フェイト・トンプソンの定理

数学では、 Feit–Thompsonの定理 、または奇数次の定理は 、 奇数次のすべての有限グループが解けると述べています。それはウォルター・フェイトとジョン・グリッグス・トンプソン（1962、1963）によって証明されました。

歴史

ウィリアム・バーンサイド（1911、p。503 note M）は、すべての非アーベルの有限単純群には秩序があると推測した。リヒャルト・ブラウアー（1957）は、単純群のインボリューションのセントラライザーを有限単純群の分類の基礎として使用することを提案しました。奇数次のグループにはインボリューションがないため、ブラウアーのプログラムを実行するには、最初に非循環有限単純グループに奇数次がないことを示す必要があります。これは、奇数次グループが可解であることを示すことと同等です。これは、FeitとThompsonが証明したことです。

バーンサイドの予想に対する攻撃は、 CAグループを研究した鈴木道夫（1957）によって開始されました。これらは、すべての重要な要素のCエントラライザーがA belianであるようなグループです。先駆的な論文で、彼は奇数次のすべてのCAグループが解けることを示しました。 （彼は後にすべての単純なCAグループ、より一般的にはすべての単純なグループを分類し、すべてのインボリューションのセントラライザーが通常の2-Sylowサブグループを持ち、その過程で見過ごされているLieタイプの単純なグループのファミリーを見つけました。グループ。）

フェイト、マーシャルホール、およびトンプソン（1960）は、スズキの仕事をCNグループの家族に拡大しました。これらは、すべての非自明な要素のC entralizerがNであるグループです。彼らは、奇数次のすべてのCNグループが解けることを示しました。彼らの証明は、鈴木の証明に似ています。それは約17ページの長さでしたが、当時は群論の証明には非常に長いと考えられていました。

Feit–Thompsonの定理は、このプロセスの次のステップと考えることができます。それらは、すべての適切なサブグループが解けるような奇数次の非循環単純グループがないことを示しています。これは、最小の反例がすべての適切なサブグループが解けるような単純なグループでなければならないため、奇数次のすべての有限グループが解けることを証明しています。証明はCA定理およびCN定理と同じ一般的な概要に従いますが、詳細は非常に複雑です。最終的な論文の長さは255ページです。

証明の意義

Feit-Thompsonの定理は、すべての非アーベル単純群がインボリューションを持っているため、インボリューションのセントラライザーを使用した有限単純グループの分類が可能であることを示しました。彼らが彼らの証明で導入した技術の多く、特にローカル分析のアイデアは、分類で使用されるツールにさらに発展しました。おそらく、この証明の最も革命的な側面はその長さだったのでしょう。Feit–Thompsonの論文以前は、グループ理論の議論は数ページより長く、ほとんどは1日で読むことができました。グループ理論家がそのような長い議論が機能することを理解すると、数百ページの長さの一連の論文が現れ始めました。これらのいくつかは、Feit–Thompsonの論文さえもwar小化しました。マイケル・アシュバッハーとスティーブン・D・スミスによる準組織に関する論文は、1,221ページの長さでした。

証明の改訂

多くの数学者は、元のFeit–Thompson証明の一部を単純化しています。ただし、これらの改善はすべてある意味ではローカルです。引数のグローバル構造は依然として同じですが、引数の詳細の一部は簡素化されています。

簡略化された証明は2冊の本で出版されています：（Bender＆Glauberman 1995）、これはキャラクター理論を除くすべてをカバーし、（Peterfalvi 2000、パートI）はキャラクター理論をカバーしています。この改訂された証明は依然として非常に難しく、元の証明よりも長くなりますが、よりゆったりとしたスタイルで書かれています。

Coq証明アシスタントで確認された完全に正式な証明は、2012年9月にGeorges GonthierとMicrosoft ResearchおよびINRIAの仲間の研究者によって発表されました。

証明の概要

Feit–Thompsonの定理を直接記述する代わりに、鈴木のCAの定理を記述し、CNの定理と奇数次の定理に必要ないくつかの拡張についてコメントする方が簡単です。証明は3つのステップに分割できます。 Gを、CA条件を満たす奇数次の非アーベル（最小）単純グループとします。奇数次論文のより詳細な説明については、Thompson（1963）または（Gorenstein 1980）またはGlauberman（1999）を参照してください。

ステップ1.グループGの構造のローカル分析

これはCAの場合は簡単です。なぜなら、「 aがbと交換する」 という関係は、非同一要素の同値関係だからです。したがって、要素は等価クラスに分割され、各等価クラスは最大アーベルサブグループの非同一要素のセットになります。これらの最大アーベルサブグループのノーマライザーは、 Gの最大固有サブグループであることがわかります。これらのノーマライザーは、フロベニウスのグループであり、そのキャラクター理論は適度に透明であり、キャラクターの誘導を伴う操作に適しています。また、|の素因数のセットG |は、|の最大アーベルサブグループの個別の共役クラスの次数を分割する素数に従って分割されます。 G |。の素因数分割のこのパターン| G | Gの最大サブグループ（共役まで）に対応する特定のホールサブグループ（ホールサブグループは順序とインデックスが比較的素数であるもの）の共役クラスに従って、Feit–Hall–Thompson CN-の証明の両方で繰り返されます。定理とFeit–Thompsonの奇数次定理の証明。各最大サブグループMは、その順序集合σ（M）を形成する特定の素数で割り切れるM、中に含まれる正規化して一定の冪零ホールサブグループMσを有しています。 2つの最大サブグループは、集合σ（ M ）が同じである場合にのみ共役であり、それらが共役でない場合、集合σ（ M ）は互いに素です。 Gの次数を分割するすべての素数は、ある集合σ（ M ）で発生します。したがって、 Gの順序を分割する素数は、最大サブグループの共役クラスに対応する等価クラスに分割されます。 CNケースの証明はすでにCAケースよりもかなり困難です。主な追加の問題は、2つの異なるSylowサブグループがIDで交差することを証明することです。奇数次定理の証明のこの部分には、100を超えるジャーナルページが必要です。重要なステップは、通常のランクに少なくとも3のアーベルサブグループは、素数pがいるSylow Pが -subgroupsはほとんど2必要に通常のランクを持っていることを意味し、独特の最大のサブグループに含まれていることを示す、トンプソン一意性定理の証明であります個別に検討されます。ベンダーは後に、ベンダーの方法を使用して一意性定理の証明を単純化しました。 CNの場合、結果の最大サブグループMは依然としてフロベニウスグループですが、奇数次定理の証明で発生する最大サブグループはこの構造を持つ必要がなくなり、その構造と相互作用の分析により5つのタイプが生成されますタイプI、II、III、IV、Vと呼ばれる最大サブグループのタイプ。タイプIサブグループは「フロベニウスタイプ」であり、フロベニウスグループのわずかな一般化であり、実際には後で証明でフロベニウスグループであることが示されています。彼らは、M Fが最大正常冪零ホールのサブグループである構造M F⋊Uを有し、Uは M F⋊U 0カーネルM Fとフロベニウス基であるように、同じ指数を有するサブグループU 0を有します。タイプII、III、IV、VはM F⋊Uは Mの派生サブグループである構造M F⋊U⋊W 1を有するすべての3ステップ群です。タイプII、III、IV、およびVへの細分化は、次のようにサブグループUの構造と埋め込みに依存します。

• タイプII： Uは非自明なアーベル型であり、その正規化子はMに含まれていません。
• タイプIII： Uは非自明なアーベルであり、その正規化子はMに含まれています。
• タイプIV： Uは非アーベル型です。
• タイプV： Uは簡単です。

最大サブグループの2つ以外のクラスはすべてタイプIですが、最大サブグループの2つの追加クラス、タイプII、およびタイプII、III、IV、またはVのいずれかが存在する場合もあります。

ステップ2. Gの特性理論

Xが、カーネルにAを含まないCAグループGの最大アーベルサブグループAのノーマライザーHの既約文字である場合、XをGの文字Yに誘導できますが、これは必ずしも既約ではありません。なぜならGの公知の構造のために、それはGの単位元以外のすべてのYの文字値を簡単に見つけることができます。これは、X1とX2がHの 2つの既約文字であり、Y1とY2が対応する誘導文字である場合、Y1 − Y2が完全に決定され、そのノルムを計算すると、 Gの 2つの既約文字Hに対してGの例外的な文字として知られています）。カウント引数には、Gの各非自明な既約文字がGのいくつかの最大アーベルサブグループの正規化に関連する例外の文字として一度だけ発生することを示しています。同様の議論（ただし、アーベルホールサブグループを無能ホールサブグループに置き換える）は、CN定理の証明で機能します。ただし、奇数次定理の証明では、サブグループの文字からGの文字を構築するための引数ははるかにデリケートであり、最大のサブグループはより複雑な構造を持っているため、文字誘導ではなく文字環の間でDadeアイソメを使用します透明度の低い方法で埋め込まれます。例外的なキャラクターの理論は、デイド等尺性を拡張するために一貫したキャラクターのセットの理論に置き換えられます。大ざっぱに言えば、この理論は、関係するグループが特定の正確な構造を持たない限り、デイドの等尺性を拡張できると述べています。 Peterfalvi（2000）は、Dade、Sibley、Peterfalviによる性格理論の簡略版を説明しました。

ステップ3.最終的な矛盾

ステップ2により、CAグループGの文字テーブルの完全かつ正確な説明が得られます。このことから、 Gの順序が奇数であるという事実を使用すると、|の推定値を取得するのに十分な情報を利用できますG |そして、 Gが単純であるという仮定に矛盾します。引数のこの部分は、CNグループの場合でも同様に機能します。

ただし、Feit–Thompsonの定理の証明では、この手順は（通常のように）非常に複雑です。文字理論は、手順1の後に残っている可能性のある構成の一部のみを削除します。最初に、タイプIの最大サブグループがすべてフロベニウスグループであることを示します。すべての最大サブグループがタイプIである場合、CNの場合と同様の引数は、グループGが奇数次最小単純グループになり得ないことを示します。したがって、タイプII、III、IVまたはVの最大サブグループにはちょうど2つのクラスがあります。残りの証明の残りの部分は、これらの2つのタイプの最大サブグループSとT 、およびそれらの間の関係に焦点を当てています。より多くの文字理論的な引数は、タイプIVまたはVにできないことを示しています。2つのサブグループは正確な構造を持っています。サブグループSは次数p q × q ×（ p q –1）/（ p –1）で構成されますノルム1及びσを有するフォームX→ 斧 、σ+ bの次数p q の有限体の基本セットのすべての同型は、pとqが異なる素数である有限体の自己同型です。最大サブグループTは、 pとqが逆になった同様の構造を持ちます。サブグループSとTは密接に関連しています。 p > qをとると、次数（ p q –1）/（ p –1）のSの巡回部分群が、次数（ q p –1）/（ qのTの巡回部分群の部分群に共役であることを示すことができます。 –1）。 （特に、最初の数値は2番目の数値を除算するため、Feit–Thompson予想が真の場合、これは起こり得ないと断言し、この時点で証明を終了するために使用できます。ただし、予想はまだ証明されていません。 ）

グループGに文字理論を適用すると、 Gの構造は次のようになります。（ p q –1）/（ p –1）がp –1と互いに素で、 Gにサブグループが与えられるような素数p > qがあります。 Pが次数p q とノルムのUその要素の有限体の加法群である半直積PU 1.またGは P 0 Qを正規化し、そのような要素yを含むpに注文プライムのアーベルサブグループQを有します（ P 0） yは Uを正規化します。ここで、 P 0は次数pの有限体の加法群です。 （ p = 2の場合、同様の構成がグループSL2（2 q ）で発生し、 PUは上三角行列のボレルサブグループ、 Qはy =（0111）{\ displaystyle \ scriptstyle y = \ leftによって生成される3次のサブグループ（{\ begin {smallmatrix} 0＆1 \\ 1＆1 \ end {smallmatrix}} \ right）}。この最後のケースを排除するために、トンプソンはジェネレーターとリレーションを使用した恐ろしく複雑な操作を使用しました。その議論は（Bender＆Glauberman 1994）に再現されています。証明は、 aと2–aの両方がノルム1になるように、次数p qの有限体の要素セットaを調べます。まず、このセットに1以外の要素が少なくとも1つあることを確認します。また、グループGの関係は、逆をとることで集合が閉じていることを示しています。 aがセットにあり、1に等しくない場合、多項式N（（1– a ） x +1）–1は次数qを持ち、 F pの要素xによって与えられる少なくともp個の異なる根を持ちます。 X→1 /（2- X）自体に設定をマッピングするため、Pの ≤qを、仮定P> Qと矛盾。

奇数の使用

グループGの順序が奇数であるという事実は、次のように証明のいくつかの場所で使用されます（Thompson 1963）。

• ホール・ヒグマンの定理は、奇数次のグループに対してよりシャープです。
• 奇数次のグループの場合、すべての非主要文字は複素共役ペアで発生します。
• pグループに関するいくつかの結果は、奇数の素数pに対してのみ有効です。
• 奇数次のグループにランク3の基本アーベルサブグループがない場合、その派生グループは無能です。 （これは、偶数次の対称グループS 4では失敗します。）
• 文字理論を含むいくつかの議論は、小さな素数、特に素数2では失敗します。