ガウス面
ガウスサーフェス （GSと略されることもあります）は、3次元空間の閉じたサーフェスであり、ベクトル場のフラックスが計算されます。通常、重力場、電場、または磁場。これは、表面を行うことにより、対応するフィールド（ガウスの法則、磁気のためにガウスの法則、または重力のためにガウスの法則）はガウスの法則に関連して使用される任意の閉曲面S =∂V（3次元領域Vの境界）であります積分、含まれるソース量の合計量を計算するため。たとえば、重力場のソースとしての重力質量の量、または静電界のソースとしての電荷の量、またはその逆：ソース分布の場を計算します。
具体的には、この記事では電界が考慮されます。これは、表面概念が使用される最も頻繁なタイプの電界であるためです。
通常、ガウスサーフェスは、状況の対称性を利用してサーフェス積分の計算を簡素化するために慎重に選択されます。表面上のすべての点で法線ベクトルに沿った電界の成分が一定になるようにガウス表面が選択される場合、発生する定数を積分から取り出すことができるため、計算は難しい積分を必要としません。
一般的なガウスサーフェス
ガウス曲面を使用したほとんどの計算は、ガウスの法則（電気の場合）を実装することから始まります。
ΦE= {\ displaystyle \ Phi _ {E} = \、\！} S {\ displaystyle \ scriptstyle S \！}E⋅dA=Qencε0。{\ displaystyle \ mathbf {E} \; \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {A} = {\ frac {Q_ {enc}} {\ varepsilon _ {0}}}。\、\！}それにより、 Q encはガウス表面によって囲まれた電荷です。
これは、発散定理とクーロンの法則の両方を組み合わせたガウスの法則です。
球面
球面またはガウス表面は、次のいずれかによって生成される電界またはフラックスを見つけるときに使用されます。
- ポイントチャージ
- 均一に分布した電荷の球殻
- 球対称のその他の電荷分布
球面ガウス表面は、電荷分布と同心になるように選択されます。
例として、均一に分布した電荷Qと半径Rを持つ、無視できる厚さの荷電球殻Sを考えてみましょう。ガウスの法則を使用して、荷電シェルの中心から距離rにある合成電界Eの大きさを見つけることができます。半径r Rの球面ガウスサーフェスの場合、囲まれた電荷はゼロであることがすぐにわかります。したがって、正味フラックスはゼロであり、ガウスサーフェス上の電界の大きさも0です（ガウスのQ A = 0ここで、 Q Aはガウス面で囲まれた電荷です）。
同じ例で、 r > Rであるシェルの外側の大きなガウス表面を使用すると、ガウスの法則はゼロ以外の電界を生成します。これは次のように決定されます。
球面Sから出るフラックスは次のとおりです。
ΦE= {\ displaystyle \ Phi _ {E} = \、\！}∂S{\ displaystyle \ scriptstyle \ partial S \、\！}E⋅dA=∫∫cEdAcos0∘=E∫∫SdA{\ displaystyle \ mathbf {E} \ cdot d \ mathbf {A} = \ int \！\！\！\！\ int _ {c} EdA \ cos 0 ^ {\ circ} = E \ int \！\！\！\ ！\ int _ {S} dA \、\！}半径rの球の表面積は
dSdA =4πr2{\ displaystyle \ int \！\！\！\！\ int _ {S} dA = 4 \ pi r ^ {2}}含意する
ΦE=E4πr2{\ displaystyle \ Phi _ {E} = E4 \ pi r ^ {2}}ガウスの法則により、フラックスも
ΦE=QAε0{\ displaystyle \ Phi _ {E} = {\ frac {Q_ {A}} {\ varepsilon _ {0}}}}最終的には位置rにおけるEの -fieldの大きさは、ΦEの式を与える等式：
E4πr2=QAε0⇒E=QA4πε0r2。{\ displaystyle E4 \ pi r ^ {2} = {\ frac {Q_ {A}} {\ varepsilon _ {0}}} \ quad \ Rightarrow \ quad E = {\ frac { Q_ {A}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} r ^ {2}}}。}この重要な結果は、電荷分布の外側から観察した場合、電荷の球状分布は点電荷として機能することを示しています。これは、実際にはクーロンの法則の検証です。そして、述べたように、外部の料金はカウントされません。
円筒面
電界または次のいずれかによって生成されるフラックスを見つける場合、円筒形のガウス表面が使用されます。
- 無限に長い均一な電荷の線
- 均一な電荷の無限平面
- 均一な電荷の無限に長いシリンダー
例として、「無限線電荷に近いフィールド」を以下に示します。
電荷密度（単位長さあたりの電荷）λを持つ無限線電荷から距離rにある点Pを考えます。回転軸が線電荷である円柱の形の閉じた表面を想像してください。 hがシリンダーの長さの場合、シリンダーに含まれる電荷は
q =λh{\ displaystyle q = \ lambda h}、ここで、 qはガウス面で囲まれた電荷です。図に示すように、3つの表面a 、 b 、 cがあります。微分ベクトル面積は、各表面a 、 b 、 cで d Aです。
フラックス通過は、次の3つの寄与で構成されます。
ΦE= {\ displaystyle \ Phi _ {E} = \、\！} A {\ displaystyle \ scriptstyle A \、\！}E⋅dA=∫∫aE⋅dA+∫∫bE⋅dA+∫∫cE⋅dA{\ displaystyle \ mathbf {E} \ cdot d \ mathbf {A} = \ int \！\！\！\！\ int _ {a} \ mathbf {E} \ cdot d \ mathbf {A} + \ int \！\ ！\！\！\ int _ {b} \ mathbf {E} \ cdot d \ mathbf {A} + \ int \！\！\！\！\ int _ {c} \ mathbf {E} \ cdot d \ mathbf {A}}表面aとbの場合、 Eとd Aは垂直になります。図に示すように、表面cの場合、 Eとd Aは平行になります。
ΦE=∫∫aEdAcos90∘+∫∫bEdAcos90∘+∫∫cEdAcos0∘=E∫∫cdA{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ Phi _ {E}＆= \ int \！\！ \！\！\ int _ {a} EdA \ cos 90 ^ {\ circ} + \ int \！\！\！\！\ int _ {b} EdA \ cos 90 ^ {\ circ} + \ int \！ \！\！\！\ int _ {c} EdA \ cos 0 ^ {\ circ} \\＆= E \ int \！\！\！\！\ int _ {c} dA \\\ end {aligned} }}シリンダーの表面積は
∫∫cdA=2πrh{\ displaystyle \ int \！\！\！\！\ int _ {c} dA = 2 \ pi rh}含意する
ΦE=E2πrh{\ displaystyle \ Phi _ {E} = E2 \ pi rh}ガウスの法則により
ΦE=qε0{\ displaystyle \ Phi _ {E} = {\ frac {q} {\ varepsilon _ {0}}}}ΦのE利回りのための等式
E2πrh=λhε0⇒E=λ2πε0r{\ displaystyle E2 \ pi rh = {\ frac {\ lambda h} {\ varepsilon _ {0}}} \ quad \ Rightarrow \ quad E = {\ frac {\ lambda} {2 \ pi \ varepsilon _ {0} r}}}ガウスピルボックス
この表面は、均一な電荷密度の無限の電荷シート、または有限の厚さの電荷のスラブによる電界を決定するために最もよく使用されます。ピルボックスは円筒形で、3つのコンポーネントで構成されていると考えることができます。円筒の一方の端にある円盤、面積πR²、もう一方の端にある円盤、および円柱の側面。表面の各成分を通る電束の合計は、ガウスの法則で規定されているように、ピルボックスの封入電荷に比例します。シートに近いフィールドは一定として近似できるため、ピルボックスは、フィールド線がフィールドの端でディスクを垂直の角度で貫通し、シリンダーの側面がフィールド線に平行になるように配置されています。
