 2）」の表記法はより論理的で一貫性がありますが、「2A n （ q ）」の表記法ははるかに一般的であり、代数群の表記法により近くなっています。
著者は、A n （ q ）などのグループが、単純な代数グループまたは単純に接続された代数グループの値を持つ点のグループであるかどうかによって異なります。たとえば、A n （ q ）は、特殊線形グループSL（ n +1、 q ）または射影特殊線形グループPSL（ n +1、 q ）のいずれかを意味します。したがって、2A2（4）は、作成者に応じて4つの異なるグループのいずれかになります。