直接製品

数学では、既知のオブジェクトの直接積を定義して、新しいものを与えることができます。これにより、基礎となるセットのデカルト積が、製品セットで適切に定義された構造とともに一般化されます。より抽象的には、これらの概念を形式化するカテゴリー理論の製品について話します。

例としては、集合の積（デカルト積を参照）、グループ（以下で説明）、リングの積、および他の代数構造の積があります。位相空間の積は別の例です。

また、直接合計もあります。一部の分野ではこれは互換的に使用されますが、他の分野では異なる概念です。

例

R {\ displaystyle \ mathbb {R}}を実数のセットと考えると、直接積R×R {\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}}はデカルト積{ （x、y）∣x、y∈R} {\ displaystyle \ {（x、y）\ mid x、y \ in \ mathbb {R} \}}。
R {\ displaystyle \ mathbb {R}}を加算中の実数のグループと考えると、直積R×R {\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}}はまだ{（ x、y）∣x、y∈R} {\ displaystyle \ {（x、y）\ mid x、y \ in \ mathbb {R} \}}を基本セットとして。この例と上記の例の違いは、R×R {\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}}がグループになったことです。したがって、要素を追加する方法についても説明する必要があります。これは、（a、b）+（c、d）=（a + c、b + d）{\ displaystyle（a、b）+（c、d）=（a + c、b + d）を定義することにより行われます}。
R {\ displaystyle \ mathbb {R}}を実数の環と考えると、直積R×R {\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}}は再び{（x、 y）∣x、y∈R} {\ displaystyle \ {（x、y）\ mid x、y \ in \ mathbb {R} \}}を基本セットとして。リング構造リングは、（a、b）+（c、d）=（a + c、b + d）{\ displaystyle（a、b）+（c、d）=（a + c、 b + d）}および（a、b）（c、d）=（ac、bd）{\ displaystyle（a、b）（c、d）=（ac、bd）}で定義される乗算。
ただし、R {\ displaystyle \ mathbb {R}}を実数のフィールドと考えると、直接積R×R {\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}}は存在しません–上記の例のように単純に加算と乗算をコンポーネントごとに定義すると、要素（1,0）{\ displaystyle（1,0）}には乗法的逆数がないため、フィールドにはなりません。

同様に、R×R×R×R {\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ timesなど、有限数の代数構造の直接積について話すことができます。 \ mathbb {R}}。これは、直接積が同型まで連想的であるという事実に依存しています。つまり、（A×B）×C≅A×（B×C）{\ displaystyle（A \ times B）\ times C \ cong A \ times（B \ times C）}代数構造A {\ displaystyle同じ種類のA}、B {\ displaystyle B}、およびC {\ displaystyle C}。直接和は、同型まで可換です。すなわち、任意の代数構造A {\ displaystyle A}およびB {\ displaystyle B}のA×B≅B×A {\ displaystyle A \ times B \ cong B \ times A}同じ種類。無限に多くの代数構造の直接積についても話をすることができます。たとえば、R {\ displaystyle \ mathbb {R}}の数え切れないほどのコピーの直接積をとることができます。これはR×R×R×⋯{\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ times \ dotsb}。

グループ直産品

グループ理論では、 G × Hで表される2つのグループ（ G 、∘）と（ H 、∙）の直接積を定義できます。加算的に記述されたアーベル群の場合、G⊕H{\ displaystyle G \ oplus H}で表される2つのグループの直接和とも呼ばれます。

次のように定義されます。

新しいグループの要素の集合は、それは、{（G、H）：G∈G、H∈H}であり、G及びHの要素のセットのデカルト積です。
（G、H）×（G 'H'）=（G∘G 'H∙H'）：これらの要素の操作、定義された要素ごとに置きます

（（ G 、∘）は（ H 、∙）と同じ場合があることに注意してください）

この構成により、新しいグループが作成されます。 G （フォーム（ g 、1）の要素によって与えられる）と同型の通常のサブグループと、 H （要素（1、 h ）を含む）と同型の1つのサブグループがあります。

逆も成り立ち、次の認識定理があります：グループKに2つの通常のサブグループGとHが含まれ、 K = GHで、 GとHの交差点にアイデンティティのみが含まれる場合、 KはG × Hに同型です。 1つのサブグループのみが正常である必要があるこれらの条件を緩和すると、半直接積が得られます。

例として、 GおよびHとして、順序2、 C 2の一意の（同型まで）グループの2つのコピーを使用します：{1、 a }および{1、 b }。次に、 C 2× C 2 = {（1,1）、（1、 b ）、（ a 、1）、（ a 、 b ）}で、要素ごとに演算します。たとえば、（1、 b ）*（ a 、1）=（1 * a 、 b * 1）=（ a 、 b ）、および（1、 b ）*（1、 b ）=（1、 b 2） =（1,1）。

直接積を使用すると、いくつかの自然群準同型が無料で得られます。投影マップは、

π1：G×H→G、π1（g、h）=gπ2：G×H→H、π2（g、h）= h {\ displaystyle {\ begin {aligned} \ pi _ {1}：G \ times H \ to G、\ \ \ pi _ {1}（g、h）＆= g \\\ pi _ {2}：G \ times H \ to H、\ \ \ pi _ {2}（g、h ）＆= h \ end {aligned}}}

座標関数と呼ばれます。

また、直接積へのすべての準同型fは、その成分関数fi =πi∘f{\ displaystyle f_ {i} = \ pi _ {i} \ circ f}によって完全に決定されます。

任意の基（G、∘）及び任意の整数のためのN≥0、直接製品の繰り返しアプリケーションは、すべてのグループを与えるNタプルG N（N = 0のため、我々は自明群を得る）、例えばZ nおよびR nの。

モジュールの直接製品

モジュールの直接積（テンソル積と混同しないでください）は、上記のグループに対して定義されたものと非常に似ています。デカルト積を使用し、加算演算をコンポーネントごとに行い、スカラー乗算をすべてのコンポーネントに分散します。 Rから始めて、実際のn次元ベクトル空間の典型例であるユークリッド空間R nを取得します。 R mとR nの直接積はR m + nです。

有限インデックスdirecti = 1nXi {\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}}の直接積は、直接和⨁i= 1nXi {\ displaystyle \ bigoplus _ { i = 1} ^ {n} X_ {i}}。直接和と直接積は、インデックスの数が無限である場合にのみ異なります。この場合、直接和の要素は、有限数のエントリを除いてすべてゼロです。それらはカテゴリー理論の意味で双対的です。直接積は共積であり、直接積は積です。

たとえば、X = ∏i =1∞R{\ displaystyle X = \ prod _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mathbb {R}}およびY =⨁i=1∞R{\ displaystyle Y = \ bigoplus _ {i = 1} ^ {\ infty} \ mathbb {R}}、無限の直接積および実数の直接和。有限数の非ゼロ要素を持つシーケンスのみがYにあります。たとえば、（1,0,0,0、...）はYですが、（1,1,1,1、...）はそうではありません。これらのシーケンスは両方とも直接積Xにあります。実際には、Yは、Xの適切なサブセット（つまり、Y⊂X）です。

位相空間直接積

Iのトポロジ空間Xi for iのコレクションの直接生成物、いくつかのインデックスセットは、再びデカルト積を使用します

\i∈IXi。{\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} X_ {i}。}

トポロジの定義は少し複雑です。有限の多くの要因に対して、これは明白で自然なことです。単に、オープンセットの基礎として、各要因からのオープンサブセットのすべてのデカルト積のコレクションになるようにします。

B = {U1×⋯×Un | UiはXiで開きます。{\ displaystyle {\ mathcal {B}} = \ {U_ {1} \ times \ cdots \ times U_ {n} \ | \ U_ {i} \ \ mathrm {open \ in} \ X_ {私}\}。}

このトポロジは、製品トポロジと呼ばれます。例えば、直接R（オープン間隔の互いに素な組合）のオープンセットによってR 2上の積位相を定義する、このトポロジの基礎は平面で開いた矩形の全て互いに素組合から成るであろう（結局のところ、それが一致します通常のメトリックトポロジで）。

無限製品の製品トポロジーにはひねりがあり、これは、すべての投影マップを連続させ、すべてのコンポーネント関数が連続である場合にのみ、すべての機能を製品に連続させることができることと関係しています。積の定義：ここでの射は連続関数です）：オープンセットの基礎として、すべての有限サブセット以外のすべてのオープンサブセットを条件として、各因子からのオープンサブセットのすべてのデカルト積のコレクションを取得します全体の要因は次のとおりです。

B = {∏i∈IUi | （∃j1、…、jn）（Xjiで開いたUji）および（∀i≠j1、…、jn）（Ui = Xi）}。{\ displaystyle {\ mathcal {B}} = \ left \ {\ prod _ {i \ in I} U_ {i} \ {\ Big |} \（\ exists j_ {1}、\ ldots、j_ {n}）（U_ {j_ {i}} \ \ mathrm {open \ in} \ X_ {j_ {i}}）\ \ mathrm {and} \（\ forall i \ neq j_ {1}、\ ldots、j_ {n}）（U_ {i} = X_ {i}）\ right \} }

この場合、より自然に聞こえるトポロジは、以前のように無限に多くのオープンサブセットの製品を取得することであり、これにより、やや興味深いトポロジであるボックストポロジが生成されます。ただし、製品関数が連続していない連続コンポーネント関数の束を見つけるのはそれほど難しくありません（例については、個別の入力ボックストポロジを参照してください）。ツイストを必要とする問題は、トポロジーの定義において、オープンセットの交差が有限数のセットに対してのみオープンであることが保証されるという事実に最終的に根ざしています。

製品（製品トポロジーを使用）は、その要因の特性を保持する点で優れています。たとえば、ハウスドルフ空間の積はハウスドルフです。接続された空間の積は接続され、コンパクトな空間の積はコンパクトです。ティコノフの定理と呼ばれるその最後の1つは、選択の公理との別の同等性です。

その他のプロパティと同等の定式化については、個別のエントリ製品トポロジをご覧ください。

二項関係の直接積

2項関係RおよびSを持つ2つのセットのデカルト積で、（ a 、 b ）T（ c 、 d ）をa R cおよびb S dとして定義します。 RとSの両方が反射的、非反射的、推移的、対称的、または非対称的である場合、Tも同様になります。プロパティーを組み合わせると、これは、先行順序および等価関係であることにも当てはまります。ただし、RとSが合計関係である場合、Tは一般的な合計ではありません。

ユニバーサル代数の直接積

Σが固定署名である場合、私は任意の（おそらく無限の）インデックスセット、及び（i）は、私は Σ代数のインデックス付きのファミリーであり、 直接製品 A =ΠI∈I A iは定義Σ代数で∈しました次のように：

宇宙は、宇宙のデカルト積が正式に、私の私を設定しているAの設定：Aは =ΠI∈I A I;
各nおよび∈ΣFそれぞれのn進演算記号のために、AにおけるFの解釈は、正式に、要素ごとに定義される：全て1、...、N∈Aおよび各I I は 、FのI番目の要素を∈しました（ a 1、…、 a n ）はf A i （ a 1（ i ）、…、 a n （ i ））として定義されます。

iは、（A）（i） を = A→iは πによって定義される各iについては I、Iが投影πi番目の ∈しました。これは、Σ代数AとA iの間の全射準同型です。

インデックスがIに設定した場合、特殊なケースとして、= {1、2}、2Σの直接生成物はA = A 1×2Σがちょうど含まれている場合つのバイナリ演算fとして書き込まれ、1と2が得られる代数、 A 1 = G 、 A 2 = H 、 f A 1 =∘、 f A 2 =∙、およびf A =×という表記を使用して、グループの直接積の上記の定義が取得されます。同様に、モジュールの直接積の定義もここに含まれています。

カテゴリー製品

直接製品は、任意のカテゴリに抽象化できます。一般的なカテゴリに、オブジェクトアイの収集と私はいくつかのインデックス集合Iの範囲と愛への射PIのコレクションを与え、オブジェクトAは、カテゴリ内のカテゴリの製品であると言われる場合、任意のオブジェクトBおよびBからAiまでの射のfiのコレクションには、 fi = pi fでBからAへの一意の射fが存在し、このオブジェクトAは一意です。これは2つの要因だけでなく、arbitrarily意的に（無限に）多くの要因で機能します。

グループについても同様に、 Iの iのグループGiのより一般的な任意のコレクションの直接積を定義します。グループのデカルト積をGで表すと、成分ごとの乗算の操作でGの乗算を定義します。上記の定義のpiに対応するのが投影マップです

πi：G→Gibyπi（g）= gi {\ displaystyle \ pi _ {i} \ colon G \ to G_ {i} \ quad \ mathrm {by} \ quad \ pi _ {i}（g）= g_ {i }}、

（gj）j∈I{\ displaystyle（g_ {j}）_ {j \ in I}}をi番目のコンポーネントgiに取り込む関数

内部および外部の直接製品

一部の著者は、 内部直接製品と外部直接製品とを区別しています。 A、B⊂X{\ displaystyle A、B \ subset X}およびA×B≅X{\ displaystyle A \ times B \ cong X}の場合、 XはAとBの内部直接積であると言います。 AとBがサブオブジェクトでない場合、これは外部直接製品であると言います。

メトリックとノルム

メトリック空間のデカルト積のメトリック、およびノルムベクトル空間の直接積のノルムは、さまざまな方法で定義できます。たとえば、pノルムを参照してください。