グラスマンニアン
数学では、 Grassmannian Gr （ k 、 V ）は、n次元ベクトル空間Vのすべてのk次元線形部分空間をパラメータ化する空間です。たとえば、Grassmannian Gr （1、 V ）は、原点を通る線の空間です。 Vでは、Vよりも1次元低い射影空間と同じです。
Vが実数または複素数のベクトル空間の場合、グラスマニアンはコンパクトで滑らかな多様体です。一般に、次元k（n−k）の滑らかな代数多様体の構造を持っています。{\ displaystyle k（nk）。}
非自明なGrassmannianの初期の研究は、 Gr （2、 R 4）に相当する射影3空間の射影線のセットを研究し、現在のPlücker座標と呼ばれるものによってパラメーター化したJuliusPlückerによるものです。ヘルマン・グラスマンは後にこの概念を一般的に紹介しました。
表記法は著者によって異なり、Grk（V）{\ displaystyle Gr_ {k}（V）}はGr （ k 、 V ）と同等であり、一部の著者はGrk（n）{\ displaystyle Gr_ {k}（n）}を使用していますGr （ k 、 n ）は、指定されていないn次元ベクトル空間のk次元部分空間のグラスマン分布を示します。
動機
いくつかのベクトル空間の部分空間のコレクションにトポロジ構造を与えることにより、部分空間の連続的な選択、または部分空間の開いたコレクションと閉じたコレクションについて話すことができます。それらに微分多様体の構造を与えることにより、部分空間のスムーズな選択について話すことができます。
自然な例は、ユークリッド空間に埋め込まれた滑らかな多様体の接線束に由来します。 R nに埋め込まれた次元kの多様体Mがあるとします。 Mの各点xで、Mの接空間は、 R nの接空間の部分空間と見なすことができます。これはちょうどR nです。 xに接線空間を割り当てるマップは、MからGr （ k 、 n ）へのマップを定義します。 （これを行うには、xではなく原点を通過するように各x∈Mで接線空間を変換し、k次元のベクトル部分空間を定義する必要があります。この考え方は、 3次元空間の表面。）
さまざまな埋め込み定理がこれを示すことを証明しなければならないけれども、この考えは多様なM上のすべてのベクトル束にいくらかの努力で拡張できます。次に、ベクターバンドルのプロパティは、連続マップとして表示される対応するマップのプロパティに関連していることがわかります。特に、Grassmannianへのホモトピックマップを誘導するベクトルバンドルは同型であることがわかります。ここで、ホモトピックの定義は、連続性の概念、したがってトポロジに依存しています。
低次元
k = 1の場合、Grassmannian Gr （1、 n ）はn空間の原点を通る線の空間であるため、 n -1次元の射影空間と同じです。
k = 2の場合、グラスマン型は原点を含むすべての2次元平面の空間です。ユークリッド3空間では、原点を含む平面は、その平面に垂直な原点を通る唯一の線（およびその逆）によって完全に特徴付けられます。したがって、空間Gr （2、3）、 Gr （1、3）、およびP 2（射影平面）はすべて互いに識別できます。
射影空間ではない最も単純なグラスマン関数はGr （2、4）であり、これはPlücker座標を介してパラメーター化できます。
セットとしてのグラスマンの幾何学的定義
VをフィールドK上のn {\ displaystyle n}次元のベクトル空間とします。グラスマン行列Gr （ k 、 V ）はVのすべてのk次元線形部分空間の集合です。グラスマン行列はGr （ k 、 n ）またはGrk（n）{\ displaystyle Gr_ {k}（n）}。
微分可能な多様体としてのグラスマン派
Grassmannian Grk（V）{\ displaystyle Gr_ {k}（V）}に微分可能な多様体の構造を付与するには、V {\ displaystyle V}の基底を選択します。これは、（e1、…、en）{\ displaystyle（e_ {1}、\ dots、e_ {n}と示される）標準ベースでV = Kn {\ displaystyle V = K ^ {n}}で識別することと同等です。 ）}、列ベクトルとして表示されます。次に、Grk（V）{\ displaystyle Gr_ {k}（V）}の要素として表示されるk {\ displaystyle k}次元部分空間w⊂V{\ displaystyle w \ subset V}について、次からなる基底を選択できます。 k {\ displaystyle k}の線形独立列ベクトル（W1、…、Wk）{\ displaystyle（W_ {1}、\ dots、W_ {k}）}要素w∈Grk（V）{\ displaystyle w \ in Gr_ {k}（V）}の同次座標は、n×k {\ displaystyle n \ times k}長方形行列W {\ displaystyle Wの成分で構成されます} i {\ displaystyle i}番目の列ベクトルがWi、i = 1、…、k {\ displaystyle W_ {i}、\ quad i = 1、\ dots、k}である最大ランクの}。基底の選択は任意であるため、2つのそのような最大ランク矩形行列W {\ displaystyle W}およびW〜{\ displaystyle {\ tilde {W}}}は同じ要素w∈Grk（V）{\ displaystyle w \ inを表しますGr_ {k}（V）}一部の要素g∈GL（k、K）{\ displaystyle g \ in GL（k、に対してW〜= Wg {\ displaystyle {\ tilde {W}} = Wg}の場合にのみK）は、K {\ displaystyle K}にエントリがある可逆k×k {\ displaystyle k \ times k}行列の一般線形グループの。
次に、座標アトラスを定義します。任意のn×k {\ displaystyle n \ times k}行列W {\ displaystyle W}に対して、基本列操作を適用して、その列の短縮形を取得できます。 W {\ displaystyle W}の最初のk {\ displaystyle k}行が線形独立である場合、結果は次の形式になります
。{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 \\＆1 \\ && \ ddots \\ &&& 1 \\ a_ {1,1}＆\ cdots＆\ cdots＆a_ {1、k} \\\ vdots &&& \ vdots \ \ a_ {nk、1}＆\ cdots＆\ cdots＆a_ {nk、k} \ end {bmatrix}}。}（n−k）×k {\ displaystyle（nk）\ times k}行列A =（aij）{\ displaystyle A =（a_ {ij}）}はw {\ displaystyle w}を決定します。一般に、最初のk {\ displaystyle k}行は独立している必要はありませんが、ランクがk {\ displaystyle k}であるW {\ displaystyle W}には、整数の順序セット1≤i1⋯ikが存在します≤n{\ displaystyle 1 \ leq i_ {1} \ cdots i_ {k} \ leq n}サブマトリックスWi1、…、ik {\ displaystyle W_ {i_ {1}、\ dots、i_ {k} }} i1、…、ik {\ displaystyle i_ {1}、\ ldots、i_ {k}}行で構成されるW {\ displaystyle W}の行は特異ではありません。列操作を適用してこのサブマトリックスをIDに減らすことができ、残りのエントリは一意にw {\ displaystyle w}に対応します。したがって、次の定義があります。
整数の各順序セット1≤i1⋯ik≤n{\ displaystyle 1 \ leq i_ {1} \ cdots i_ {k} \ leq n}、Ui1、…、ik {\ displaystyle U_ {i_ {1}、\ dots、i_ {k}}}は、n×k {\ displaystyle n \ times k}行列W {\ displaystyle W}の集合で、そのk×k {\ displaystyle k \ times k}部分行列Wi1 …、ik {\ displaystyle W_ {i_ {1}、\ dots、i_ {k}}}は特異ではありません。Wi1のj {\ displaystyle j}行目…、ik {\ displaystyle W_ {i_ {1} 、\ dots、i_ {k}}}は、W {\ displaystyle W}のij {\ displaystyle i_ {j}}番目の行です。 Ui1、…、ik {\ displaystyle U_ {i_ {1}、\ dots、i_ {k}}}の座標関数は、マップAi1、…、ik {\ displaystyle A ^ {i_ {1}、 W {\ displaystyle W}を（n-k）×k {\ displaystyle（nk）\ times k}長方形行列に送信する\ dots、i_ {k}}}行が行列WWi1、…の行であるik−1 {\ displaystyle WW_ {i_ {1}、\ dots、i_ {k}} ^ {-1}}（i1、…、ik）{\ displaystyle（i_ {1}、\ dots、i_ { k}）}。要素w∈Grk（V）{\ displaystyle w \ in Gr_ {k}（V）}を表す同次座標行列W {\ displaystyle W}の選択は、座標行列Ai1、…、ik {の値に影響しません\ displaystyle A ^ {i_ {1}、\ dots、i_ {k}}}は、座標Ui1、…、ik {\ displaystyle U_ {i_ {1}、\ dots、i_ {上のw {\ displaystyle w}を表しますk}}}。さらに、座標行列Ai1、…、ik {\ displaystyle A ^ {i_ {1}、\ dots、i_ {k}}}は任意の値を取ることができ、Ui1、…、ik {\ displaystyle U_から微分同相写像を定義します。 {i_ {1}、\ dots、i_ {k}}}を（n-k）×k {\ displaystyle（nk）\ times k}次元K {\ displaystyle K}値行列の空間に配置します。
オーバーラップで
Ui1、…、ik∩Uj1、…、jk {\ displaystyle U_ {i_ {1}、\ dots、i_ {k}} \ cap U_ {j_ {1}、\ dots、j_ {k}}}このような2つの座標近傍の場合、座標行列値は遷移関係によって関連付けられます
Ai1、…、ikWi1、…、ik = Aj1、…、jkWj1、…、jk、{\ displaystyle A ^ {i_ {1}、\ dots、i_ {k}} W_ {i_ {1}、\ dots、i_ {k}} = A ^ {j_ {1}、\ dots、j_ {k}} W_ {j_ {1}、\ dots、j_ {k}}、}ここで、Wi1、…、ik {\ displaystyle W_ {i_ {1}、\ dots、i_ {k}}}とWj1、…、jk {\ displaystyle W_ {j_ {1}、\ dots、j_ {k}} }は可逆です。したがって、（Ui1、…、ik、Ai1、…、ik）{\ displaystyle（U_ {i_ {1}、\ dots、i_ {k}}、A ^ {i_ {1}、\ dots、i_ {k}} ）}はGrk（V）{\ displaystyle Gr_ {k}（V）}のアトラスを提供します。
均質空間としてのグラスマンニアン
Grassmannianに幾何学的構造を与える最も簡単な方法は、それを均質な空間として表現することです。まず、一般線形群GL（ V ）がVのr次元部分空間に推移的に作用することを思い出してください。したがって、Hがこの作用下の部分空間の安定剤である場合、
Gr （ r 、 V ）= GL（ V ）/ H。基礎となるフィールドがRまたはCであり、GL（ V ）がリー群と見なされる場合、この構造はグラスマン型を滑らかな多様体にします。他のグループを使用してこの構造を作成することも可能になります。これを行うには、Vの内積を修正します。Rを介して、GL（ V ）を直交グループO（ V ）に置き換え、正規直交フレームに制限することにより、アイデンティティを取得します。
Gr （ r 、 n ）= O（ n ）/（O（ r ）×O（ n – r ））。特に、グラスマンの次元はr （ n – r ）です。
C上では、GL（ V ）をユニタリグループU（ V ）に置き換えます。これは、グラスマン派がコンパクトであることを示しています。これらの構造はまた、グラスマン行列を計量空間にします：Vの部分空間Wの場合、 PWをVのWへの投影とします。
d（W、W ′）= ‖PW−PW′‖、{\ displaystyle d（W、W'）= \ lVert P_ {W} -P_ {W '} \ rVert、}ここで||⋅||は演算子のノルムを示し、 Gr （ r 、 V ）のメトリックです。使用される正確な内積は重要ではありません。異なる内積はVに同等のノルムを与え、同等のメトリックを与えるためです。
グラウンドフィールドkが任意で、GL（ V ）が代数群と見なされる場合、この構造は、グラスマン型が非特異代数多様体であることを示します。それはグラスマン派が代数多様体として完全であることを埋め込んでいるプルッカーの存在からくる。特に、HはGL（ V ）の放物線サブグループです。
スキームとしてのグラスマン派
代数幾何学の領域では、グラスマン型は表現可能なファンクターとして表現することによりスキームとして構築できます。
表現可能なファンクター
E {\ displaystyle {\ mathcal {E}}}をスキームS上の準コヒーレント層にします。正の整数rを修正します。次に、各SスキームTに、グラスマン型ファンクターは、次の商モジュールのセットを関連付けます。
ET：=E⊗OSOT{\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {T}：= {\ mathcal {E}} \ otimes _ {O_ {S}} O_ {T}}Tのランクrがローカルにありません。このセットをGr（r、ET）{\ displaystyle \ mathbf {Gr}（r、{\ mathcal {E}} _ {T}）}で表します。
このファンクターは、分離されたSスキームGr（r、E）{\ displaystyle \ mathbf {Gr}（r、{\ mathcal {E}}）}で表現できます。 E {\ displaystyle {\ mathcal {E}}}が有限生成される場合、後者は射影的です。 Sがフィールドkのスペクトルである場合、束E {\ displaystyle {\ mathcal {E}}}はベクトル空間Vで与えられ、Vの双対空間の通常のグラスマン多様体、すなわちGr （ r 、 V ∗）。
構造上、Grassmannianスキームはベースの変更と互換性があります。任意のSスキームS 'について、正準同型があります。
Gr（r、E）×SS′≃Gr（r、ES ′）{\ displaystyle \ mathbf {Gr}（r、{\ mathcal {E}}）\ times _ {S} S' \ simeq \ mathbf {Gr }（r、{\ mathcal {E}} _ {S '}）}特に、Sの任意の点sについて、正準モルフィズム{ s } = Spec（ k （ s ））→ Sは、ファイバーGr（r、E）s {\ displaystyle \ mathbf {Gr}（r 、{\ mathcal {E}}）_ {s}}を通常のGrassmannian Gr（r、E⊗OSk（s））{\ displaystyle {Gr}（r、{\ mathcal {E}} \ otimes _ {O_剰余体k （ s ）上の{S}} k（s））}。
ユニバーサルファミリー
Grassmannianスキームはファンクターを表すため、ユニバーサルオブジェクトG {\ displaystyle {\ mathcal {G}}}が付属しています。
Gr（r、EGr（r、E））、{\ displaystyle \ mathbf {Gr} \ left（r、{\ mathcal {E}} _ {\ mathbf {Gr}（r、{\ mathcal {E}}） }\右）、}したがって、EGr（r、E）{\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {\ mathbf {Gr}（r、{\ mathcal {E}の商モジュールG {\ displaystyle {\ mathcal {G}}}} }）}}、局所的にGr（r、E）{\ displaystyle \ mathbf {Gr}（r、{\ mathcal {E}}）}上のランクrがありません。商準同型写像は、射影束P（G）{\ displaystyle \ mathbf {P}（{\ mathcal {G}}）}からの閉じた没入を引き起こします。
P（G）→P（EGr（r、E））= P（E）×SGr（r、E）。{\ displaystyle \ mathbf {P}（{\ mathcal {G}}）\ to \ mathbf {P } \ left（{\ mathcal {E}} _ {\ mathbf {Gr}（r、{\ mathcal {E}}）} \ right）= \ mathbf {P}（{\ mathcal {E}}）\ times _ {S} \ mathbf {Gr}（r、{\ mathcal {E}}）。}Sスキームの射の場合：
T→Gr（r、E）、{\ displaystyle T \ to \ mathbf {Gr}（r、{\ mathcal {E}}）、}このクローズドイマージョンはクローズドイマージョンを誘発します
P（GT）→P（E）×ST。{\ displaystyle \ mathbf {P}（{\ mathcal {G}} _ {T}）\ to \ mathbf {P}（{\ mathcal {E}}）\回_ {S} T。}逆に、そのようなクローズドイマージョンはOT {\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {T}}からrank rのローカルにフリーなモジュールまでのOTモジュールの全射準同型から生じます。したがって、Gr（r、E）（T）{\ displaystyle \ mathbf {Gr}（r、{\ mathcal {E}}）（T）}の要素は、ランクrの射影サブバンドルです。
P（E）×ST。{\ displaystyle \ mathbf {P}（{\ mathcal {E}}）\ times _ {S} T。}この識別では、 T = Sがフィールドkのスペクトルであり、E {\ displaystyle {\ mathcal {E}}}がベクトル空間Vで与えられる場合、有理点の集合Gr（r、E）（k） {\ displaystyle \ mathbf {Gr}（r、{\ mathcal {E}}）（k）}は、 P （ V ）の次元r − 1の射影線形部分空間、およびP（G）（kの画像）{\ displaystyle \ mathbf {P}（{\ mathcal {G}}）（k）}
P（V）×kGr（r、E）{\ displaystyle \ mathbf {P}（V）\ times _ {k} \ mathbf {Gr}（r、{\ mathcal {E}}）}セットです
{（x、v）∈P（V）（k）×Gr（r、E）（k）∣x∈v}。{\ displaystyle \ {（x、v）\ in \ mathbf {P}（V） （k）\ times \ mathbf {Gr}（r、{\ mathcal {E}}）（k）\ mid x \ in v \}。}Plücker埋め込み
Plücker埋め込みは、Grassmannian Gr（k、V）{\ displaystyle \ \ mathbf {Gr}（k、V）}を外部代数projectkV {\ displaystyle \ bigwedge ^ {k} Vの射影に自然に埋め込むことです。 }：
ι：Gr（k、V）→P（⋀kV）。{\ displaystyle \ iota：\ mathbf {Gr}（k、V）\ to \ mathbf {P} \ left（\ bigwedge ^ {k} V \ right ）。}Wがn {\ displaystyle n}次元ベクトル空間Vのk次元部分空間であると仮定します。ι（W）{\ displaystyle \ iota（W）}を定義するには、基底{ w 1、...、 wkを選択します}、W、およびι（M）{\ displaystyle \ iota（M）}をこれらの基本要素のウェッジ積とします。
ι（W）=。{\ displaystyle \ iota（W）=。}Wの異なる基底は異なるウェッジ積を与えますが、2つの積はゼロ以外のスカラー（基底行列の変化の決定要因）だけが異なります。右側は射影空間で値を取るため、ι{\ displaystyle \ iota}は明確に定義されています。 ι{\ displaystyle \ iota}が埋め込みであることを確認するには、ι{\ displaystyle \ iota}からW {\ displaystyle W}をすべてのベクトルw {\ displaystyle w}のセットのスパンとして復元できることに注意してください。 w∧ι（W）= 0 {\ displaystyle w \ wedge \ iota（W）= 0}のようになります。
プリュッカー座標とプリュッカー関係
グラスマンニアンのPlücker埋め込みは、 Plücker関係と呼ばれる非常に単純な2次関係を満たします。これらは、グラスマンは、P（∧k個 V）の代数subvarietyとして埋め込むとグラスマンを構築する別の方法を与えることを示しています。プルッカー関係を述べるには、Vの基底{ e 1、...、 en }を修正し、Wを基底{ w 1、...、 wk }を持つVのk次元部分空間とします。 （ w i1、...、 win ）をVの基底{ e 1、...、 en }に対するwiの座標とします。
2つの順序付きシーケンス1≤i1i2⋯ik-1≤n{\ displaystyle 1 \ leq i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {k-1} \ leq n}および1≤j1 j2⋯jk +1≤n{\ displaystyle 1 \ leq j_ {1} j_ {2} \ cdots j_ {k + 1} \ leq n} k-1 {\ displaystyle k-1}およびk + 1 {\ displaystyle k + 1}正の整数、それぞれ、次の同次方程式が有効であり、Plücker埋め込み下のWの画像を決定します。
∑ℓ = 1k + 1（−1）ℓWi1、…、ik−1、jℓWj1、…、jℓ^、…jk + 1 = 0、{\ displaystyle \ sum _ {\ ell = 1} ^ {k + 1} （-1）^ {\ ell} W_ {i_ {1}、\ dots、i_ {k-1}、j _ {\ ell}} W_ {j_ {1}、\ dots、{\ widehat {j _ {\ ell }}}、\ dots j_ {k + 1}} = 0、}ここで、j1、…、jℓ^、…jk + 1 {\ displaystyle j_ {1}、\ ldots、{\ widehat {j _ {\ ell}}}、\ ldots j_ {k + 1}}はシーケンスj1、…を表します、jk + 1 {\ displaystyle j_ {1}、\ ldots、j_ {k + 1}}という用語jℓ{\ displaystyle j _ {\ ell}}は省略されています。
dim（ V ）= 4、 k = 2のとき、射影空間ではない最も単純なグラスマン型である場合、上記は1つの方程式になります。 W 12によってP（∧k個 V）の座標を表す、13、W 14、W 23、W 24、W 34、WPlückerマップ下のGr（2、V）の画像は、単一の式で定義されます。
ただし、一般に、射影空間にグラスマン型のPlücker埋め込みを定義するには、さらに多くの方程式が必要です。
実際のアフィン代数多様体としてのグラスマンニアン
Grの （R、R n） は R n の R次元の部分空間のグラスマンを示すものとします。 M（ n 、 R ）が実数n × n行列の空間を示すものとします。 X∈A（R、N）によって定義された行列A（R、N）⊂M（N、R）のセットを考える場合と三つの条件が満たされた場合にのみ。
- Xは射影演算子です： X 2 = X。
- Xtの = X：Xは対称です。
- Xにはトレースr：tr（ X ）= rがあります。
（R、N）とGrの （R、R n） は Xの列空間にX∈A（R、N）を送信することによって確立された対応で、同相であります
二元性
Vのすべてのr次元部分空間Wは、Vの（ n – r ）次元の商空間V / Wを決定します。これにより、自然で正確な短いシーケンスが得られます。
0→ W → V → V / W →0これらの3つの空間と線形変換のそれぞれに双対を取ると、商W ∗を持つV ∗に（ V / W ）∗が含まれます。
0→（ V / W ）∗→ V ∗→ W ∗→0。二重双対を持つ有限次元ベクトル空間の自然同型を使用すると、双対を取ると元の短い正確なシーケンスが再び回復することがわかります。その結果、Vのr次元部分空間とV ∗の（ n – r ）次元部分空間の間には1対1の対応があります。 Grassmannianに関しては、これは正準同型です
GR（R、V）≅GR（N - R、V *）。したがって、 V ∗でVの同型を選択すると、 Gr （ r 、 V ）およびGr （ n − r 、 V ）の（非正準）同型が決まります。 V ∗とVの同型は内積の選択に相当し、選択された内積に関して、グラスマンニアンのこの同型はr次元部分空間を（ n – r ）次元の補数に送ります。
シューベルト細胞
グラスマンニアンの詳細な研究では、列挙幾何学で最初に適用されたシューベルトセルと呼ばれるサブセットへの分解を使用します。 Gr （ r 、 n ）のシューベルトセルは、補助フラグによって定義されます： Vi sub V i + 1の部分空間V 1、 V 2、...、 Vrを取得します。次に、 Gr （ r 、 n ）、 i = 1、...、 rの場合、少なくともi次元のViと交差するWで構成されます。シューベルト細胞の操作はシューベルト計算です。
これがテクニックの例です。 R nの r次元部分空間のグラスマン分布のオイラー特性を決定する問題を考えます。 1次元部分空間R⊂R Nを固定し、それらのR次元のRを含むR n の部分空間とそうでないものへのGr（R、N）のパーティションを考えます。前者はGr （ r − 1、 n − 1）であり、後者はGr （ r 、 n − 1）上のr次元ベクトル束です。これにより、再帰的な式が得られます。
χr、n = χr−1、n−1 +（− 1）rχr、n−1、χ0、n =χn、n = 1。{\ displaystyle \ chi _ {r、n} = \ chi _ {r- 1、n-1} +（-1）^ {r} \ chi _ {r、n-1}、\ qquad \ chi _ {0、n} = \ chi _ {n、n} = 1。}この再帰関係を解くと、次の公式が得られます。nが偶数でrが奇数の場合にのみ、χr、n = 0です。そうでなければ：
χr、n =（⌊n2⌋⌊r2⌋）。{\ displaystyle \ chi _ {r、n} = {\ lfloor {\ frac {n} {2}} \ rfloor \ choose \ lfloor {\ frac {r} {2}} \ rfloor}。}複雑なグラスマン型のコホモロジーリング
複雑なグラスマン多様体Gr （ r 、 n ）のすべての点は、n空間のr平面を定義します。これらの平面をグラスマン平面上で繊維化すると、射影空間のトートロジー的束を一般化するベクトル束Eに到達します。同様に、これらの平面の（ n − r ）次元の直交補数は、直交ベクトルバンドルFを生成します。グラスマニアンの積分コホモロジーは、Eのチャーンクラスによってリングとして生成されます。特に、すべての積分コホモロジーは射影空間の場合のように均等に。
これらのジェネレーターは、リングを定義する一連の関係に従います。定義関係は、EとFのチャーンクラスで構成されるジェネレーターのより大きなセットに対して簡単に表現できます。その後、関係は、バンドルEとFの直接和が自明であると述べるだけです。 Chernクラス全体の機能性により、この関係を次のように記述できます。
c（E）c（F）= 1。{\ displaystyle c（E）c（F）= 1。}量子コホモロジーリングは、The Verlinde Algebra and The Cohomology Of The GrassmannianのEdward Wittenによって計算されました。ジェネレーターは古典的なコホモロジーリングのジェネレーターと同じですが、上の関係は次のように変更されます。
ck（E）cn−k（F）=（− 1）n−r {\ displaystyle c_ {k}（E）c_ {nk}（F）=（-1）^ {nr}}2 n単位の状態に対応するコホモロジーの次数に違反する2 nフェルミオンゼロモードを持つインスタントンの対応する場の理論における存在を反映しています。
関連するメジャー
Vがn次元ユークリッド空間である場合、次の方法でGr （ r 、 n ）の均一な尺度を定義できます。 θnを直交グループO（ n ）の単位Haarメジャーとし、 Gr （ r 、 n ）でVを固定します。その後、集合A⊆ のGr（R、N）のために、定義
γr、n（A）=θn{g∈O（n）：gV∈A}。{\ displaystyle \ gamma _ {r、n}（A）= \ theta _ {n} \ {g \ in \ operatorname {O}（n）：gV \ in A \}。}この測定値は、グループO（ n ）からのアクション、 つまり、 O（ n ）のすべてのgに対してγr、n （ gA ）= γr、n （ A ）の下で不変です。 θn （O（ n ））= 1 なので、γr、n （ Gr （ r 、 n ））= 1になります。さらに、 γr、nは計量空間トポロジーに関するラドン測度であり、次の意味で均一です。 （このメトリックに関して）同じ半径のすべてのボールは同じ尺度です。
指向のグラスマン
これは、 R nのすべての指向 r次元部分空間で構成される多様体です。 Gr （ r 、 n ）の二重カバーであり 、 次のように表されます。
Gr〜（r、n）。{\ displaystyle {\ widetilde {\ mathbf {Gr}}}（r、n）。}同次空間として、次のように表現できます。
SO（n）/（SO（r）×SO（n−r））。{\ displaystyle \ operatorname {SO}（n）/（\ operatorname {SO}（r）\ times \ operatorname {SO} （nr））。}用途
グラスマン多様体は、ビデオベースの顔認識および形状認識のコンピュータービジョンタスクに用途を見出しています。また、グランドツアーと呼ばれるデータ視覚化手法でも使用されます。
グラスマンニアンでは、両原子面と呼ばれる正のグラスマンニアン構造を介して、素粒子の散乱振幅を計算できます。
