F4（数学）

数学では、 F4はリー群の名前であり、そのリー代数f4でもあります。これは、5つの例外的なシンプルなリー群の1つです。 F4にはランク4とディメンション52があります。コンパクトなフォームは単純に接続され、その外部自己同型グループは自明なグループです。その基本的な表現は26次元です。

F4のコンパクトな実形式は、オクタンイオン射影平面OP 2として知られる16次元リーマン多様体のアイソメトリグループです。これは、Hans FreudenthalとJacques Titsによる魔方陣として知られる構造を使用して体系的に見ることができます。

3つの実際の形式があります：コンパクトな形式、分割された形式、および3番目の形式です。これらは、3つの実際のアルバート代数のアイソメトリグループです。

F4リー代数は、E8の構築と同様に、スピナーとして変換する16のジェネレーターを36次元リー代数so （9）に追加することで構築できます。

古い本や論文では、F4はE4で示されることがあります。

代数

ダイキン図

F4のダイキン図は次のとおりです。

ワイル/コクセターグループ

そのWeyl / CoxeterグループG = W（F4）{\ displaystyle G = W \ left（F_ {4} \ right）}は24セルの対称グループです。これは、1152次の可解なグループです。忠実度μ（G）= 24 {\ displaystyle \ mu（G）= 24}これは、24セルでのアクションによって実現されます。

カルタン行列

{\ displaystyle \ left}

F4ラティス

F4latticeは、4次元の体心立方格子（つまり、それぞれが他の中心にある2つの超立方格子の結合）です。それらは、Hurwitzクォータニオンリングと呼ばれるリングを形成します。ノルム1の24個のフルヴィッツクォータニオンは、原点を中心とした24セルの頂点を形成します。

F4のルーツ

F4の48のルートベクトルは、2つのデュアル構成の24セルの頂点として見つけることができ、24セルのエッジの長さが等しい場合、異形の288セルの頂点を表します。

24セルの頂点：

• （±1、±1,0,0）による24の根、座標位置の並べ替え

デュアル24セルの頂点：

• （±1、0、0、0）による8つの根、座標位置の並べ替え
• 16根（±½、±½、±½、±½）。

シンプルなルーツ

F4、の単純な根の1つの選択肢は、次の行列の行によって与えられます。

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0＆1＆-1＆0 \\ 0＆0＆1＆-1 \\ 0＆0＆0＆1 \\ {\ frac {1} {2}}＆-{\ frac {1} {2}}＆-{\ frac { 1} {2}}＆-{\ frac {1} {2}} \\\ end {bmatrix}}}

F4多項式不変量

O（ n ）が2次多項式x 2 + y 2 + ...を不変に保つ自己同型のグループであるように、F4は27変数の次の3つの多項式のセットの自己同型のグループです。 （最初の変数は、26個の変数を作成する他の2つの変数に簡単に置き換えることができます）。

C1 = x + y + z {\ displaystyle C_ {1} = x + y + z} C2 = x2 + y2 + z2 +2XX¯+2YY¯+2ZZ¯{\ displaystyle C_ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + 2X {\ overline {X}} + 2Y {\ overline {Y}} + 2Z {\ overline {Z}}} C3 = xyz−xXX¯−yYY¯− zZZ¯+ XYZ +XYZ¯{\ displaystyle C_ {3} = xyz-xX {\ overline {X}}-yY {\ overline {Y}}-zZ {\ overline {Z}} + XYZ + {\ overline {XYZ }}}

ここで、 x 、 y 、 zは実数値で、 X 、 Y 、 Zはオクタン価です。これらの不変式を記述する別の方法は、エルミートオクトニオン行列のTr（ M ）、Tr（ M 2）およびTr（ M 3）の組み合わせです。

M = {\ displaystyle M = {\ begin {bmatrix} x＆{\ overline {Z}}＆Y \\ Z＆y＆{\ overline {X}} \\ {\ overline {Y}}＆X＆z \ end {bmatrix}}}

多項式のセットは、24次元のコンパクトな表面を定義します。

表現

実数および複素数のリー代数およびリー群の有限次元表現の文字は、すべてワイル文字式によって与えられます。最小の既約表現の次元は次のとおりです（OEISのシーケンスA121738）：

1、26、52、273、324、1053（2回）、1274、2652、4096、8424、10829、12376、16302、17901、19278、19448、29172、34749、76076、81081、100776、106496、107406、119119 、160056（2回）、184756、205751、212992、226746、340119、342056、379848、412776、420147、627912…

52次元表現は随伴表現であり、26次元表現は次元27の例外的なアルバート代数に対するF4のアクションの痕跡のない部分です。

次元1053、160056、4313088などの2つの非同型の既約表現があります。基本的な表現は、次元52、1274、273、26の表現です（ダイキン図の4つのノードに対応し、二重矢印が2番目から3番目のポイント）。