拡張（形態学）

（通常⊕で表される） 拡張は、数学的な形態の基本的な操作の一つです。もともとはバイナリ画像用に開発されたもので、最初にグレースケール画像に拡張され、次に格子を完成させました。拡張操作では、通常、入力画像に含まれる形状の探索と展開に構造化要素を使用します。

バイナリ拡張

バイナリ形態では、膨張はシフト不変（変換不変）演算子であり、ミンコフスキー加算と同等です。

バイナリイメージは、ある次元dの場合、ユークリッド空間R dまたは整数グリッドZ dのサブセットとして数学的な形態で表示されます。 Eをユークリッド空間または整数グリッド、 AをEのバイナリイメージ、 BをR dのサブセットと見なされる構造化要素とします。

BによるAの膨張は、

A⊕B=⋃b∈BAb、{\ displaystyle A \ oplus B = \ bigcup _ {b \ in B} A_ {b}、}

Bは、BによるAの翻訳です。

拡張は可換であり、A alsoB =B⊕A=⋃a∈ABa{\ displaystyle A \ oplus B = B \ oplus A = \ bigcup _ {a \ in A} B_ {a}}によっても与えられます。

Bが原点に中心を有する場合、BによるAの拡張は、Bの中心が内側に移動したときBによってカバーされる点の軌跡として理解することができます。原点を中心とする半径2の円盤による、原点を中心とするサイズ10の正方形の膨張は、原点を中心とする角の丸い側面14の正方形です。丸い角の半径は2です。

拡張は、A⊕B= {z∈E∣（Bs）z∩A≠∅} {\ displaystyle A \ oplus B = \ {z \ in E \ mid（B ^ {s}）_ { Z} \キャップA \ NEQ \ varnothing \}}、B sは Bの対称を表し、それは、BS = {x∈E|-x∈B} {\ displaystyleのB ^ {S} = \ {X \、ありますE \ mid -x \ in B \}}で。

例

Aが次の11 x 11マトリックスであり、Bが次の3 x 3マトリックスであるとします。

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

値が1のAの各ピクセルについて、Bを重ね合わせ、 Bの中心をAの対応するピクセルに合わせます。

重ねられたすべてのBの各ピクセルは、BによるAの膨張に含まれます。

BによるAの膨張は、この11 x 11行列によって与えられます。

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0

バイナリ拡張のプロパティ

ここに、バイナリ拡張演算子のいくつかのプロパティがあります

それは翻訳不変です。
つまり、A⊆C{\ displaystyle A \ subseteq C}の場合、A⊕B⊆C⊕B{\ displaystyle A \ oplus B \ subseteq C \ oplus B}になります。
可換です。
Eの起点が構造化要素Bに属する場合、それは広範囲に渡ります。つまり、A⊆A⊕B{\ displaystyle A \ subseteq A \ oplus B}です。
結合的です。つまり、（A⊕B）⊕C=A⊕（B⊕C）{\ displaystyle（A \ oplus B）\ oplus C = A \ oplus（B \ oplus C）}です。
集合ユニオンよりも分配的です

グレースケール膨張

グレースケール形態では、画像はユークリッド空間またはグリッドEをR∪{∞、-∞} {\ displaystyle \ mathbb {R} \ cup \ {\ infty、-\ infty \}}にマッピングする関数です。ここで、R {\ displaystyle \ mathbb {R}}は実数の集合、∞{\ displaystyle \ infty}は実数よりも大きい要素、-∞{\ displaystyle-\ infty}は実数よりも小さい要素です。

グレースケール構造化要素も、「構造化関数」と呼ばれる同じ形式の関数です。

画像をf （ x ）で、構造化関数をb （ x ）で表すと、 fの bによるグレースケール膨張は次のようになります。

（f⊕b）（x）=supy∈E、{\ displaystyle（f \ oplus b）（x）= \ sup _ {y \ in E}、}

ここで、「sup」は上限を示します。

フラットな構造化関数

形態学的アプリケーションでは、フラットな構造化要素を使用するのが一般的です。フラットな構造化関数は、次の形式の関数b （ x ）です。

b（x）= {0、x∈B、−∞、それ以外の場合、{\ displaystyle b（x）= \ left \ {{\ begin {array} {ll} 0、＆x \ in B、\\-\ infty 、＆{\ text {otherwise}}、\ end {array}} \ right。}

ここで、B⊆E{\ displaystyle B \ subseteq E}。

この場合、膨張は非常に単純化され、

（f⊕b）（x）=supy∈E=supz∈E=supz∈B。{\ displaystyle（f \ oplus b）（x）= \ sup _ {y \ in E} = \ sup _ {z \ E} = \ sup _ {z \ in B}で。}

（ x =（ px 、 qx ）、 z =（ pz 、 qz ）、次にx - z =（ px - pz 、 qx - qz ）と仮定します。）

境界のある離散的な場合（ Eはグリッドで、 Bは境界がある）、最大演算子は最大値に置き換えることができます。したがって、膨張は、移動するウィンドウ（構造化関数サポートBの対称）内の最大値を返す順序統計フィルターの特定のケースです。

完全な格子上の膨張

完全なラティスは部分的に順序付けられたセットであり、すべてのサブセットには下限と上限があります。特に、最小要素と最大要素（「ユニバース」とも呼ばれる）が含まれます。

（L、≤）{\ displaystyle（L、\ leq）}を完全な格子とし、in {\ displaystyle \ wedge}および∨{\ displaystyle \ vee}でそれぞれ記号化された下限と上限を持ちます。そのユニバースと最小要素は、それぞれUと∅{\ displaystyle \ varnothing}でシンボル化されています。さらに、{Xi} {\ displaystyle \ {X_ {i} \}}をLの要素のコレクションとします。

拡張とは、δ：L→L {\ displaystyle \ delta：L \ rightarrow L}の任意の演算子であり、最高値上に分布し、最小の要素を保持します。つまり、次のことが当てはまります。

⋁iδ（Xi）=δ（⋁iXi）、{\ displaystyle \ bigvee _ {i} \ delta（X_ {i}）= \ delta \ left（\ bigvee _ {i} X_ {i} \ right）、}
δ（∅）=∅。{\ displaystyle \ delta（\ varnothing）= \ varnothing。}