忘れっぽいファンクター

数学では、カテゴリー理論の分野で、 忘れっぽいファンクター （ ストリッピングファンクターとも呼ばれます）は、出力へのマッピングの「前」に、入力の構造またはプロパティの一部またはすべてを「忘れる」またはドロップします。特定の署名の代数構造の場合、これは署名を縮小することで表現できます。新しい署名は古い署名の編集された形式です。署名が空のリストとして残されている場合、ファンクターは構造の基本セットを取得するだけです。数学の多くの構造は追加の構造が追加されたセットで構成されているため、最も一般的なのは、基礎となるセットにマップされる忘れっぽいファンクターです。

概要

例として、可換環のカテゴリーからいくつかの忘れっぽいファンクターがあります。普遍代数の言語で記述された（ユニタリー）リングは、特定の公理を満たす順序付きタプル（ R 、+、×、 a 、0、1）です。ここで、「+」と「×」は集合Rの二項関数です。、 aは加法逆に対応する単項演算であり、0と1は2つの二項演算のIDを与えるヌル演算です。 1を削除すると、ユニットのないリングのカテゴリに忘れっぽいファンクターが与えられます。単にユニットを「忘れる」だけです。「×」と1を削除すると、各リングR Rの基礎となる加法アーベル群に割り当てるアーベル群のカテゴリにファンクタをもたらします。リングの各モルフィズムには、単に基礎となるグループ間の加算のモルフィズムと見なされる同じ関数が割り当てられます。すべての操作を削除すると、ファンクターが基になるセットRになります。

「構造を忘れる」忘却的なファンクターと「プロパティを忘れる」ファンクターを区別することは有益です。たとえば、上記の可換環の例では、操作の一部を削除するファンクターに加えて、公理の一部を忘れるファンクターがあります。 CRing to Ringカテゴリから、可換性の公理を忘れるが、すべての操作を保持するファンクターがあります。オブジェクトには、基礎となるセットに関して厳密に定義されていない追加のセットが含まれることがあります（この場合、基礎となるセットを考慮する部分は好みの問題ですが、実際にはあいまいではありません）。これらのオブジェクトには、より一般的な追加セットを忘れる、忘れっぽいファンクターがあります。

数学で研究される最も一般的なオブジェクトは、いくつかの公理を満たす可能性のある追加の構造セット（基礎セットの操作、基礎セットの特権サブセットなど）とともに基礎セットとして構築されます。これらのオブジェクトについて、一般的に考えられている忘れっぽいファンクターは次のとおりです。 C {\ displaystyle {\ mathcal {C}}}をセットに基づく任意のカテゴリとします。たとえば、グループ-要素のセット-またはトポロジ空間-「ポイント」のセットです。通常どおり、C {\ displaystyle {\ mathcal {C}}}のオブジェクトに対してOb for（C）{\ displaystyle \ operatorname {Ob}（{\ mathcal {C}}）}を記述し、Fl⁡（C）を記述します。 {\ displaystyle \ operatorname {Fl}（{\ mathcal {C}}）}の同型について。ルールを考慮してください：

Ob⁡（C）、A↦| A | = {\ displaystyle \ operatorname {Ob}（{\ mathcal {C}}）、A \ mapsto | A | =}内のすべてのA {\ displaystyle A} A、{\ displaystyle A、}のすべてのu {\ displaystyle u}について、Fl⁡（C）、u↦| u | = {\ displaystyle \ operatorname {Fl}（{\ mathcal {C}}）、u \ mapsto | u | =}写像u {\ displaystyle u}をセットのマップとして。

ファンクター|⋅| {\ displaystyle | \ cdot |}は、C {\ displaystyle {\ mathcal {C}}}からセットのカテゴリSetへの忘れっぽいファンクターです。

忘れっぽいファンクターはほとんど常に忠実です。具体的なカテゴリには、セットのカテゴリに対する忘れっぽいファンクタがあります。実際、それらは、そのカテゴリに忠実なファンクタを認めるカテゴリとして定義される場合があります。

公理を満たすだけのオブジェクト間の構造を尊重するすべての射が公理も自動的に尊重するため、公理のみを忘れる忘れっぽいファンクターは常に完全に忠実です。構造を忘れる忘れっぽいファンクターはいっぱいである必要はありません。いくつかの射は構造を尊重しません。ただし、構造が忘れられた場合でも、構造を尊重する明確な射は依然として明確であるため、これらの関手は依然として忠実です。余分なセットを忘れるファンクターは忠実である必要はありません。これらの余分なセットの構造を尊重する明確なモーフィズムは、基礎となるセットでは区別できないためです。

形式論理の言語では、第1種のファンクターは公理を削除し、第2種のファンクターは述語を削除し、第3種のファンクターは型を削除します。最初の種類の例は、忘れっぽいファンクターAb → Grpです。 2番目の種類の1つは、忘れっぽいファンクターAb → Setです。第3のファンクターは、ファンクターMod → Abです 。ここで、 Modは、任意のリング上のすべてのモジュールのfibredカテゴリです。これを確認するには、基になるリング間のリング準同型を選択します。これは、リングアクションを変更しません。忘れっぽいファンクターの下で、この射はアイデンティティを生み出します。 Modのオブジェクトはタプルであり、リングとアーベルグループを含むため、忘れてはならないことに注意してください。

左随伴者：無料

忘れっぽいファンクターは、「自由な」構造である残余を持っている傾向があります。例えば：

無料のモジュール：Mod（R）{\ displaystyle \ mathbf {Mod}（R）}（R {\ displaystyle R} -modulesのカテゴリ）からSet {\ displaystyle \ mathbf {Set}}への忘れっぽいファンクターが随伴しましたFreeR {\ displaystyle \ operatorname {Free} _ {R}}、X↦FreeR⁡（X）{\ displaystyle X \ mapsto \ operatorname {Free} _ {R}（X）}、無料のR {\ displaystyle R }-基底X {\ displaystyle X}のモジュール。
フリーグループ
自由格子
テンソル代数
無料のカテゴリ、カテゴリから震えまでの忘れっぽいファンクターに付随
普遍的な包絡代数

より広範なリストについては、（Mac Lane 1997）を参照してください。

これは随伴の基本的な例であるため、それを綴ります：随伴とは、集合Xとオブジェクト（たとえば、 Rモジュール） Mが与えられ、集合 X→| M | {\ displaystyle X \ to | M |}モジュールのマップに対応FreeR⁡（X）→M {\ displaystyle \ operatorname {Free} _ {R}（X）\ to M}：セットのすべてのマップはモジュールのマップを生成し、モジュールのすべてのマップが付属しますセットのマップから。

ベクトル空間の場合、これは次のように要約されます。「ベクトル空間間のマップは、基底を送信する場所によって決定され、基底は任意のものにマッピングできます。」

象徴的に：

HomModR⁡（FreeR⁡（X）、M）=HomSet⁡（X、Forget⁡（M））。{\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {\ mathbf {Mod} _ {R}}（\ operatorname {Free} _ {R}（X）、M）= \ operatorname {Hom} _ {\ mathbf {Set}}（X、\ operatorname {Forget}（M））。}

自由に忘れられる付加の単位は「基底の包含」です：X→FreeR⁡（X）{\ displaystyle X \ to \ operatorname {Free} _ {R}（X）}。

フィールドのカテゴリであるFldは、随伴関数のない忘れっぽいファンクターの例を提供します。特定のセットの無料のユニバーサルプロパティを満たすフィールドはありません。