侵食（形態学）

侵食（通常⊖で表される）は、形態学的画像処理における2つの基本操作の1つ（もう1つは膨張）であり、そこから他のすべての形態学的操作が行われます。元々はバイナリ画像用に定義されていましたが、後にグレースケール画像に拡張され、その後完全なラティスに拡張されました。

バイナリ侵食

バイナリ形態では、画像はユークリッド空間のサブセットRd {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}または整数グリッドZd {\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {d}}として表示されます。次元d

バイナリ形態の基本的な考え方は、単純な事前定義された形状で画像をプローブし、この形状が画像内の形状にどのように適合するかを見逃すという結論を導き出すことです。この単純な「プローブ」は構造化要素と呼ばれ、それ自体がバイナリイメージ（つまり、空間またはグリッドのサブセット）です。

Eをユークリッド空間または整数グリッド、 AをEのバイナリイメージとします。構造化要素BによるバイナリイメージAの収縮は、次のように定義されます。

A⊖B= {z∈E|Bz⊆A} {\ displaystyle A \ ominus B = \ {z \ in E | B_ {z} \ subseteq A \}}

ここで、 B zはベクトルzによるBの変換です。つまり、Bz = {b + z |b∈B} {\ displaystyle B_ {z} = \ {b + z | b \ in B \}}、∀z ∈E{\ displaystyle \ forall z \ in E}。

構造要素Bは、中心（例えば、ディスクや正方形）を有し、この中心がEの原点に配置され、その後、BによるAの浸食は、Bの中心が到達点の軌跡として理解することができる場合BがA内を移動するとき。たとえば、原点を中心とする半径2のディスクによる、原点を中心とする辺10の正方形の侵食は、原点を中心とする辺6の正方形です。

ここで、A-、 - A⊖B=⋂b∈BA-B {B} \ displaystyle A \ ominus B = \ bigcap _ {BのB \} A _ {}：BによるAの浸食はまた、式によって与えられます。 bは、 -bによるAの変換を示します。

例

Aが13 x 13マトリックスで、Bが3 x 3マトリックスであると仮定します。

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

原点Bがその中心にあると仮定すると、Aの各ピクセルに対してBの原点がスーパーインポーズされ 、BがAに完全に含まれている場合、ピクセルは保持され、そうでない場合は削除されます。

したがって、AのBによる侵食は、この13 x 13マトリックスによって与えられます。

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

これは、BがA内に完全に含まれている場合にのみ、ピクセル値が保持されることを意味します。

物性

侵食は翻訳不変です。
つまり、A⊆C{\ displaystyle A \ subseteq C}の場合、A⊖B⊆C⊖B{\ displaystyle A \ ominus B \ subseteq C \ ominus B}になります。
Eの起点が構造化要素Bに属する場合、侵食は反拡張的 、つまりA⊖B⊆A{\ displaystyle A \ ominus B \ subseteq A}です。
侵食は（A⊖B）⊕C=A⊖（B⊕C）{\ displaystyle（A \ ominus B）\ oplus C = A \ ominus（B \ oplus C）}を満たします。ここで、⊕{\ displaystyle \ oplus}形態学的膨張を示します。
侵食は集合交差点に分布しています

グレースケール侵食

グレースケール形態では、画像はユークリッド空間またはグリッドEをR∪{∞、-∞} {\ displaystyle \ mathbb {R} \ cup \ {\ infty、-\ infty \}}にマッピングする関数です。ここで、R {\ displaystyle \ mathbb {R}}は実数の集合、∞{\ displaystyle \ infty}は実数よりも大きい要素、-∞{\ displaystyle-\ infty}は実数よりも小さい要素です。

Fによって画像（x）とBは、B（X）が定義されている空間であり、BによってFのグレースケール侵食は次式で与えられ、Bによって階調構造要素（X）を表します

（f⊖b）（x）=infy∈B{\ displaystyle（f \ ominus b）（x）= \ inf _ {y \ in B}}、

ここで、「inf」は下限を示します。

言い換えれば、ポイントの侵食は、その近傍内のポイントの最小値であり、その近傍は構造化要素によって定義されます。このように、メディアンフィルターやガウスフィルターなど、他の多くの種類の画像フィルターと似ています。

完全な格子上の侵食

完全なラティスは部分的に順序付けられたセットであり、すべてのサブセットには下限と上限があります。特に、最小要素と最大要素（「ユニバース」とも呼ばれる）が含まれます。

（L、≤）{\ displaystyle（L、\ leq）}を完全なラティスとし、in {\ displaystyle \ wedge}および∨{\ displaystyle \ vee}でそれぞれ記号化された下限と上限を持ちます。そのユニバースと最小要素は、それぞれUと∅{\ displaystyle \ emptyset}でシンボル化されています。さらに、{Xi} {\ displaystyle \ {X_ {i} \}}をLの要素のコレクションとします。

（L、≤）{\ displaystyle（L、\ leq）}の侵食は、任意の演算子ε：L→L {\ displaystyle \ varepsilon：L \ rightarrow L}であり、無限に分布し、宇宙を保存します。すなわち：

⋀iε（Xi）=ε（⋀iXi）{\ displaystyle \ bigwedge _ {i} \ varepsilon（X_ {i}）= \ varepsilon \ left（\ bigwedge _ {i} X_ {i} \ right）}
ε（U）= U {\ displaystyle \ varepsilon（U）= U}。