基本領域
トポロジー空間とそれに作用するグループが与えられると、グループアクションの下の単一ポイントの画像がアクションの軌道を形成します。 基本領域または基本領域は、これらの軌道のそれぞれから正確に1つの点を含む空間のサブセットです。これは、軌道の代表の抽象的なセットの幾何学的な実現として機能します。
基本的なドメインを選択するには多くの方法があります。通常、基本領域は、滑らかなまたは多面体など、境界にいくつかの制限がある接続されたサブセットである必要があります。グループアクションの下で選択された基本ドメインの画像は、スペースを並べて表示します。基本ドメインの一般的な構成の1つは、ボロノイセルを使用します。
一般的な定義のヒント
位相同相写像による位相空間X上のグループGのアクションを考えると、このアクションの基本的なドメインは、軌道の代表Dのセットです。通常、いくつかの正確に定義された方法の1つで、トポロジ的に合理的に適切なセットである必要があります。典型的な条件の1つは、 Xの特定の（準）不変量について、 DがGのオープンセットとメジャー0のセットの対称差であるという意味で、 Dはほとんどオープンセットであるということです。基本ドメインには常に、無料の通常のセットU 、 Gによってばらばらのコピーに移動されたオープンセット、および軌道を表す点でDとほぼ同等のオープンセットが常に含まれています。多くの場合、 Dはいくつかの反復を含むコセット代表の完全なセットである必要がありますが、反復部分の測定値はゼロです。これはエルゴード理論の典型的な状況です。 X / Gで積分を計算するために基本領域が使用される場合、メジャーゼロのセットは重要ではありません。
たとえば、 Xが次元nのユークリッド空間R nであり、 Gが平行移動によってそれに作用する格子Z nである場合、商X / Gはn次元トーラスです。オープンセット（0,1）からNその境界その軌道上の点から成る測度ゼロの集合、または閉鎖ユニットキューブN、によって異なり、ここでDは 0.1であると解釈することができる基本的なドメイン） のN、 Dに複数の代表者がいます。
例
3次元ユークリッド空間R 3の例
- n倍回転の場合：軌道は、軸の周りのn点のセット、または軸上の単一の点のいずれかです。基本的なドメインはセクターです
- 平面での反射の場合：軌道は、平面の両側にある2点のセット、または平面の1点です。基本領域は、その平面に囲まれた半空間です
- 点の反転の場合：軌道は2点のセットであり、中心のみで構成される1つの軌道を除き、中心の両側に1つずつあります。基本領域は、中心を通る平面で囲まれた半空間です
- 線の周りの180°回転の場合：軌道は、軸に関して互いに反対の2点のセット、または軸上の1点のいずれかです。基本領域は、線を通る平面で囲まれた半空間です
- 一方向の離散並進対称性の場合：軌道は、並進ベクトルの方向の1D格子の並進です。基本領域は無限スラブです
- 2方向の離散並進対称性の場合：軌道は、並進ベクトルを介した平面内の2D格子の並進です。基本領域は、平行四辺形の断面を持つ無限バーです
- 3方向の離散並進対称性の場合：軌道は格子の並進です。基本ドメインは、たとえば平行六面体のようなプリミティブセル、またはボロノイセル/ダイアグラムとも呼ばれるウィグナーザイツセルです。
他の対称性と組み合わせた並進対称性の場合、基本ドメインはプリミティブセルの一部です。たとえば、壁紙グループの場合、基本的なドメインは、プリミティブセルよりも小さい係数1、2、3、4、6、8、または12です。
モジュラーグループの基本ドメイン
右の図は、上半平面H上のモジュラー群Γの動作の基本領域の構築の一部を示しています。
この有名な図は、モジュラー関数に関するすべての古典的な本に登場します。 （おそらく、二次形式の簡約理論を装って基本領域を扱ったCFガウスによく知られていました。）ここで、各三角形領域（青い線で囲まれています）は、 H境界（青い線）は、無料の通常セットの一部ではありません。 H /Γの基本的なドメインを構築するには、境界上のポイントの割り当て方法も検討する必要があります。そのようなポイントを二重にカウントしないように注意してください。したがって、この例の無料の通常のセットは
U = {z∈H：| z |> 1、| Re（z）| 12}。{\ displaystyle U = \ left \ {z \ in H：\ left | z \ right |> 1、\、\左| \、{\ mbox {Re}}（z）\、\ right | {\ frac {1} {2}} \ right \}。}基本的なドメインは、左の境界に加えて、中央の点を含む下部の円弧の半分を追加することにより構築されます。
D =U∪{z∈H：| z |≥1、Re（z）= − 12}∪{z∈H：| z | = 1、−12 Re（z）≤0}。{\ displaystyle D = U \ cup \ left \ {z \ in H：\ left | z \ right | \ geq 1、\、{\ mbox {Re}}（z）= {\ frac {-1} {2}} \ right \} \ cup \ left \ {z \ in H：\ left | z \ right | = 1、\、{\ frac {-1} {2}} {\ mbox {Re}}（z）\ leq 0 \右\}。}基本ドメインの一部として含める境界のポイントの選択は任意であり、作成者によって異なります。
基本領域を定義することの核となる難しさは、集合自体の定義にあるのではなく、領域の境界で極と零点をもつ関数を積分するとき、基本領域上の積分をどのように扱うかによります。
