G2（数学）

数学では、 G2は3つの単純なリー群（複雑な形式、コンパクトな実形式、分割された実形式）の名前であり、それらのリー代数g2、{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {2}、}いくつかの代数群と同様に。それらは、5つの並外れた単純なLieグループの中で最小です。 G2にはランク2とディメンション14があります。ディメンション7と14の2つの基本的な表現があります。

G2のコンパクトな形式は、8ビットの実スピノル表現で選択された特定のベクトルを保存するSO（7）のサブグループとして、またはオクトニオン代数の自己同型グループとして説明できます。

歴史

リー代数g2 {\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {2}}は、最小の例外的なシンプルなリー代数であり、シンプルなリー代数を分類する試みで最初に発見されました。 1887年5月23日、ウィルヘルム・キリングはフリードリヒ・エンゲルに手紙を書き、14次元の単純なリー代数を見つけたと書いた。これは現在g2 {\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {2}}と呼ばれている。

1893年、エリーカルタンは、2次元分布、つまり接線の2次元部分空間の滑らかに変化するフィールドを備えたC5 {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {5}}のオープンセットを説明するメモを公開しました。空間—リー代数g2 {\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {2}}が無限小対称性として現れる。同じ年、同じジャーナルで、エンゲルは同じことに気づきました。後で、2次元分布が別のボールの上を転がるボールに密接に関連していることが発見されました。転がるボールの形状の空間は5次元で、滑りやねじれなしに転がるボールの動きを表す2次元の分布です。

1900年、エンゲルは、7次元の複素ベクトル空間上の一般的な反対称3線型（または3型）が、G2の複素型と同型のグループによって保存されることを発見しました。

1908年、カルタンは、オクトニオンの自己同型群は14次元の単純なリー群であると述べました。 1914年、彼はこれがG2のコンパクトな実際の形式であると述べました。

古い本や論文では、G2はE2と呼ばれることがあります。

実際のフォーム

このルートシステムに関連付けられた3つの単純な実リー代数があります。

複雑なリー代数G2の基礎となる実リー代数の次元は28です。これは、外部自己同型として複雑な共役を持ち、単純に接続されます。関連するグループの最大のコンパクトサブグループは、G2のコンパクト形式です。
コンパクト形式のリー代数は14次元です。関連するLieグループには、外部自己同型も中心もなく、単純に接続されてコンパクトです。
非コンパクト（分割）形式のリー代数の次元は14です。関連する単純なリー群は2次の基本群を持ち、その外部自己同型群は自明群です。その最大コンパクトサブグループはSU（2）×SU（2）/（− 1、−1）です。単純に接続された非代数的二重カバーを備えています。

代数

ダイキン図とカルタン行列

G 2のダイキン図はで与えられます。

そのカルタン行列は次のとおりです。

{\ displaystyle \ left}

G2のルーツ

2次元のG2の12ベクトルルートシステム。

直方体の12頂点のA2Coxeter平面投影には、同じ2Dベクトル配列が含まれています。

コクセター平面に投影されたF4およびE8のサブグループとしてのG2のグラフ

描かれているように、それらは2次元空間にまたがっていますが、3次元空間の2次元部分空間内のベクトルと考える方がはるかに対称的です。

（1、−1,0）、（− 1、1,0）（1,0、−1）、（− 1、0、1）（0、1、-1）、（0、−1、1 ）

（2、-1、1、-1）、（-2,1,1）（1、-2,1）、（-1,2、-1）（1,1、-2）、（-1、- 1,2）

単純なルートの 1つのセットは次のとおりです。

（0,1、-1）、（1、−2,1）

ワイル/コクセターグループ

ワイル/コクセターグループG = W（G2）{\ displaystyle G = W（G_ {2}）}は、12次の二面体グループD6 {\ displaystyle D_ {6}}です。最小の忠実度μ（G ）= 5 {\ displaystyle \ mu（G）= 5}。

特別なホロノミー

G2は、リーマン計量のホロノミーグループとして表示される可能性のある特別なグループの1つです。 G2ホロノミーの多様体は、G2多様体とも呼ばれます。

多項式不変量

G2は、7つの非可換変数の次の2つの多項式の自己同型群です。

C1 = t2 + u2 + v2 + w2 + x2 + y2 + z2 {\ displaystyle C_ {1} = t ^ {2} + u ^ {2} + v ^ {2} + w ^ {2} + x ^ { 2} + y ^ {2} + z ^ {2}} C2 = tuv + wtx + ywu + zyt + vzw + xvy + uxz {\ displaystyle C_ {2} = tuv + wtx + ywu + zyt + vzw + xvy + uxz}（±順列）

これはオクトニオン代数に由来します。変数は非可換でなければなりません。そうでなければ、2番目の多項式はまったくゼロになります。

発電機

係数A 、...、 Nを含む14のジェネレーターの表現を追加すると、行列が得られます。

Aλ1+⋯+Nλ14= {\ displaystyle A \ lambda _ {1} + \ cdots + N \ lambda _ {14} = {\ begin {bmatrix} 0＆C＆-B＆E＆-D＆-G＆F-M \\-C＆0＆A＆F＆-G + N＆D -K＆-EL \\ B＆-A＆0＆-N＆M＆L＆-K \\-E＆-F＆N＆0＆-A + H＆-B + I＆C-J \\ D＆G-N＆-M＆A-H＆0＆J＆I \\ G＆K-D＆-L＆B-I＆-J＆0＆- H \\-F + M＆E + L＆K＆-C + J＆-I＆H＆0 \ end {bmatrix}}}

それはまさに群のリー代数です

G2 = {g∈SO（7）：g ∗φ=φ、φ=ω123+ω145+ω167+ω246-ω257-ω347-ω356} {\ displaystyle G_ {2} = \ {g \ in SO（7）： g ^ {*} \ varphi = \ varphi、\ varphi = \ omega ^ {123} + \ omega ^ {145} + \ omega ^ {167} + \ omega ^ {246}-\ omega ^ {257}-\オメガ^ {347}-\ omega ^ {356} \}}

表現

実数および複素数のリー代数およびリー群の有限次元表現の文字は、すべてワイル文字式によって与えられます。最小の既約表現の次元は次のとおりです（OEISのシーケンスA104599）：

1、7、14、27、64、77（2回）、182、189、273、286、378、448、714、729、748、896、924、1254、1547、1728、1729、2079（2回）、 2261、2926、3003、3289、3552、4096、4914、4928（2回）、5005、5103、6630、7293、7371、7722、8372、9177、9660、10206、10556、11571、11648、12096、13090…。

14次元の表現は随伴表現であり、7次元の表現は虚数オクトニオンに対するG2の作用です。

次元77、2079、4928、28652などの2つの非同型の既約表現があります。基本的な表現は、次元14および7の表現です（ダイキン図の2つのノードに対応し、3重矢印が最初から2番目）。

Vogan（1994）は、G2の分割された実数形式の（無限次元の）ユニタリー既約表現を記述しました。

有限グループ

グループG2（ q ）は、有限体F q上の代数グループG2の点です。これらの有限群は、最初の偶数qに対して奇数のqとディクソン（1905）のためのディクソンレオナード・E・ディクソン（1901）によって導入されました。 G2（ q ）の次数はq 6（ q 6 − 1）（ q 2 − 1）です。 q ≠2の場合、グループは単純であり、 q = 2の場合、2 A 2（32）と同型のインデックス2の単純なサブグループを持ち、最大数のオクトニオンの自己同型グループです。 JankoグループJ1は、G2（11）のサブグループとして最初に構築されました。 Ree（1960）は、 q = 32 n +1、奇数のべき乗3に対して次数q 3（ q 3 + 1）（ q − 1）のねじれたReeグループ2G2（ q ）を導入しました。