E6（数学）
数学では、 E6はいくつかの密接に関連したリー群、線形代数群、またはそれらのリー代数e6 {\ displaystyle {\ mathfrak {e}} _ {6}}の名前であり、すべて次元78です。ランク6の対応するルートラティスにも同じ表記E6が使用されます。指定E6は、複雑な単純リー代数のカルタンキリング分類に由来します（エリーカルタン§作業を参照）。これは、リー代数を、A n 、B n 、C n 、D nとラベル付けされた4つの無限級数と、E6、E7、E8、F4、G2とラベル付けされた5つの例外ケースに分類します。したがって、E6代数は5つの例外的なケースの1つです。
複素形式、コンパクト実数形式、またはE6の代数バージョンの基本群は、巡回群Z / 3 Zであり、その外部自己同型群は巡回群Z / 2 Zです。その基本的な表現は27次元（複雑）で、基底は立方体表面上の27本の線によって与えられます。非等価な二重表現も27次元です。
素粒子物理学では、E6はいくつかの大統一理論で役割を果たします。
実際のフォームと複雑なフォーム
タイプE6のユニークな複雑リー代数は、これは基本的なグループZを持つ複雑な次元78の複雑な随伴リー群E6は、実際の大きさ156の簡単な本当のリー群とみなすことができ、複雑な次元78の複雑なグループに対応する、あります/ 3 Zには、E6のコンパクト形式（以下を参照）の最大コンパクトサブグループがあり、複雑な共役と既に複雑な自己同型として存在する外部自己同型によって生成された順序4の非巡回外部自己同型グループがあります。
タイプE6の複雑なリー群と同様に、リー代数には5つの実際の形式があり、それに対応して自明な中心を持つグループの5つの実際の形式があります（すべて代数二重カバーを持ち、3つはさらに非次のように、すべての実次元78の代数カバー、さらに実形式を与える）：
- 基本グループZ / 3 Zおよび外部自己同型グループZ / 2 Zを含むコンパクトな形式（通常、他の情報が提供されない場合に意味される形式）。
- 分割型EI（またはE6（6））。最大コンパクトサブグループSp（4）/（±1）、2次の基本群、2次の外部自己同型群を持ちます。
- 準分割形式EII（またはE6（2））。最大コンパクトサブグループSU（2）×SU（6）/（中央）、6次の基本群巡回、2次の外部自己同型群を持ちます。
- EIII（またはE6（-14））。最大コンパクトサブグループSO（2）×Spin（10）/（中央）、基本グループZ 、および自明な外部自己同型グループを持ちます。
- EIV（またはE6（-26））。最大コンパクトサブグループF4、自明な基本グループサイクリックおよび次数2の外部自己同型グループを持ちます。
E6のEIV形式は、オクタンイオン射影平面OP 2の衝突（ライン保存変換）のグループです。また、例外的なヨルダン代数の行列式保存線形変換のグループです。例外的なヨルダン代数は27次元であるため、E6のコンパクトな実形式が27次元の複雑な表現を持っている理由を説明しています。 E6のコンパクトな実数形式は、「バイオクトニオン投影面」として知られる32次元リーマン多様体のアイソメトリグループです。 E7とE8の同様の構造は、ローゼンフェルド射影平面として知られており、フロイデンタル魔方陣の一部です。
代数群としてのE6
リー代数のシュヴァレー基底により、E6を整数上の線形代数群として定義でき、その結果、任意の可換環、特に任意のフィールド上で定義できます。これは、いわゆる分割（ 「ツイストなし」）E6の随伴形。代数的に閉じたフィールドでは、これとそのトリプルカバーが唯一の形式です。しかし、他の分野では、他の多くの形式、またはE6の「ツイスト」がよくあり、ガロアコホモロジーの一般的なフレームワーク（完全体k上 ）で集合H 1（ k 、Aut（E6））これは、E6のダイキン図（下記参照）に自己同型グループZ / 2 Zがあるため 、 H 1（ k 、 Z / 2 Z ）= Hom（Gal（ k ）、 Z / 2 Z ）とカーネルH 1（ k 、E6、ad）。
実数の分野では、これらの代数的にねじれた形のE6の恒等式の実際の成分は、上記の3つの実リー群と一致しますが、基本群に関しては微妙です：E6のすべての随伴形は基本群Z / 3を持ちます代数幾何学の意味でのZ。単一性の第3の根にあるガロア作用を持つ。これは、彼らが正確に1つのトリプルカバーを認めることを意味します（実際のポイントでは些細なことかもしれません）。したがって、E6のさらなる非コンパクトな実リー群形式は代数的ではなく、忠実な有限次元表現を認めません。 E6のコンパクトな実形式と非コンパクトな形式EI = E6（6）およびEIV = E6（-26）は、 内部またはタイプ1E6であると言われています。つまり、クラスはH 1（ k 、E6、ad）にあります。または、その複雑な共役がダイキン図に自明な自己同型を誘発しますが、他の2つの実際の形式は外側または2E6型であると言われています。
Lang-Steinberg定理は、有限体上で、 H 1（ k 、E6）= 0を意味します。これは、E6が2E6として知られる1つのねじれた形を持っていることを意味します。以下を参照してください。
代数
ダイキン図
E6のダイキン図はによって与えられます。
E6のルーツ
それらは6次元空間にまたがっていますが、9次元空間の6次元部分空間内のベクトルと考える方がはるかに対称的です。次に、根をとることができます
（1、−1,0; 0,0,0; 0,0,0）、（− 1,1,0; 0,0,0; 0,0,0）、（− 1,0,1; 0,0,0; 0,0,0）、（1,0、-1; 0,0,0; 0,0,0）、（0,1、-1; 0,0,0; 0、 0,0）、（0、−1,1; 0,0,0; 0,0,0）、（0,0,0; 1、−1,0; 0,0,0）、（0、 0,0; -1,1,0; 0,0,0）、（0,0,0; -1,0,1; 0,0,0）、（0,0,0; 1,0、 -1; 0,0,0）、（0,0,0; 0,1、-1; 0,0,0）、（0,0,0; 0、-1,1; 0,0,0 ）、（0,0,0; 0,0,0; 1、−1,0）、（0,0,0; 0,0,0; −1,1,0）、（0,0,0 ; 0,0,0; -1,0,1）、（0,0,0; 0,0,0; 1,0、-1）、（0,0,0; 0,0,0; 0 、1、−1）、（0,0,0; 0,0,0; 0、−1,1）、さらに（3; 3; 3）{\ displaystyle（\ mathbf {3}; \ mathbf {3}; \ mathbf {3}）}の27の組み合わせすべてに加えて、3 {\ displaystyle \ mathbf {3}}は（ 23、-13、-13）、（-13,23、-13）、（-13、-13,23）、{\ displaystyle \ left（{\ frac {2} {3}}、-{\ frac {1} {3}}、-{\ frac {1} {3}} \ right）、\ \ left（-{\ frac {1} {3}}、{\ frac {2} {3}}、 -{\ frac {1} {3}} \ right）、\ \ left（-{\ frac {1} {3}}、-{\ frac {1} {3}}、{\ frac {2} { 3}} \ right）、}および（3¯;3¯;3¯）の27のすべての組み合わせ{\ displaystyle（{\ bar {\ mathbf {3}}}; {\ bar {\ mathbf {3}}} ; {\ bar {\ mathbf {3}}}）}3¯{\ displaystyle {\ bar {\ mathbf {3}}}}は（-23,13,13）、（13、-23、 13）、（13,13、-23）。{\ displaystyle \ left（-{\ frac {2} {3}}、{\ frac {1} {3}}、{\ frac {1} {3} } \ right）、\ \ left（{\ frac {1} {3}}、-{\ frac {2} {3}}、{\ frac {1} {3}} \ right）、\ \ left（ {\ frac {1} {3}}、{\ frac {1} {3}}、-{\ frac {2} {3}} \ right）。}
シンプルなルーツ
E6の単純なルートの1つの可能な選択は次のとおりです。
（0,0,0; 0,0,0; 0,1、-1）（0,0,0; 0,0,0; 1、-1,0）（0,0,0; 0,1 、−1; 0,0,0）（0,0,0; 1、−1,0; 0,0,0）（0,1、−1; 0,0,0; 0,0,0） （13、-23,13; -23,13,13; -23,13,13）{\ displaystyle \ left（{\ frac {1} {3}}、-{\ frac {2} {3}} 、{\ frac {1} {3}};-{\ frac {2} {3}}、{\ frac {1} {3}}、{\ frac {1} {3}};-{\ frac {2} {3}}、{\ frac {1} {3}}、{\ frac {1} {3}} \ right）} E8の根から派生したE6根E6は、3つの座標の一貫したセットが等しい（たとえば、最初または最後）E8のサブセットです。これにより、次のようなE7およびE6の明示的な定義が容易になります。
E 7 = {α∈Z 7∪（Z + 1/2）7：ΣαI2 +α12 = 2、ΣαI +α1∈2 Z}、E 6 = {α∈Z 6∪（Z + 1/2） 6：ΣαI2 +α2 12 = 2、ΣαI + 2α1∈2 Z}次の72のE6ルートは、この方法で分割された実E8ルートから派生します。最後の3つの寸法が必要なものと同じであることに注意してください。
別の説明E6のサブグループとしてE6×SU（3）を考慮するのに役立つルートシステムの代替（6次元）記述は次のとおりです。
すべての4×（52）{\ displaystyle 4 \ times {\ begin {pmatrix} 5 \\ 2 \ end {pmatrix}}}の順列
（±1、±1,0,0,0,0）{\ displaystyle（\ pm 1、\ pm 1,0,0,0,0）}最後のエントリのゼロを保持し、奇数のプラス記号を持つ次のすべてのルート
（±12、±12、±12、±12、±12、±32）。{\ displaystyle \ left（\ pm {1 \ over 2}、\ pm {1 \ over 2}、\ pm {1 \ over 2}、\ pm {1 \ over 2}、\ pm {1 \ over 2}、\ pm {{\ sqrt {3}} \ over 2} \ right）。}したがって、78個のジェネレーターは次の部分代数で構成されます。
上記の4×（52）{\ displaystyle 4 \ times {\ begin {pmatrix} 5 \\ 2 \ end {pmatrix}}}ジェネレータとそれに対応する5つのカルタンジェネレータを含む、45次元のSO（10）部分代数最初の5つのエントリ。 spin（10）{\ displaystyle \ operatorname {spin}（10）}およびその複素共役のワイルスピナーとして変換する2つの16次元部分代数。これらには、ゼロ以外の最後のエントリがあります。キラリティジェネレーターであり、6番目のカルタンジェネレーターである1ジェネレーター。E6の単純なルートの選択肢の1つは、次の順序でインデックス付けされた次の行列の行によって与えられます。
{\ displaystyle \ left}ワイル基
E6のWeylグループの順序は51840です。これは、順序25920の一意の単純グループの自己同型グループです（PSU4（2）、PSΩ6−（2）、PSp4（3）、またはPSΩ5（ 3））。
カルタン行列
{\ displaystyle \ left}重要なサブ代数と表現
リー代数E6には、外部自己同型の固定部分代数であるF4部分代数と、SU（3）×SU（3）×SU（3）部分代数があります。物理学で重要であり（以下を参照）、ダイキン図から読み取ることができる他の最大部分代数は、SO（10）×U（1）およびSU（6）×SU（2）の代数です。
78次元の随伴表現に加えて、2つのデュアル27次元「ベクトル」表現があります。
実数および複素数のリー代数およびリー群の有限次元表現の文字は、すべてワイル文字式によって与えられます。最小の既約表現の次元は次のとおりです（OEISのシーケンスA121737）：
1、27（2回）、78、351（4回）、650、1728（2回）、2430、2925、3003（2回）、5824（2回）、7371（2回）、7722（2回）、17550（2回） 、19305（4回）、34398（2回）、34749、43758、46332（2回）、51975（2回）、54054（2回）、61425（2回）、70070、78975（2回）、85293、100386（2回）、 105600、112320（2回）、146432（2回）、252252（2回）、314496（2回）、359424（4回）、371800（2回）、386100（2回）、393822（2回）、412776（2回）、442442（ 2回）...上記のシーケンスで下線が引かれた用語は、E6の随伴形式が持つ既約表現の次元（同等に、その重みがE6のルートラティスに属するもの）であるのに対し、完全なシーケンスは単純な既約表現の次元を与えますE6の接続形態。
E6のダイキン図の対称性は、多くの次元が2回発生する理由を説明します。対応する表現は、自明でない外部自己同型によって関連付けられています。ただし、ディメンション351の4つは基本的なもので、2つは基本的なものではないなど、これよりもさらに多くの表現がある場合があります。
基本的な表現の次元は27、351、2925、351、27、および78です（上記のカルタン行列に対して選択された順序でのダイキン図の6つのノードに対応します。つまり、ノードは最初に5ノードチェーンで読み取られ、最後のノードが中央のノードに接続されています）。
E6ポリトープ
E6ポリトープは、 E6の根の凸包です。したがって、6次元で存在します。その対称グループには、インデックス6サブグループとしてE6のCoxeterグループが含まれます。
タイプE6および2E6のChevalleyおよびSteinbergグループ
任意のフィールド（特に有限フィールド）上のタイプE 6のグループは、Dickson（1901、1908）によって導入されました。
（分割）代数群E6（上記を参照）のq要素を持つ有限体上の点は、随伴（中心なし）または単純に接続された形式（その代数的普遍的カバー）にかかわらず、有限のシュヴァレー群を与えます。これは、E6（ q ）と書かれたグループと密接に関連していますが、この表記にはあいまいさがあり、いくつかのことを表すことができます。
- E6の単純に接続された形式のF q上の点で構成される有限グループ（わかりやすくするために、これはE6、sc（ q ）またはまれにE〜6（q）{\ displaystyle {\ tilde {E}}と書くことができます_ {6}（q）}であり、 F q上のE6型の「ユニバーサル」シュヴァレーグループとして知られています）、
- （まれに）E6の随伴形式のF q上の点で構成される有限グループ（明確にするために、これはE6、ad（ q ）と書くことができ、 F q上のE6型の「随伴」シュヴァレーグループとして知られています。 ）、 または
- 前者から後者への自然マップのイメージである有限グループ：これは、有限グループを扱うテキストで最も一般的であるように、以下でE6（ q ）によって示されるものです。
有限グループの観点から、これらの3つのグループ間の関係は、SL（ n、q ）、PGL（ n、q ）およびPSL（ n、q ）の関係と非常に類似しており、次のように要約できます。E6（ q ）は任意のqに対して単純であり、E6、sc（ q ）はそのSchurカバーであり、E6、ad（ q ）はその自己同型グループにあります。さらに、 q -1が3で割り切れない場合、3つすべてが一致し、そうでない場合（ qが1 mod 3に一致する場合）、E6（ q ）のSchur乗数は3で、E6（ q ）はE6のインデックス3です、ad（ q ）。これは、なぜE6、sc（ q ）およびE6、ad（ q ）がしばしば3・E6（ q ）およびE6（ q ）・3と記述されるかを説明します。代数群の観点からは、E6（ q ）が有限単純群を参照することはあまり一般的ではありません。後者は、E6、sc（ q ）とは異なり、 F q上の代数群の点の集合が自然な形ではないからですおよびE6、ad（ q ）。
このE6の「分割」（または「ねじれのない」）形式のほかに、2E6として知られる有限体F q上のE6の別の形式もあります。これは、Dynkinダイアグラムの非自明な自己同型によってねじることによって得られますE6。具体的には、Steinbergグループとして知られている2E6（ q ）は、非自明なダイアグラムの自己同型とF q 2の非自明なフィールド自己同型の構成によって固定されたE6（ q 2）のサブグループとして見ることができます。ねじれは、2E6の代数基本的なグループは、広告がZ / 3 Zであるという事実を変更しないが、それは2E6によって2E6の被覆、広告は、SCはF Q がポイント超で非自明であるため、それらのQを変更しません。正確に：2E6、sc（ q ）は2E6（ q ）のカバーであり、2E6、ad（ q ）はその自己同型グループにあります。 Q 1は、3個のすべての一致3で割り切れないが、それ以外の場合（qが 2 MOD 3と合同である場合）場合、2E6の程度は、2E6（Q）上SC（q）は 3であり、2E6（Q）は、です2E6、ad（ q ）のインデックス3。2E6、sc（ q ）および2E6、ad（ q ）がしばしば3・2E6（ q ）および2E6（ q ）・3と記述される理由を説明します。
グループ2E6（ q ）に関する2つの表記上の問題を提起する必要があります。 1つは、これが時々2E6（ q 2）と書かれていることです。これは、スズキおよびリー群に簡単に転置できる利点がありますが、代数群のF q点の表記から逸脱する欠点があります。もう1つは、2E6、sc（ q ）および2E6、ad（ q ）が代数群のF q点であるのに対し、問題の群はqにも依存することです（たとえば、同じ群のF q 2上の点はねじれていないE6、sc（ q 2）およびE6、ad（ q 2））。
グループE6（ q ）および2E6（ q ）は、任意のqに対して単純であり、有限の単純なグループの分類における2つの無限族を構成します。それらの順序は、次の式（OEISのシーケンスA008872）で与えられます。
| E6（q）| = 1gcd（3、q−1）q36（q12−1）（q9−1）（q8−1）（q6−1）（q5−1）（q2−1）{\ displaystyle | E_ {6}（q）| = {\ frac {1} {\ mathrm {gcd}（3、q-1）}} q ^ {36}（q ^ {12} -1）（q ^ {9} -1）（q ^ {8} -1）（q ^ {6} -1）（q ^ {5} -1）（q ^ {2} -1）} | 2E6（q）| = 1gcd（3 、q + 1）q36（q12−1）（q9 + 1）（q8−1）（q6−1）（q5 + 1）（q2−1）{\ displaystyle | {} ^ {2} \！E_ { 6}（q）| = {\ frac {1} {\ mathrm {gcd}（3、q + 1）}} q ^ {36}（q ^ {12} -1）（q ^ {9} +1 ）（q ^ {8} -1）（q ^ {6} -1）（q ^ {5} +1）（q ^ {2} -1）}（OEISのシーケンスA008916）。 E6、sc（ q ）またはE6、ad（ q ）（両方とも等しい）の順序は、最初の式（OEISのシーケンスA008871）から分割係数gcd（3、 q -1）を削除することによって取得できます。 2E6、sc（ q ）または2E6、ad（ q ）（両方とも等しい）の順序は、2番目から分割係数gcd（3、 q +1）を削除することで取得できます（OEISのシーケンスA008915）。
E6（ q ）のSchur乗数は常にgcd（3、 q -1）です（つまり、E6、sc（ q ）はそのSchurカバーです）。 2E6（ q ）のSchur乗数はgcd（3、 q +1）（つまり、2E6、sc（ q ）はそのSchurカバーです）例外ケースq = 2の外側であり、22・3（つまり、追加の22倍カバー）。 E6（ q ）の外側自己同型群は、対角自己同型群Z / gcd（3、 q -1） Z （E6、ad（ q ）の作用により与えられる）、図の群Z / 2 Zの積です。自己同型、およびフィールド自己同型のグループ（すなわち、 q = pfの場合、次数fの巡回（ pは素数）） 2E6（ q ）の外部自己同型群は、対角自己同型群Z / gcd（3、 q +1） Z （2E6、ad（ q ）の作用により与えられる）とフィールド自己同型群（すなわち、 pが素数である場合、Q = P F を Fオーダーの周期）。
物理学の重要性
11次元の超重力からの次元削減である5次元のN = 8の超重力は、E6ボソンのグローバルな対称性とSp（8）ボソンのローカルな対称性を認めます。フェルミオンはSp（8）の表現にあり、ゲージフィールドはE6の表現にあり、スカラーは両方の表現にあります（グラビトンは両方に関して一重項です）。物理的状態は、コセットE6 / Sp（8）の表現にあります。
大統一理論では、E6は可能性のあるゲージグループとして表示され、その破壊後、標準モデルのSU（3）×SU（2）×U（1）ゲージグループを生成します（E8の物理学における重要性も参照してください） ）。これを達成する1つの方法は、SO（10）×U（1）に分割することです。随伴７８表現は、上で説明したように、随伴４５ 、スピノル１６および１６ 、ならびにＳＯ（１０）部分代数の一重項に分かれる。 U（1）料金を含む
78→450⊕16−3⊕16¯3 + 10。{\ displaystyle 78 \ rightarrow 45_ {0} \ oplus 16 _ {-3} \ oplus {\ overline {16}} _ {3} + 1_ {0}。 }下付き文字はU（1）料金を示します。
同様に、基本表現27とその共役27は 、スカラー1 、ベクトル10 、スピノル（ 16または16）に分割されます。
27→14⊕10-2⊕161、{\ displaystyle 27 \ rightarrow 1_ {4} \ oplus 10 _ {-2} \ oplus 16_ {1}、}27¯→1-4⊕102⊕16¯-1。{ \ displaystyle {\ bar {27}} \ rightarrow 1 _ {-4} \ oplus 10_ {2} \ oplus {\ overline {16}} _ {-1}。}したがって、標準モデルの基本フェルミオンとヒッグス粒子を得ることができます。
